FLAC讲义.docx
《FLAC讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《FLAC讲义.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
FLAC讲义
第一讲
FLAC技术的基本原理和应用范围
1、FLAC基本简介与本构关系
1.1FLAC程序简介
FLAC（FastLagrangianAnalysisofContinua，连续介质快速拉格朗日分析）是由Cundall和美国ITASCA公司开发出的有限差分数值计算程序，主要适用地质和岩土工程的力学分析。
该程序自1986年问世后，经不断改版，已经日趋完善。
前国际岩石力学学会主席C.Fairhurst评价它：
“现在它是国际上广泛应用的可靠程序”（1994。
）
根据计算对象的形状用单元和区域构成相应的网格。
每个单元在外载和边界约束条件下，按照约定的线性或非线性应力—应变关系产生力学响应，特别适合分析材料达到屈服极限后产生的塑性流动。
。
由于FLAC程序主要是为岩土工程应用而开发的岩石力学计算程序，程序中包括了反映岩土材料力学效应的特殊计算功能，可解算岩土类材料的高度非线性（包括应变硬化/软化）、不可逆剪切破坏和压密、粘弹（蠕变）、孔隙介质的固—流耦合、热—力耦合以及动力学行为等，另外，程序设有界面单元，可以模拟断层、节理和摩擦边界的滑动、张开和闭合行为。
支护结构，如砌衬、锚杆、可缩性支架或板壳等与围岩的相互作用也可以在FLAC中进行模拟。
此外，程序允许输入多种材料类型，亦可在计算过程中改变某个局部的材料参数，增强了程序使用的灵活性，极大地方便了在计算上的处理。
同时，用户可根据需要在FLAC中创建自己的本构模型，进行各种特殊修正和补充。
FLAC程序建立在拉格朗日算法基础上，特别适合模拟大变形和扭曲。
FLAC采用显式算法来获得模型全部运动方程（包括内变量）的时间步长解，从而可以追踪材料的渐进破坏和垮落，这对研究工程地质问题非常重要。
FLAC程序具有强大的后处理功能，用户可以直接在屏幕上绘制或以文件形式创建和输出打印多种形式的图形。
使用者还可根据需要，将若干个变量合并在同一副图形中进行研究分析。
1.2本构模型
FLAC程序中提供了由空模型、弹性模型和塑性模型组成的十种基本的本构关系模型，所有模型都能通过相同的迭代数值计算格式得到解决：
给定前一步的应力条件和当前步的整体应变增量，能够计算出对应的应变增量和新的应力条件。
注意，所有的模型都是在有效应力的基础上进行计算的，在本构关系调入程序之前，将孔隙压力把整体应力转化成有效应力。
下面将简要的介绍各种模型的理论基础。
1、空单元模型
空单元用来描述被剥落或开挖的材料，其中应力为0,这些单元上没有质量
力（重力）的作用。
在模拟过程中，空单元可以在任何阶段转化成具有不同材料特性的单元，例如开挖后回填。
2、各向同性弹性模型
弹性模型的特点是卸载时材料的变形可逆，应力一应变之间保持线性的变化规律，和加载路径无关。
各向同性弹性模型对材料的力学行为提供了最简单的描述。
它适用于只产生
线性应力一应变关系，在卸载条件下没有产生滞后效应的均质材料、各向同性材
料和连续介质。
在平面应变条件下，模型的应力一应变增量表达式由胡克定律得：
（6-44）
rLe^亠’：
：
2=e22
=:
-2=04=e22
厶；「12=2GAe!
2（丄；「12-厶；「21）
Act
33=G2（Aeii+也e22）
式中：
:
K43G；
：
2=K-23G；
K――体积模量；
G――剪切模量。
_••
At
（6-45）
VlCUidu
+——:
cr-Tj
2*exjexi
式中：
「0应变张量增量;
式中：
r-：
-2/：
1；
：
2=>2->1。
3、横观各向同性弹性模型
横观同性模型能够模拟层状的弹性介质，模型中垂直于层状介质的弹性模量和平行于介质的弹性模量明显不同。
弹性模型的各向同性平面位于X-Z平面内,
弹性模量的相关定义如下：
E1（Ex）――各向同性平面内的弹性模量；
E2（Ey）――垂直于各向同性平面内的弹性模量；
G12（Gxy）――X-Y平面或者丫-Z平面内的剪切模量；
G13（Gxz）――各向同性平面内的剪切模量；
、21Cyx）——由单轴丫方向上的应力引起的各向同性平面内X方向上的法向
应力和垂直于各向同性平面上的丫方向上的法向应力组成平面内的泊松比；
'•3lC-zx）——由于单轴Z方向上的应力引起的各向同性平面内X方向上的法
向应力和垂直于各向同性平面上的Z方向上的法向应力组成平面内的泊松比。
横观各向同性弹性材料的特征是包含五个独立的常量。
各弹性模量参数之间
的具体关系如下：
E3二Ei（或=Ex）
G23二Gi2（或Gyz二Gxy）
Ei
Ex
21zx）
E1
E2
模型中关于材料的弹性模量变化有一定的限制（Amadei,1982）,其限制条件
为:
、、xz空1
2Eyx
1-xzE2"-。
Ey
4、Drucker-Prager（德鲁克-布拉格）塑性模型
Drucker-Prage塑性模型适用于低摩擦角的软质粘土。
（1）增量弹性定律
Drucker-Prage模型根据两种广义应力（剪切应力和平均法向应力c定义如
下：
.=
1
（6-48）
22
：
'亠（22-二33〕亠〔11
2
12
二=3J二22二33公式中J2是应力偏量第二不变量，可以表示为：
（6-49）
剪切应变增量厶、体积应变增量£和T以及（的关系如下:
（6-50）
=2,二J2
•：
e=len•'e22•厶仓3
公式中，和2为应变偏增量第二不变量：
J2
22^2
=e22」-"e22=0331-''ei1=e33••'-e12
应变增量可以分解如下:
（6-51）
（6-52）
Le=丄e、^eP
公式中上标e和p分别指弹性部分和塑性部分，在弹性变形阶段，塑性变形不为0,胡克定律的增量表达式根据广义应力和应变表述如下：
心-K=ee公式中，K和G分别为剪切模量和体积模量。
（2）屈服函数
图6-7描述了（（T,平面内的破坏判断准则，由Drucker-Prage模型的屈服函数可以得到点A到点B的破坏包络线：
fs=.q-k.（6-54）
B点到C点的拉破坏屈服函数如下：
f七-八一t（6-55）
公式中，q■和k•是材料力学性质常量；是Drucker-Prage模型中的抗拉强度，被定义为研究材料平均法向应力的最大值。
对于q•一0的材料，抗拉强度不能超
过最大值二maxt:
-t
max
（6-56）
q
图6-7Drucker-Prager模型破坏准则
（3）材料力学参数的注解
Drucker-Prager模型的剪切破坏准则fs=0在主应力空间中，通过
以二1"「2=5为轴，m二a,a,a（a=k.q.，图6-8）为顶点的圆锥体进行了说明。
莫尔-库伦剪切破坏准则中有两个特征参数：
粘聚力c和内摩擦角'■，
可以通过一个同轴的不规则六棱锥进行描述，六棱锥有三个向外的边缘，有三个向内的边缘（图6-9）。
参数q•和k•根据Drucker-Prage圆锥体通过莫尔-库伦六棱锥的外部边缘或内部边缘而变化，对于通过六棱锥的外部边缘有：
.33-sinSin
ccos
33-sin
对于通过六棱锥的内部边缘有:
（6-58）
sin'■
.33sin
6A
k,：
ccos
13（3+sin©）
在q•.=0的特殊情况下，Drucker-Prager屈服准则可简化为Mises屈服准则，
Mises屈服准则和主应力空间中的圆柱体相对应。
Tresca屈服准则是
Mohr-Coulomb准则中'=0的一种特殊情况，在主应力空间中可以通过规则的六棱柱进行描述。
Mises圆柱已包容了棱柱，因此有：
q=0（6-59）
2
心二
图6-8主应力空间中Drucker-Prage屈服准则和Mises屈服面
图6-9主应力空间中Mohr-Coulomb屈服准则和Tresca屈服面
5、Mohr-Coulomb（莫尔-库伦）塑性模型
Mohr-Coulomb模型通常用于描述土体和岩石的剪切破坏。
模型的破坏包络线和Mohr-Coulomb强度准则（剪切屈服函数）以及拉破坏准则（拉屈服函数）相对应。
（1）增量弹性定律
FLAC程序运行Mohr-Coulomb模型的过程中，用到了主应力—、二2和二3，
以及平面外应力Czz。
主应力和主应力的方向可以通过应力张量分量得出，且排
序如下（压应力为负）：
G_；「2乞二3（6-60）
对应的主应变增量.询、厶e2和厶03分解如下:
•ef；ee©Pi=1,3（6-61）
公式中，上标e和p分别指代弹性部分和塑性部分，且在弹性变形阶段，塑性应变不为零。
根据主应力和主应变，胡克定律的增量表达式如下：
:
•/e：
'二2^e；•^e；
2=〉1ie；n.H2；=ee‘e；（6-62）
厶；「3二:
-r■■:
e°2■'■：
e1e7二e：
公式中，：
1=K4G3；:
2=K-2G.3。
（2）屈服函数
根据公式（6-60）的排序，破坏准则在平面「,匚3中进行了描述，如图6-10。
由Mohr-Coulomb屈服函数可以得到点A到点B的破坏包络线为：
厂=1-^N-2C「N：
（6-63）
B点到C点的拉破坏函数如下：
ft=：
；t-二3（6-64）
公式中，——内摩擦角；
c――粘聚力；
I――抗拉强度。
1+sin$
N二严丄（6-65）
1-sin
注意到在剪切屈服函数中只有最大主应力和最小主应力起作用；中间主应力
不起作用。
对于内摩擦角'-0的材料，它的抗拉强度不能超过匚；ax，公式如下：
t
max
C
tan
6、统一节理塑性模型
此模型是一种各向异性塑性模型，用于模拟符合Mohr-Coulomb破坏准则的
材料中含有特定方位节理面的岩体。
统一节理模型中可能骨架发生破坏，也可能节理面发生破坏，或者两者都发
生破坏，这主要依赖于应力条件、节理面的方向以及骨架和节理面的力学参数。
FLAC程序中关于Mohr-Coulomb模型在上面作了介绍，本部分将主要介绍节理面的塑性变形。
图6-11给出了二22「平面内，节理面的破坏判断准则：
A点到B点的局部破坏包络线由Mohr-Coulomb破坏准则定义为厂=0和：
fs__.-c22tan]5（6-67）
B点到C点的拉破坏判断准则定义为T=0和：
ft22（6-68）
公式中，％、Cj和t分别为节理面的内摩擦角、粘聚力和抗拉强度。
注意，对于摩擦角不为零的节理面，其抗拉强度的最大值为：
（6-69）
t_Ci_
j,maxtanj
I
r*
ft=O
Cj/tan0j
图6-11统一节理模型中节理面的破坏准则
7、应变硬化/软化塑性模型
应变硬化/应变软化模型用于模拟非线性材料的软化和硬化力学行为，模型的实现基于Mohr-Coulomb模型中力学参数（粘聚力、内摩擦角、膨胀角、抗拉强度）的变化，这些力学参数都是塑性偏应变的函数。
此模型依赖于上面提到的含有剪切判断准则和拉破坏判断准则的Mohr-Coulomb模型。
它们的不同点在于应变硬化/软化模型在塑性屈服开始时，粘聚力、内摩擦角、膨胀角和抗拉强度具有变硬或者变软的可能性，而在Mohr-Coulomb模型中，这些力学参数假设是恒定的。
在这种模型中，使用者能够把粘聚力、内摩擦角以及膨胀角定义为测量塑性剪切应变参数的分段线性函数，抗拉强度的分段线性软化规律可以根据另外一个测量塑性拉应变的硬化参数定义。
模型的屈服函数、塑性变形法则和Mohr-Coulomb模型中相同。
（1）硬化/软化参数
塑性剪切应变由剪切硬化参数eps测量，其增量形式定义如下：
1
ieP^-Uer-ism：
sh1Uems^-Uep-iemsf>2（6-70）
.222,
公式中：
3
•&Ps,j=1,3是主塑性剪切应变增量。
拉硬化参数ept测量了累积的拉塑性应变，其增量形式定义如下：
：
ePt二（6-71）
公式中，厶e『是主应力方向上的拉应变增量，（拉应力为正）。
gPs是塑
附加的上标s指和剪切屈服面相关的塑性应变（而不是拉屈服面）
变。
（2）自定义粘聚力、内摩擦角、膨胀角和抗拉强度函数
一维的应力-应变关系曲线曲，在屈服阶段发生软化，并且保留一定的残余强度：
图6-12应力-应变曲线
在到达屈服点以前，曲线保持线性变化，在这个阶段，仅仅存在弹性应变，即e=ee。
超过屈服点以后，全应变由弹性应变和塑性应变两部分组成，即：
e二eeep。
在应变软化/硬化模型中，使用者把粘聚力、内摩擦角、膨胀角和抗拉强度的变化定义为全应变中的塑性应变部分ep的函数，这些函数的例子见图
6-13，在FLAC程序中调整为线性变化的线段（图6-14）。
图6-13和塑性应变对应的粘聚力
（b）
（a）和内摩擦角（b）的变化曲线
（a）（b）
图6-14和线段近似的曲线
8、双线性应变硬化/软化一致节理模型
双线性应变硬化/软化一致节理模型能够模拟地质材料以及节理面的软化和硬化行为，模型通过一致节理模型力学性质（内聚力、内摩擦角、膨胀率、抗拉强度）的变化来实现，这些力学性质参数是偏塑性应变和拉塑性应变的函数。
双线性模型还能模拟材料强度随平均应力的变化规律。
双线性应变硬化/软化一致节理模型是上面描述的统一节理模型的一种普遍化，在模型中，骨架以及节理的破坏包络线是两个Mohr-Coulomb强度准则和根
据特定的规律可以硬化或软化的拉破坏判断准则组成的组合。
骨架和节理的软化行为通过四个独立的硬化参数确定，其中两个参数用于描述骨架，另外两个参数用于描述节理，它们分别对应着塑性剪切应变和拉应变。
在此模型的计算过程中，如果塑性变形已经发生，硬化参数增加，粘聚力、内摩擦角、膨胀角和抗拉强度的参数通过自定义数据对骨架和节理进行参数调整。
⑴骨架的失效准则和变形规律
模型中关于骨架的破坏准则在图6-15的主应力平面（6,d3）内进行了描述（压力为负，且二！
乞匕乞匕）。
破坏包络线含有A-B段和B-C段内的两个Mohr-Coulomb破坏判断准则：
f2s=0和f；=0；以及C-D段的拉破坏判断准则：
T=0。
剪切破坏判断准则的普通形式为：
fs=0,在于A-B段内，粘聚力c二C2、内摩擦角字：
％；在B-C段内，粘聚力。
二。
、内摩擦角空起。
拉破坏准则通过抗拉强度二t（正值）进行描述：
图6-15双线性骨架破坏准则
1sin
1-sin
对应于f2s=o和fis=0交叉点处的C3的数值如下：
_I2c2N2-2ciN13：
■
N电_N申
（2）节理面的破坏准则
图6-16描述了节理面的破坏准则，破坏准则和Mohr-Coulomb准则的两种判断形式相符，在A-B段内：
f2s=0;在B-C段内：
f：
=0;以及一个拉破坏判断准则，在C-D段内：
T=0。
每种剪切破坏判断准则都有普通形式fs=0，其特点是在A-B段内，粘聚力Cj=Cj2，内摩擦角j=j2;在B-C段内，粘聚力Cj=Cj1，内摩擦角q=%1。
拉破坏的判断准则通过抗拉强度科（正值）进行了说明。
因此有：
A
（6-76）
（6-77）
注意，对于摩擦角冷=0的节理面，抗拉强度的最大值为:
（3）硬化参数
双线性应变硬化/软化一致节理模型发生塑性变形后，一些区域或者所有区域内骨架以及节理的参数（粘聚力、内摩擦角、膨胀角和抗拉强度）根据硬化函数对开始的输入值，进行分段线性调整。
模型中用到了四个独立的硬化参数：
1，'s，对应骨架的塑性剪切应变，用于更新骨架的粘聚力、内摩擦角和膨胀角；
2「，对应骨架的塑性体积拉应变，用于更新骨架的抗拉强度；
3，对应节理的塑性剪切应变，控制着节理的粘聚力、内摩擦角和膨胀角的更新；
4叫，对应节理的的塑性体积拉应变，用于更新节理的抗拉强度。
9、双屈服模型
双屈服模型能够模拟一些材料的力学行为，这些材料除了发生剪切屈服外，还会发生一种和剪切屈服明显相互作用的屈服模式，例如液压回填材料或者由混
凝土胶结形成的小颗粒材料。
模型中考虑了由于各向同性压力引起的永久性体积变化，还考虑了FLAC程
序中应变软化/硬化模型中剪切破坏和拉破坏判断准则以及体积屈服面（帽盖）。
为了简便起见，体积屈服面由体积压力来定义，即pc0，和剪切应力无关；它由剪切应力和平均应力图上的一条垂线组成。
体积屈服面的硬化行为被体积塑性应变激活，并且符合分段线性规则。
当根据因子R定义的特殊规律发生塑性体积应
变时，切线体积模量和剪切体积模量得到了发展，其中R假设为连续的，并且定
义为弹性体积模量和塑性体积模量的比值。
除了和应变软化模型相关的参数外，此模型还需要另外两个参数和一个切平面：
1Pc的初始值，它等于材料曾经经历的最大平均压力值；
2R值，大于1,在体积应力卸载时，控制了应力-应变曲线的斜率；
3硬化曲线的切平面表达式，把体积屈服面的压力pc和塑性体积应变epv«
系在一起。
（i）弹性定律增量形式
此模型中，用到了主应力；「1、匚2和匚3以及平面外应力匚zz，这些主应力以及主应力的方向通过应力张量分量计算得出，且有以下排序（压力为负）：
G_；丁2-丁3（6-79）
对应的主应变增量形式分解如下：
©二：
epi=1,3（6-80）
公式中上标e和p分别指代弹性部分和塑性部分，在弹性屈服阶段，塑性应变不是零（向外的应变为正），假设剪切屈服、拉屈服以及体积屈服的塑性和都是附加的，则有：
「©P八eps..gpt.Cef（6-81）
公式中，上标ps、pt和pv分别代表塑性剪切应变、塑性拉应变和塑性体积应变。
根据定义，这部分中的符号£用于指负的体积应变增量（=©*二仓*=e3）、塑性应变增量.-：
ep和弹性应变增量.■=ee。
符号.■=epv指负的塑性体积应变增量（^eT：
e3pv）。
根据主应力以及主应变的胡克定律表达式可以得到增量表达式的形式：
:
，二2忙e；：
二e；
—二〉仁°；〉2咳•咗（6-82）
=「3=「1Ae3!
•2^e：
•Ae：
公式中，・4G「3；:
2二Kc-2Gc「3，Kc、Gc是根据下面的考虑定义的切向体积模量和剪切模量。
考虑用逐渐增加的压力Pc对物体进行各向同性压缩，当材料变得更密实时，它的塑性刚度dpc「depv通常是增加的，既然物体的颗粒距离更近，弹性刚度增加似乎也很合理。
在一般的加载条件下模型采用了一个非常简单的准则，即增加
的弹性刚度Kc是常数因子R和目前逐渐增加的塑性刚度的乘积。
体积模量K和剪
切模量G由使用者提供，被认为是Kc和Gc的上限，并且假设心/Gc二K/G的比率为常数。
使用增量符号，定义如下：
Gc
（6-83）
公式中，比率R已知，弋是卩。
切平面的当前斜率。
Aep
图6-17展示了双屈服破坏模型的力学行为，图中给出了非线性体积加载曲线和几条卸载曲线。
卸载曲线是弹性的，其斜率和卸载点的塑性刚度以及R相关。
（2）屈服函数
剪切屈服函数fs和拉屈服函数2有以下的形式：
fs2cM（6-84）
ft7（6-85）
公式中，N.=1sin「）■i1-sin；
——内摩擦角；c――粘聚力；，一一抗拉强度。
体积屈服函数fv定义如下：
1
「=3戸+_代3）+5（6-86）
公式中Pc为体积屈服面压力。
体积应变
图6-17弹性体积加载/卸载路径
p<
10、改进的剑桥（Cam-clay）模型
需要考虑变形模量引起材料的体积变化以及对剪切破坏的阻碍时，例如软质
粘土，可以采用改进的剑桥模型。
该模型是一种逐渐增加的硬化/软化弹塑性模
型。
它的特点包括特殊格式的非线性弹性变化以及由体积塑性应变（由密度决定）
决定的硬化/软化行为。
破坏包络线形状上自我相似，并且在主应力空间中和围绕着平均应力轴旋转的椭圆体相对应。
（以上所有模型都是根据有效应力进行计算的，这部分的压力也指有效压力。
）
⑴弹性定律的增量形式
改进的剑桥模型用三个变量进行描述：
平均有效压力p,偏应力q和特定的体积V。
在FLAC程序运行此模型的过程中，使用到了主应力g、匚2、匚3以及平面外应力二zz（牵引力和膨胀角为正）。
广义应力分量p和q根据主应力表达式如下：
pV「3
122
q_G_；「2］亠（2］亠（1
<2
（6-87）
（注意，q=.3J2，其中J2是有效偏应力张量第二不变量。
）
和-p、q相关的应变增量是体积应变增量厶e和扭曲应变增量■'■：
eq，因此有:
■■■e=•）e2•，e3
△eq=—也笑_@2f+应2_亞3）2+（△©-“3y
（6-88）
公式中，■；ej,j=1,3是主应变增量，假设主应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分，则：
=1,3
（6-89）
特殊的体积v定义为:
（6-90）
公式中，Vs是固体颗粒体积，假设不可压缩，包含在体积为V的土体中。
体积应变e和特定体积之间的增量关系如下：
:
:
e=
v
（6-91）
假设初始特定体积为vo,对于小体积应变增量有:
v=v°1e
公式中，e是目前累积的体积应变。
（6-92）
主坐标轴上的胡克定律增量表达形式为：
*1二〉1冷匕
:
r'：
ej':
'2^e：
•「e；
'■■2厶e：
*e；
（6-93）
公式中：
：
1=K4G3；:
2=K-2G3。
另外，使用应力张量、应变张量增量的偏张量部分可以得出：
•：
Si=2G.「ei=i,3
-/p=K.ee（6-94）
公式中：
lP
.■:
e^A-ee_.-.：
ee3=ee=.〉e：
■■■Lefv
在剑桥模型中，体积关系式（6-94）中的切线体积模量K被更新，用来反映各向同性压缩试验中的非线性规律。
图6-18给出了半对数坐标系中，典型的各向同性压缩试验的结果图。
由于法向固结力p增加，材料的特定体积v减小。
描述材料沿着垂直固结线运动的点可以定义为：
▼=3上-'；1n卫（6-95）
Pi
公式中，厂和V.是两个材料参数，pi是参考压力（注意，在参考压力下，V.就是特定体积）。
图中A-B之间的卸载-重新加载曲线将沿着斜率■的弹性膨胀线移动，回到法向固结线，然后重新继续移动。
膨胀线的方式如下：
v=v.-In卫（6-96）
Pi
公式中
升级会员 