摄像机成像几何.docx

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摄像机成像几何

9.

9・1成像几何

基本模型

Oc是摄像机中（光）心

Zc是摄像机主（光）轴#IIOc・“ll是摄像机焦距

基本成像几何模型的代数表示

P是一个3*4矩阵，通常称为摄像机矩阵

CCD摄像机

zlu=PXc

摄像机矩阵：

P=K|I.O]

摄像机内参数矩阵：

K

DLT算适（直接线•性变换算塗L

记摄像机矩阵为宀（卩"讣叽则有

u=pvrX/p^X

v=p"X/p"X

摄像机矩阵确定了一个从三维空间到图像平面的分式线性变换,有时，称它为退化的射影变换。

通常也称小孔模型为线性模型。

9.2摄像机矩阵元素的几何意义

摄律机中心

mmpx=o而幣惓飾i中心魏腔标系中斛标

世界堂标康点

X=（0.0,0.1）rP=（P"，Pj』4）

◎

0

W%=PX"P「P2・P、，PJ（）=p4

摄像机矩阵的第4列是世界坐标原点的图像坐标

世界堂标紬的方向

X=（I.O.O.O）r.F=（O.LO.Oy.Z=：

（O.OJ.O）7

Z町川1二PX«PrPNPJlPMJ

巧佗=py=P2■〜o,

片曲；二PZ=[J、x/

y

摄像机矩阵的前三列分别是三个坐标轴方向的图像坐标

主平面

与像平面平行的摄像机坐标平面称为主平面

AW

V

=PX=

piTX

A

凤丿

严=0

摄像机矩阵的第3行是主平面在世界坐标系中的坐标

方剜定的平面，即在世界坐标系中坐标为严解而.

图像平面I•轴与摄像机光心所确定的平面，在世界坐标系中的坐标是摄像机矩阵的第1行：

图像平面“轴与摄像机光心所确定的平面，在世界坐标系中的坐标是摄像机矩阵的第2行：

与像平面平行的摄像机坐标平面，在世界坐标系中的坐标是摄像机矩阵的第3行：

L轴MI：

VIfll是11:

交的，因此I轴必为tV血的法线.

2dcl（//）F主轴正向在世界坐标系中的衰示

-ttMB空间的摄律机矩阵一

H是一般射影空间到摄像机坐标空间的射影变换：

XC=HX加=K（/,O）Xr

m=K（I.O）HX

p00o']

/-KOIOOH

00I0^

仿射空间的摄■机矩阵

Xc

"ioooV

0100

0010,

欧氏空间的摄律机俺阵（度■单位审）

9・3基本几何元素的投影与反投影

P■（儿PJ

空间点

无穷远点的投影

m^PX

无穷远点的投影在3D■构中是非常直要的，因为从它能获得物体的仿射几何结构

PXj（H、pjX」Hd

直线的反投影

图像平面上一条直线的反投影是空间中通过摄像机中心的一张平面

在摄像机FF的图像应线/的反投场是空间平曲

x「（p7）=Npy）=q

I

7T=P‘I

以空问平盼为世界处■的0叩平面平jh上馭触标为X=go」r

y

0

I

冋1心小X厂（xjl）

无穷远平面到徐平面的单应

令HKKS则儿〃［=沪［

假崔无穷远点X=（V.灯“的图像为/〃•则仃

若二次曲线在支撐平面的表示为c,则它的像曲线为:

q二irTCHA

问3防&

GC蛊書卑X舜p畫i・「盍蠢恥寻SS吉蛊nKBc』4s0^Li兵B

盂蠱冷U黑C曹埜冒訂十塞S-董幣琴豐釜喜議C若孤qsy宰慕辱C算圭海汗養£蹇霾X?

異

二次曲面

（於飜雌斛P,二次岫』删附叨它加I肌觸励C：

M/1

（2匚次urn縱轍rmm小，其中o翻妬觥毬标•

绝对二次曲面的图像

在几何上，Q由2的切平面所组成。

在代数上Q扑-个秩为3

的4X4的齐次瞬来表鬲

.（10\

（?

.=/八

绝対訣帥血般像

nj^KK1

无穷远平面单应H◎:

H©（H©）t=kK〕=E

（H©yT（H©屮=0K-i=e

绝对二次曲线的图像：

0）=K・TK"

绝对二次曲面的图像：

coJKK】

9.4从图像恢复平面景物的几何结构

刖嫉性:

令｛X：

。

｝啊面黝的IO帆I户12・•・・.訓細谢斛，即0間ii黝竝某个仿酬标紆的邮，蛀联｛X；gm；d以觸黝平翻解耐谢m胛•为xj=o,o）7,厅=（oj.o）r的点是聽平社踊个无艇■..

并舵f］邮I舫怖分朋”产旷盯諾，孑刊斗胡，毗聽卿社无喷餒觸朋线加胡恢屮。

已如描刖iki上无加述线的繰醴/•们上蚀齡帥•吋

1/外再衲个旳像点册|.加：

：

这样，任用像附IM得到4条仕纫||=片x叫・«=片阿,仃"“厶”""赊，它“枷的牖的诡找构成胸和谀国此,m&酬Tlfi上的•个和丽迦（犹・禺・&・扎舵的酣恤心码刚,W3.3.1所点在ft«jfiil：

it述斛标系，使即这个恂帼侧叫个处的知料标为

4m

2・“矢阱册］

恥刷臥",JJ23.4就饰‘册琲恤邮-般变剜叫即滋唯-的般建〃％舫叫畑4°姗皱训艸机艸中般肪法鸡悚令加|戶12…川爛濮枷抽緞删鮒烯,由般礬胛Mil•黜阻瞬点乐馳敝刼社O熾系下胁腔杭X》=（胛%JM

I恢复相似績构

从瞬魏复平靦物的刪斛的充要条件是赠雌關黝平瞞饨环点般仏

例如：

已知物体平面有两个相似的图形;圆（圆心未知）和两组平行直线已知圆心的圆

■厠睢令旷对皿躺黔闯"口.…»!

«'•.l!

l：

A:

黝竝某个鞭歸紆的怖.“口m叫训f•刚肿澜封鮒wM/广A阳、娜竝伽駅牺紆桝标址x；jl・i・叭厳（卜俯秫阳划倾脚期帅"$x;”#+昭m^riStr-r

克分杵：

已知物休T•面m-'Min.m，则无莎如H线的国像H线必为叫X侧/ffi/J：

«冲Zr,.「「.「J叫.叭成调和dfe・m过也忡条渐对应的最WT线是18互正交的,ft*35.2，宀iWi线八M卜5'

[In（升叫:

叫刖』也=兀4,则由竝M；'lagiicne）址刃,分別通过片.叫的仔jfcl两条1'f奶村应的的夬角尊】＜/4.-/./i滋过■泌的加黴・fM足通过"的苗条J1线・则19俾半曲I.的四个曲：

/«u■/x/j,mM■/）x/4.wr«/2x/；./«；,■/；x/4

剜馳溜他册4化Cw/JWM鯛J礪伽

iiiLkir-._..4哋长为财「一』輕縣傩卅讪II

為皿0」）[，l®LQ」）J』（UIU冋・1.1）

诜4竹H：

OTOWI^L：

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j=i.2…«•JjTlifi狮傩瀏mi叮'「邂河聘嵋躺.甜上述呱牺紆麵班fcXT」I2i・九端则剜flj繃血刪料，

恢复鉅对欧氏結构

从辎徹餌靦躺脈辎僦榦濮曲辦他龄娜点觸

牧相曲棘憎聽觸蹴I瓣预上龄竝确更亂

例如：

已知物体平面有两个全等的图形;

圆：

已知圆心和半径

证明必耍性：

餉X畀是和山物ftl製・,,D的个欧氏结构，即;X/｝艸物点划、氷硕〔知採卜•的初，：

1加忙匡％砒收側黝平佛像恤的.换〃叭隔楙邙L1：

两个娜点的糾诙

m二〃”（泡0）'矿+甘・/»产〃⑷（UM胡"■貯

并酬任飾:

卜■«,.场所曲的黝怖「点斗1.X；也酌I

d（X『・X；"）=d（〃3|wJ严反）

卅L已翊和场所对WT「「必，尽2何氏亚离为d・网个

Win.in们」•./叫叫一/册ml.lf]I-.,r,

<>I.I'“匕'L.I2“所对<11：

1."'nr.（）_•.

XpXJ丫冲点.在JI.取另…个点农使待I'j.v,'jm./w,l）k関用共仏则I’L线人.厶=“心所对应的物体丫曲I的沔条/戲紂」.止交.m333斫八•怡恿M2的回決似.W\.^l•（•个点Itt*WJ|ln（V?

/W,/H,/MJ|/2/,T4,>lyJt；u分别lil（wWj.pH・■：

）的两条（怨WffiftflftlI的4个点，

Iff«/（x/t,IN,=/）x/j.ftl■/,x/j.■人x人

所对M的IjlllZ4个心XA..AtX,必枸成个对他线:

IQ为«/Ifj片於用丸4物仇TillI也屯歐氏坐岳系如用门.3肝示.则11汕惦，5&•心屁的坐标分别为

0

0

・匕=

e

<'>

1

✓

1

Z

从点啊x輒诙忙ifHM训计胖蝕//.

眈I./-1.2….•/删iM惆撕甌馆:

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x、〃）jm.・•...・w饰

测系"吗敢舐頤系有胴朋對仁砌X：

|八门・・・・・.・讹勵肋

I紙翔。

9.5极几何兀:

极平面

令嚴e卅是-个阳应,则卅必时瞒曲的殲/：

!

:

加必釦M抽的瞅/；」：

，W：

桃仃。

（1）Vme/,刘埔在-条咄Z脈翘鶴卵和的肋讥/：

；

（2）W和上竝-条删^锻脈并醐開时卅的轴机S

社料师则处眺骡机觥幽制讪1毗帅讷灿駅軌朗僦丸仑踊眦脚的帅般伽。

基本矩阵

號两饨蚀鮒分恥M，遡个雛0啲像釉個加，儿HVM€/»

X（$）=厂加+QSG（Y.8）

肿,P♦是砒广义逆,即/T*C翳-蚀觸觥心，UpPCm于是她

/：

“x/»i『c）刈p‘x（$）卜（p'c）x（pp♦齢护cr（Fc）x（p0用冋4〃加即/>|,肆心。

id

F*]XP©]称为基本矩阵

/；二％览加对2的收线，/.?

加'是*对丿讪极线;豉等价地表初*'FmQ醃点分臓下述方私fe=0,f7=0；

W）=2,基木鮒有7个自由度.

例：

/•

輕

厂=：

Jt'I'a为一个任盘3维列向磺且e'=K't.折以

F屮儿WEL（fR・人勺人］=爪加心L+人加匸|门］用饥"I"

F引KgK'加

对［K几K7?

K“通过代数运％M以得到基木矩阵的三种表凤

F=[仇缈"=KT[4加=K:

加网4

1

1

极点2无穷单应本质矩阵无穷单应极点1

DLT算法

点对应:

m=（u,v,l）*nf=（u\v\l）

m,1Fm=0

从8对以上点对应，确怎F的线性解

]O宇Expansion.FOE）

第-个股馳啲内绅矩勒K,第二佛紘啲内参数解为乩方（i为曲）

d为坐标原点到甲面询诙

//="+弼）珂”制

DLT算法

点对应：

m=（u.v,l）*nf=（u\v\l）

srrf=Hin

m'⑨（Hm）=

0

从4对以上点对应，确定H的线性解

无穷远单应

H=（"too）

Hg=KfRK-1

HtKKTHrr=

QCr_y_丄G

二K’K’t、

H：

K“LH：

=K‘「K-'

CO0j丄

O）

o/・

"

（D

草应的一般表示

竹和训巾敞枷以i灯确处

h」k‘rk・—无魁单应矩阵：

I押丽无关，仅与两个摄很M鋤瓣互姚（歸）有关；

Z—9Z«S«»O:

训丽无先仅浙二个聡M鋤觸应

“K%—平面我AlWIt上的劇胪：

绅面训朋-个根厭的便it辎-个13附1胖賄丸丙询二个斛机无关.

令/为两个播紗I下卜啟半而”的单朋阳电3mH为茉个平而X的单觥阵的充縣件是低三朋孙赧鲍

二维向帛再是半而;r住第一幅图像上的必消线，血是半而打•勺平仍的交线傾fllOM滋H线.

从6对点对应（其中4点共面•另外两点不在此平面上），确定F的线性解

9.7恢复摄1»机矩阵

前在-何軸训雕财劇下越主

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P叩测八（比纳

本讲重点

摄像机矩阵:

内参数阵，外参数阵.摄像机矩阵元素的几何意义

几何元素的投影与反投影:

像点的反投影.二次曲线的反投影:

平面的投影（单应）.绝对二次曲线的投影绝对二次曲面的投影

两视点几何：

极几何，基本矩阵.单应，恢复摄像机矩阵（在射影意义下）