高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教师用书文新人教A版.docx
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高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教师用书文新人教A版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教师用书文新人教A版
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[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2.演绎推理
（1）定义：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．（ ）
（2）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（ ）
（3）“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．（ ）
（4）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）√ （4）×
2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）
A．归纳推理B．类比推理
C．演绎推理D．以上都不是
B [类比推理的一般步骤是：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性．
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]
3．（教材改编）已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是（ ）
A．an＝3n－1B．an＝4n－3
C．an＝n2D．an＝3n－1
C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]
4．“因为指数函数y＝ax是增函数（大前提），而y＝x是指数函数（小前提），所以函数y＝x是增函数（结论）”，上面推理的错误在于（ ）
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提错误导致结论错误
A [“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]
5．（2014·全国卷Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
A [由题意可推断：
甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]
归纳推理
（1）（2016·武汉4月调研）数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2016·山东高考）观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
（1）C
（2）n（n＋1） [
（1）数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.
（2）通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×（n＋1），即n（n＋1）．]
[规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
（2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
2．归纳推理的一般步骤：
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．
[变式训练1]
（1）已知x∈（0，＋∞），观察下列各式：
x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1（n∈N*），则a＝__________.
（2）下面图形由小正方形组成，请观察图6 4 1
（1）至图（4）的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________.【导学号：
31222221】
图6 4 1
（1）nn（n∈N*）
（2）（n∈N*） [
（1）第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.
（2）由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为（n∈N*）．]
类比推理
（1）（2016·陕西师大附中模拟）若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（ ）
A．dn＝ B．dn＝
C．dn＝D．dn＝
（2）（2016·贵州六校联考）在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：
在三棱锥A BCD中（如图6 4 2），DEC平分二面角A CD B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．
图6 4 2
（1）D
（2）＝ [
（1）法一：
从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.
法二：
若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝
c·q1＋2＋…＋（n－1）＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.
（2）由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]
[规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．
2．类比推理常见的情形有：
平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比（和与积、乘与乘方，差与除，除与开方）．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．
[变式训练2] 给出下面类比推理（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；
④“若x∈R，则|x|<1⇒－1其中类比结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
B [类比结论正确的有①②.]
演绎推理
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n∈N*）．证明：
（1）数列是等比数列；
（2）Sn＋1＝4an.【导学号：
31222222】
[证明]
（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2（n＋1）Sn.2分
∴＝2·，又＝1≠0，（小前提）
故是以1为首项，2为公比的等比数列．（结论）
（大前提是等比数列的定义，这里省略了）5分
（2）由
（1）可知＝4·（n≥2），
∴Sn＋1＝4（n＋1）·＝4··Sn－1
＝4an（n≥2），（小前提）8分
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提）
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.（结论）
（第
（2）问的大前提是第
（1）问的结论以及题中的已知条件）12分
[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：
如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．
[变式训练3] 如图6 4 3所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：
ED＝AF（要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来）．
图6 4 3
[证明]
（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）
所以DF∥EA.（结论）5分
（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）
DE∥BA且DF∥EA，（小前提）
所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）8分
（3）平行四边形的对边相等，（大前提）
ED和AF为平行四边形的对边，（小前提）
所以ED＝AF.（结论）
上面的证明可简略地写成：
⇒
四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.12分
[思想与方法]
1．合情推理的过程概括为
→→→
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
[易错与防范]
1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．
课时分层训练（三十五）
合情推理与演绎推理
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
C [因为f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，所以小前提不正确．]
2．如图6 4 4，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是（ ）
【导学号：
31222223】
图6 4 4
A．12B．48
C．60D．144
D [由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]
3．某种树的分枝生长规律如图6 4 5所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（ ）
【导学号：
31222224】
图6
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