奥数长方体和正方体.docx

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奥数长方体和正方体

奥数长方体和正方体 

 长方体和正方体习题

六年级奥数上册：

第五讲长方体和正方体习题解答 

28.正方体的展开图

　　把一个正方体的各面展开放在桌面上，下图就是正方体的一个展开图形，试问，一个正方体有几种展开图。

28.正方体的展开图

　　共有11种：

　把四个面排成一排的有6种

29.长方体的体积

阿强做一道求长方体体积的数学题。

当他算完长乘以宽以后，发现宽厚

30.长方体和正方体

　　一个棱长5厘米的立方体是由棱长1厘米的小立方体若干个堆砌而成的。

　　①如果小立方体增加3个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体？

　　②如果小立方体减少5个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体？

30.长方体和正方体

　　解：

5×5×5=125

　　125＋3＝128＝27×1

　　125-5＝120＝23×31×51×1

　　根据约数个数公式，128有（7＋1）＝8个约数它们是1，2，4，8，16，2，64，128。

120有（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）=16个约数，它们是：

1，，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？

解：

水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．

　　沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：

　　3×3×0.04＝0.36立方米，

　　2×2×0.11＝0.44立方米．

　　它们的和是：

　　0.36＋0.44＝0.8立方米．

　　把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：

六年级奥数上册：

第五讲长方体和正方体习题

六年级奥数上册：

第五讲长方体和正方体习题解答 

第五讲长方体和正方体

　　长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．

如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。

　　在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．

　　长方体的表面积和体积的计算公式是：

　　长方体的表面积：

S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；

　　长方体的体积：

V长方体＝abc．

　　正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：

=6

，

=

　　例1有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．

　　解：

设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2

平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：

　　190＋2

＝240，可知，

＝25，故a＝5（厘米）．

　　又因为2

＋4ah＝190，

解得

=7（厘米）

　　所以，原来长方体的体积为：

　　V＝

h＝25×7＝175（立方厘米）．

　　例2如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。

　　解：

原来正方体的表面积为：

　　6×3a×3a＝6×9

（平方厘米）．

　　六个边长为a的小正方形的面积为：

　　6×a×a＝6

（平方厘米）；

　　挖成的每个长方体空洞的侧面积为：

　　3a×a×4＝12

（平方厘米）；

　　三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：

　　a×a×4＝4

（平方厘米）．

　　根据题意：

6×9

－6

＋3（12

－4

）＝2592，

　　化简得：

54

－6

＋24

＝2592，解得

＝36（平方厘米），故a＝6厘米．

　　即正方形截口的边长为6厘米．

例3有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。

　　解：

把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体（如上图）．这样，每锯一次便得到两个大截面，使表面积增加

（倍），锯三次使截面增加3×

=1（倍），因此全部小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍。

　　例4有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？

　　解：

水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积。

　　沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：

　　3×3×0.04＝0.36立方米，

　　2×2×0.11＝0.44立方米．

　　它们的和是：

　　0.36＋0.44＝0.8立方米．

　　把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：

0.8÷16=5（厘米）

　　例5下图是正方体的展开图之一，当用它组成立方体时，图中的哪一边与带★记号的边相接触呢？

　　解：

对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如只考虑边的连接会更简洁：

首先☆和G连接，其次H和I连接，且X、Y、Z三点重合为正方体的一个顶点，因此与★连接的是K边．

　　例6下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）．请你指出伪装图是哪两个？

　　解：

无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12），这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体．

　　例7如下面的各图中均有若干个六面体，每小题图中的几个六面体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中六面体上刻字母的方式是完全一样的）试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？

　　解：

（1）由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A的对面是D。

E、F的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按

（1）中右图所示，让四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E（向上）。

如果，判断为F在C对面，由

（1）中左图所示，让四指的方向从A向F，此时大拇指指向B，与

（1）中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的对面。

（2）～（6）按A、B、C顺序给出对面的字母：

（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；

　　（5）E、D、F；（6）F、E、D．

例8有一块正方体的蛋糕．用刀子将它一刀切成两半，为了使切口成正六边形，应该怎样切呢？

解：

　　一般地，按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中

（1）的正方形或者像

（2）、（3）那样的长方形．如果斜切下去时样子就不一样了，比如像（4）那样，以打算切的顶点作一方，将不相邻的某一边的中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形．

　　如果再进一步，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图中（5）所示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相等，相邻边夹角也相等，边数是六，故是正六边形。

习题五

一、填空题：

　　1．一块矩形纸板，长8厘米，宽6厘米，把它折成底面为正方形的长方体的侧面，则这个长方体的底面面积为______平方厘米．

　　2．有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了______平方厘米．

　　3．把一根2米长的方木锯成两段，表面积增加288平方厘米，原来这根方木的体积是______立方厘米．

　　4．把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是

　　5．把棱长1厘米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高是10厘米，长和宽都大于高，这个长方体的长与宽的和是______厘米．

二、选择题：

　　1．一个正方体的体积是343立方厘米，它的全面积是__平方厘米．

　　（A）42（B）196（C）294（D）392

　　2．把棱长为3分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是______平方分米．

　　（A）54（B）72（C）108（D）以上都不对

　　3．如下图，一个木制的正方体的棱长为2分米，每个面的正中有一个正方形的孔通到对边，边长为1分米，孔的各棱平行于正方体相对的棱，那么这个镂空几何体的总表面积的平方分米数是____．

　　（A）24（B）30（C）36（D）42

　　4．如下页图立方体的每个角都被切下去（图中仅画了两个）．问所得到的几何体有__条棱？

　　（A）24（B）30（C）36（D）42

　　5．立方体各面上的数字是连续的整数（如图）．如果每对对面上的两个数的和相等，那么，这三对数的和是______。

　　（A）75（B）76（C）78（D）81

三、解答题：

　　1．一个木盒从外面量长10厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘米．问①做这个木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？

②这个木盒的容积是多少立方厘米？

　　2．将一个长9厘米，宽8厘米，高3厘米的长方体木块锯成若干个小正方体（锯痕宽度忽略不计），然后再拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积．

　　3．一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，求水深．

　　4．把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积．

　　5．将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积和表面积．

　　6．用字母标出一个正方体的各面，下图中是三个不同方位的这一个正方体，问字母A、B、C的对面是什么字母？

　　7．下图是一个正方体及其两个展开图．这个正方体还有九种不同的展开图（下图），请把这九个展开图填上相应的数字（注意数字的方向）．

　　8．下左图中的立方体，被两个平面所截，你能在这个正方体的展开图中画出相应的截线吗？

（下右图）

　　9．在下页图所示的12个展开图中，哪些可以做成没有顶盖的五个面的小方盒？

10．下页图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下，将它剪成三部分，使每部分都可以折成一个棱长为1的没有顶盖的小方盒，怎样剪？

1、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（）立方厘米．  

  2、

（1）有一个正方体，如果高增加4cm，就成为一个长方体，这个长方体的表面积正好比原正方体的表面积增加80平方cm，求原正方体的体积。

（2）一个长方体的高如果增加2cm，就成为一个正方体，这时表面积就比原来增加了48平方cm。

原来长方体的体积是多少？

  3、一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______立方厘米．     

  4、一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.（结果以分数形式出现）   

  5、在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形，求挖洞后木块的体积。

  6、如果从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?

  7、一个长方体的棱长总和是48cm，己知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求它的体积。

  8、一个正方体木块的表面积是96平方cm，把它锯成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的表面积是多少？

六年级奥数题及答案

  1、解答：

所成立方体的棱长为：

120÷（3+2）÷4=6（厘米），所以原长方体的体积为：

6×6×（6+3+2）=396（立方厘米）。

  2、

（1）解答：

设原正方体的边长为A，根据题意得：

4x4*A=80，解得：

A=5，所以原体积为A*A*A=125立方厘米。

（2）解：

设成了正方体后的棱长为A；则原来的长方体的高为A-2，长为A，宽为A。

根据题意6*A*A－[4*（A-2）*A+2*A*A]=48解得：

A=6（或者这样理解：

增加的表面积为四个侧面的，所以四个增加的侧面积为：

4x2xA=48，所以A=6）所以原长方体的长为6，宽为6，高为6-2=4，所以体积为6x6x4=144立方厘米。

  3、解答：

依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48÷4=12（厘米），于是它的宽与高都等于12÷（2+1+1）=3（厘米），它的长是3×2=6厘米．所以这个长方体的体积是6×3×3=54（立方厘米）．

  4、解答：

长方体的高是：

（33.66-2.1×2.3×2）÷2÷（2.1+2.3）=30/11（分米），长方体的体积是2.1×2.3×=（立方分米）． 

  5、解答：

33-12×3×3+2×13=20cm3。

  6、解答：

容器的底面积是：

（13—4）×（9—4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器的体积是：

45×2=90（立方厘米）。

  7、解答：

设高为A，所以宽为2A，长是1.5*2A=3A根据题意可得：

4x（A+2A+3A）=48，得：

A=2，所以，高=A=2，宽=2A=4，长=3A=6所以原体积为：

2*4*6=48立方厘米。

  8、解答：

设原正方体的棱长为A，所以得：

6xAxA=96 ，解得A=4厘米，所以棱长为4厘米。

则体积为4x4x4=64立方厘米。

锯成了8个相等的体积后，每个为64/8=8立方厘米。

设小正方体的棱长为B，所以BxBxB=8，解得：

B=2厘米。

所以每个小方体的表面积为：

6xAxA=6x2x2=24平方厘米。

此类题目的关键抓住底面积不变，变的只是四个侧面）

1.在平行四边形ABCD中，三角形AOD的面积为12平方厘米，三角形BOC的面积是平行四边形面积的1/5，求平行四边形的面积．

　　考点：

平行四边形的面积．

分析：

根据题意可知，三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四边形ABCD的高，三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半，所以可用1/2平行四边形的面积减去1/5平行四边形的面积等于三角形AOD的面积，列式解答即可得到答案．

　　解答：

解：

设平行四边形ABCD的面积为x平方厘米，

　　答：

平行四边的面积是40平方厘米．

　　点评：

解答此题的关键是根据三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四边形ABCD的高确定三角形BOC和三角形AOD的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，然后再列式计算即可．

长方形ABCD的边上有两点E．F，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分的面积是多少平方米？

考点：

组合图形的面积．

　　分析：

所求的影阴部分，恰好是三角形ABF与三角形CBE的公共部分，而S1，S2，S3这三块是长方形中没有被三角形ABF与三角形CBE盖住的部分．因此，△ABF面积+△CBE面积+（S1+S2+S3）=长方形面积+阴影部分面积．而△ABF的底是长方形的长，高是长方形的宽；△CBE的底是长方形的宽，高是长方形的长．因此，三角形ABF面积与三角形CBE面积，都是长方形面积的一半．

　　解答：

解：

设长方形的面积为S，则S△CBE=S△ABF=（1/2）S，

　　由图形可知，S+S阴影=S△CBE+S△ABF+15+46+36，

　　S阴影=（1/2）S+（1/2）S+15+46+36-S=97（平方米），

　　答：

阴影部分的面积是97平方米．

　　点评：

本题考查长方形面积、三角形面积的计算．本题明白所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为15、46、36这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分是解决本题的关键，从而根据S+S阴影=S△CBE+S△ABF+15+46+36建立等量关系求解．

有一块长24厘米的正方形厚纸片，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸合容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？

分析：

根据题意，可设剪去的小正方形的边长是x，可利用体积公式表示出剪去后的纸盒的体积，因为纸盒的边长一定，即2x+（12-x）+（12-x）=24是一个定值，那么当2x等于12-x时，纸盒的体积2×2x（12-x）（12-x）最大，所以计算出2x等于12-x中的未知数即可知道剪去的小正方形的边长，列式解答即可．

　　解：

如图

　　设剪去的小正方形边长为x厘米，                           

　　则纸盒容积为：

V=x（24-2x）（24-2x），

　　=2×2x（12-x）（12-x），

　　因2x+（12-x）+（12-x）=24，

　　故当2x=12-x时，其乘积最大，

　　2x=12-x，

　　3x=12，

　　x=4，

　　即x=4时，其乘积最大即纸盒容积也最大．

　　答：

剪去的小正方形的边长应为4厘米．

　　点评：

解答此题的关键是依据正方体的体积公式表示出这个纸盒的体积，要使体积最大算式中的2x、12-x、12-x应该相等，所以算式中的2x等于12-x，纸盒的体积最大，解答即可．