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特殊三角形讲义
【知识点精析】
一、等腰三角形
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
4.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5.等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6.含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、直角三角形
1.认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类：
如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。
2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点：
在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：
斜边上的高线和斜边上的中线。
三、勾股定理及逆定理
一、勾股定理及其证明
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：
在△ABC中，∠C=90°（已知）
证明：
进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.
二、勾股定理的应用：
（1）已知两边（或两边关系）求第三边；
（2）已知一边求另两边关系；
（3）证明线段的平方关系；
（4）作长为
的线段.
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形.
1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；
2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：
1．先找出最大边（如c）；
2．计算
与
，并验证是否相等.
若
，则△ABC是直角三角形.
若
，则△ABC不是直角三角形.
注意：
（1）△ABC中，若
，则∠C=90°；而
时，则∠A=
90°；
时，则∠B=90°.
（2）若
，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形.
若
，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.
三、勾股数：
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.
四、全等三角形的概念、性质与判定
1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等。
3.全等三角形的判定
（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：
“边边边”或“SSS”）；
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；
（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；
（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：
“角角边”或“AAS”）；
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：
“斜边、直角边”或“HL”）。
4.常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。
（1）平移
（2）翻折
（3）旋转
5.判定两个三角形全等所需条件：
（1）需要三个条件；
（2）至少有一个条件为边。
注意：
“边边角”不一定成立。
反例：
如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。
【典型例题分析】
例1.（2005年苏州）
如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。
例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。
例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。
例4已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，
，求其斜边AB长。
例5如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：
2
E=
A。
例6Rt△ABC中，AB=AC，
A=90°，点D在BC上，
；M为BC中点，请判断
的形状，并说明你的理由。
例7作长为
的线段.
例8如图所示，已知：
∠ABD=∠C=90°，AC=BC，∠DAB=30°，AD=8，求BC的长.
例9若a、b、c是△ABC的三边，且满足
，试判定三角形的形状.
例10如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm.求证：
△DEF是等腰三角形.
例11如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点.
求证：
.
例12.（2005年安徽）
如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？
并任选其中一对给予证明。
例13.如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。
问：
在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。
【综合练习】
一.填空题
1.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。
2.已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。
3.已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。
4.△ABC中，∠C＝90°，AB＝c,BC＝a,AC＝b,c＝34,a∶b＝8∶15,则a＝。
5.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=___________.
二.选择题
6、等腰三角形的腰长为
，底角等于30°，那么底边长为（）
A.
B.3
C.6
D.6
7、如图，BE、CD分别是△ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则△DEM是（）
A.不等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形
8、如图所示，△ABC为等边三角形，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=19，DF=89，则△ABC的周长为（）
A.216B.
C.648D.
三、解答题
1.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：
BD＝CE
2.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：
DF＝EF
3.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：
AD＝CE
4.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。
5、某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,求AD、BC的长。
6、如图所示，已知：
∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积.
7、如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：
AE⊥EF.
8、如图所示，△ABC中，2AD=DC，且
，求AB及高AE.
9、在正方形ABCD中，F是AD上一点，且
，E是CD的中点.
求证：
BE⊥EF.
“碧芝自制饰品店”拥有丰富的不可替代的异国风采和吸引人的魅力，理由是如此的简单：
世界是每一个国家和民族都有自己的饰品文化，将其汇集进行再组合可以无穷繁衍。
附件
（二）：
调查问卷设计
据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。
10.已知：
如图，AC⊥OB，BD⊥OA，OB＝OA，求证：
BC＝AD。
3、消费“多样化”
2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。
消费品市场销售平稳增长。
全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。
服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□
此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58％的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1）
然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限，故也限制了我们一定的购买能力。
因此在价格方面要做适当考虑：
我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。
一定会适合我们的学生朋友。
11.已知：
如图，BE⊥AC，DF⊥AC，BE＝DF，BC＝AD。
图中共有多少对平行线？
试选其中一对加以证明。
（二）DIY手工艺品的“热卖化”
（4）牌子响
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