分解质因数一含详细解析.docx

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分解质因数一含详细解析

5-3-4.分解质因数

（一）

⅛⅜lM⅛⅜g

1.能够利用短除法分解

2.整数唯一分解定理：

让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为x...x△灯的结构，而且表

达形式唯j

一、质因数与分解质因数

（1）•质因数:

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

（2）.互质数：

公约数只有1的两个自然数,叫做互质数.

（3）.分解质因数：

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：

30=2×3×5具中2、3、5叫做30的质因数•又如12=2x2x3=2?

x3,2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式•分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

（4）.分解质因数的方法：

短除法

2[12

例如：

2[6,（L•是短除法的符号）所以12=2×2×3；

3

二、唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即：

“=冲乂於X用×.∙∙×rf其中为质数，绚<"2<……<绞为自然数，并且这种表示是唯一的•该式称为H的质因子分解式「

例如：

三个连续自然数的乘积是210”求这三个数.

分析：

V210=2×3×5×7,••・可知这三个数是5、6和7.

三、部分特殊数的分解

111=3×37；1001=7×ll×13；IlllI=41×271；IOool=73x137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；

小学奥数持训菅

2∞7=3×3×223；2∞8=2×2×2×251；IOIOI=3×7×13×37.

模块一、分解质因数

【例1］分解质因数20034=O

【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空

【关键词】走美杯，决塞，5年级，决寿，第2题，10分

【解析】原式=2x3'x7x53

【答案】2×33×7×53

【例2】三个连续自然数的乘积是210,求这三个数是多少？

【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空

【解析】210分解质因数：

210=2x3x5x7,可知这三个数是5、6和7。

【答案】5、6和7

【例3】两个连续奇数的乘积是111555,这两个奇数之和是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【解析】111555分解质因数：

111555=3×3×5×37×67=（3×3×37）×（5×67）=333x335,所以和为668.本讲不

仅要求学生熟练掌握分解质因数,而且要注意一些技巧,例如本题中的Hl=3×37o

【答案】668

【巩固】已知两个自然数的积是35,差是2,则这两个自然数的和是•

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题

【解析】35=1x35=5x7,5、7差2,两个自然数的和是5+7=12

【答案】12元

【例4］今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是o

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空

【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题

【解析】11x12x13=1716,12×13×14=2184,所以是2184

【答案】2184

【例5】如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126,那么，它们的和是.

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【关键词】迎春杯,五年级•初塞，第3题

【解析】126=2×32×7f因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14,它们的和为23•

【答案】23

【例6】4个一位数的乘积是360,并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】将360分解质因数得360=2x2x2x3x3x5,它是6个质因数的乘积•因为题述的四僚中只有一个是合数，所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数,所以这4个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533.

【答案】8533

【例7】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】基本思路与上题一样，重点还是在这个因数的使用上，所以分解因数得到

589225=1×13×25×37×49,五个人的年龄和为125岁。

【答案】125岁

【例8】如果两个自然数的和与差的积是23,那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是。

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初塞，4题

【解析】根据题意列式子如下：

（d+b）（α"）=23,因为23分解质因数是1与23,所以a+h=23,a-b=∖I根据和差关系算出a=∖2Ib=∖∖I所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23,

【答案】23

【例9】20M×7×20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】首先分解质因数,20（M×7×20=2×2×2×2×3×5×7×167,其中最大的质因数是167,所以所要求的三个连续自然数中必走有167本身或者其倍数.165=3x5x1,166=2×83,168=2×2×2×3×7,169=13x13,所以165×166×167f166×167×168,167x168x169都没有4个2,不满足题意•说明167不可行.尝试334=167×2,335=5×67,336=2×2×2×2×3×7,

334×335×336=2×2×2×2×2×3×5×7×67×167,包括了20（M×7×20中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.

【答案】1005

【例10】A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。

那么A、B两数之差的最大值是O

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空

【关键词】华杯窘，五年级，决塞，第8题」0分

【解析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007,所以A的可能值是231或235或675或2011,又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007,所以B的可能值是230或234或674或2010,AXB两数之差的最大值为2011-230=1781o

【答案】1781

【例11】（老师可以先引入：

小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？

）大

毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【解析】题中告诉我们,48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数,再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。

48384=28x33x7=（22x3）x（2x7）x24x（2x32）=12x14x16x18,由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。

它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数,—定是偶数。

又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中,没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一走是2、4、6、8。

又因为IO4<48384,而48384<204,所以可以断走，这四个数一走是12、14、16、180也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

答：

这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。

【答案】12岁、14岁、16岁、18岁

【例12】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是6384,求这三个数？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】将6384分解质因数，6384=2×2×2×2×3×7×19,则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算,

19-5=14=2×7,19+5=24=2×2×2×3,恰好14x19x24=6384,所以这三个数即为14,19,24.—般象这种类型的题,都是从最大的那个质因数去分析•如果这道题里19不符合要求,下一个该考虑38,再下一个该考虑57,依此类推•

【答案】14f19f24

小学奥数特训营

【例13】四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空

【解析】分解质因数3024=24×33×7f考虑具中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、&9或7、8、9、IO（IO仍含有5,不行），经检验6、7、&9恰符合.

【答案】9

【例14]植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在IOO至200之间，则有分法（）。

A、3种B、7种C、11种£>、13种

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】园睪

【关键词】华杯窘，五年级，初塞，第4题

【解析】只要找到IOO到200之间可以整除1430的数即可。

1430可分解成2,5fH,13的乘积，所以可以

按每组IlO人，130人，143人分组,共有3个方案。

所以答案为A

【答案】A

【例15】a、b、c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：

3,6,15,1&20,

50,60,IoOI120,300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是。

A.1B.3C.5D.1（）

【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择

【关键词】迎春杯,中年级，复试，2题

【解析】D,解:

lxa

c=5〃。

2

bc=b×2l）=2b1Ihd=h×5b=5h2Icd=2l）×5b=∖0b2o在15,1&20.50,60,100中，j鬲足2:

5:

10的三个数是20.50,Ig所以庆=IOO*10=10。

【答案】D

【例16]a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：

0.3、0.6、1.5、1.8、2、

5、6、10、12、30。

将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是O

（A）0.3（B）0.5（C）1（D）1.5

【考点】分解质因数【难度】5星【题型】选择

【关键词】迎春杯,高年级，复试，2题

【解析】CI设a

305

d=—C=-c=5bZbc=bx2b=2b~$bd=bx5b=5b~,CCl=2b×5b=∖Ob2,在1.5,1.&2.5610中Z满122

足2:

5:

10的三个数是2,5,10,所以IOF=IO,b2=∖,b=∖o

【答案】1

【例17】将1〜9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48,第二组三个数的乘积是45,第三组三个数字之和最大是多少？

【考点】分解质因数【难度】2星【题型】解答

【解析】分解质因数45=3×3×5,48=2×2×2×2×3,可知45只能是1,5,9的乘积，而48可能是2,4,6或2,3,8或1,6,8（舍去），则第三组的三个数可能是3,7,8或4,6,7,具中和最大的是3+7+8=18.

【答案】18

【例18]一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】我们知道任意个已确走个数的数的乘积一定时,它们相互越接近,和越小•如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小，为8•1998=2x3x3x3x37,37是质数，不能再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好•有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近•它们的和为6+9+37=52（厘米）.

【答案】52

【例19】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】39270=2×3×5×7×11x17,为三个连续自然数的乘积，而34×34×34最接近39270,39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有33x34x35=39270.所以33、34、35为满足题意的长、克、高•则长方体的表面积为：

2x（长X竞+克X高+高X长）=2x（33x34+34x35+35x33）=6934（平方厘米）.

方法二:

3927O=2×3×5×7×11x17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17,如果17作为长、克或高显然不满足•当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立,再考虑质因数7,与34接近的数32〜36中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度•而39270的质因数中只剩下了3和1/,所以这个长方体的大小为33x34x35.长方体的表面积为2Q7703Q?

703Q77Π

2x（++二二）=2x（1190+1155+1122）=2×3467=6934（平方厘米）・

333435

【答案】6934【例20】如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】4875=3×5×5×5×13,有a×b为4875的约数，且这两个数的和为64.发现39=3x13、25=5x5这两个数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数.那么它们的差为39-25=140

【答案】14

【例21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17,共有16种形式,如果把每个数都这样分解，再相乘,看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数,显然太繁琐了•可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888.999,每个数都是Ill的倍数”而111=37×3,因此把这九个数表示成一个两位数与_个一阈或两个两鯛相乘时,必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？

）3倍就不是两位数了.

把九个三位数分解：

lll=37x3、222=37x6=74x3、333=37×9x444=37x12=74x6、555=37×15s666=37x18=74x9、777=37x21、888=37×24=74×12s999=37×27.

把两个因数相加，只有（74+3）=力和（37+18）=55的两位数字相同•所以满足题意的答案是74和3,37和18.

【答案】74和3,37和18

【例22】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数.如年份数1991,具有如下两个性质：

®1991是一个回文数.②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积.在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些？

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】这一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001fIlll,1221,1331,1441Z1551,1661,

1771,1881.符合条件②的两位质数只能是11,所以符合条件②的只有三个，即

ll×101=llll,11×131=1441,Hx15/=1661.

【答案】11×101=1111,11×131=1441,11×15∕=1661

【例23】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

小学奥数持训菅

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】解答

【解析】有140=2×2×5×7,要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或

者同时位于分母的位置上。

这样由小到大的最简分数依次是・

一一=―==-■倒数第三小的是丄

2×2×5×71405×7352×2×7282×2×52028

【答案】2

28

【例24］纯循环小数（）力戻写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数赢=

【考点】分解质因数【难度】3星【题型】填空

【解析】如果直接把0加戻转化为分数•应该是哎•因此•化成最简分数后的分母应该是999的约数•我们999

将999分解质因数得：

999=33×37•这个最简分数的分母应小于58•而且大于29•否则该分数就变成了假分数了•符合这个要求的999的约数就只有37了•因此•分母应当为37•分子就是58-37=21•也就是说Og齐盖⅛春因此赢=21X27=567.

【答案】567模块二、分解质因式

【例25】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.

【考点】分解质因式【难度】2星【题型】解答

【解析】设这三个质数分别是Sb、C,满足UbC=W（a+b+c）,则可知“、b、C中必有一个为11,不妨记为α,那么加=ll+b+c,整理得⑺-I）（C-I）=12■又12=1×12=2×6=3×4，对应的方=2、c=13或b=3、c=7或b=4、C=S（舍去），所以这三个质数可能是2,11,13或3,7,11.

【答案】2xIk13或3.7、11

【例26】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数•

【考点】分解质因式【难度】2星【题型】解答

【解析】设这三个质数分别是Sb、c,满足abc=7（a+b+c）,则可知“、b、C中必有一个为7,不妨记为"，那么尿=7+"+r,整理得（方一1）（1・一1）=8,又8=1×8=2×4,对应的方=2xC=9（舍去）或〃=3xC=5f所以这三个质数可能是3,5,7

【答案】3.5、7

【例27】如图，长方形周长为20,面积为24。

另一个长方形，面积为20,周长为24。

它的长是,宽

是。

小学奥数持训菅

【考点】分解质因式【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，3年级，决害，第7题，10分

【解析】周长为24则，长和克的和为24→2=12,因为2O=l×2O=2×lO=4x5r因为10+2=12,所以它的长是10I宽是2O

【答案】长是10,克是2

【例28】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长.宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

【考点】分解质因式【难度】3星【题型】解答

【解析】如下图/设长、农高依次为"、IKCt有正面和上面的和为ac+ab=209・

ac+ah=a×（c+b）=209t而209=11x19・

当Qll时,C+/;=19,当两个质数的和为奇数,则其中必走有一个数为偶质数2,则c+∕τ=2+17;

当“=19时，c+lτ=∖∖I则c+h=2+9,b为9不是质数,所以不满足题意.

所以它们的乘积为11×2×17=374.

【答案】374

【例29】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17,19可得到一个四位数1719,由19,17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。

【考点】分解质因式【难度】3星【题型】解答

【解析】设这2个两位质数分别是α和b,则这个四位数是100“+〃，根据条件可知：

∙^∣（lgf+b）,即（"+b）1（200“+劝），设Zb=k,贝1）200“+”=«（“+b）,化简得（20O-L）α={k-2）b,因此a+h

/1=2∞→•其中R是整数，α和〃均为两位质数，设200-«=加.k-2=g,则两式相加得ak_2

（"+b）m=198,注意到α和b都是质数即也是奇数，所以“+b是198的约数•198=2x3?

xll,由于a、b都是两位不同的质数，因为11+13j+"<89+97中的偶数，所+b=66

【答案】1353、5313.1947x4719、2343、4323x2937s3729