重要的求极限的方法总结.docx
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重要的求极限的方法总结
一一些些求极限的基本方法（转）
Contents
这部分我不把函数和数列分开了，毕竟有着数列极限和函数极限的关系:
limf（x）=A⇔.∀|xn|→∞（n→∞）⇒limf（xn）=AΣ
1主部原则
即保留幂函数主部，也就是说x→∞时，最高次幂为主部，x→0时最低次幂为主部。
对于a,bƒ=0,n>ki,m>si有：
axn+Σpixki
x→0bxm+qixsi
i
x→0b
这两个式子的证明是容易的，只需用到化无穷小的小技巧。
举例说明：
lim
2x2+x
2
=lim
2x22
2=
x→∞3x−2
x→∞3x3
对于上下最高（最低）指数不相等的就更简单了，忽略之后必为0或无穷。
再举个例子：
m√x−1x=（1+t）mn
（1+t）n−1
nt+n（n−1）t2+···n
2
lim√====lim
=lim2=
x→1
nx−1
t→0（1+t）m−1
t→0mt+m（m−1）t2+···m
2初等性质
上面一条就是最常用的基本性质，（忽略某些0项）其他的还有：
（1）a
→a,b
→b⇒ka
→ka,ab
ana
→ab,→
nnn
1
nn
n
1
（2）an→0⇒a→∞,an→∞⇒a→0
（3）an→0,|bn|
1
0≤x−[x]<1,→0（x→+∞）⇒lim
x−[x]=0
α<1时
xx→+∞x
lim（（n+1）α−nα）=limnαÅ（1+1）α−1ã≤limnαÅ（1+1）−1ã=0
有时将式子化无穷小是有益的，比如：
有时将式子化无穷小是有益的，比如：
.»√…1+.1+»1
再者：
Σpian+1
I=lim
n→∞
证明：
不妨设a1=max{ai}，则
Σpian
=max{ai}
an+1Σpi
ain+1a1
Ää
In=n
1
Σpi
ain→a1
a1
3分解因式和补充因子
对于limf（x）=0,limg（x）=0，怎样找到limf（x）
x→a
x→a
x→ag（x）
对于f,g是多项式的情况，f,g必可因式分解，那么只需约去（x-a）项即可得到极限。
举例说明：
lim
x3+x2−2x−8
=lim
（x2+3x+4）（x2）7
=
再者：
x→2
x−4
x→2
（x+2）（x−2）2
lim
x→2
（x2+3x+4）（x−2）2（x+2）（x−2）
=lim
x→2
（x2+3x+4）（x2）
=0
（x+2）
经常碰到一些根式，可以用补充因子的方法处理：
√2x+1−3√2x+1−3
√2x+1+3√x−2+√2
2x+1−9√x−2+√2
2√2
lim√√=lim√
√√√√
=lim
√=
x→4
x−2−2
x→4
x−2−2
x−2+2
2x+1+3
x→4
x−2−2
2x+1+33
所以记住一些典型因式分解是有意义的，例如：
a3−b3=（a−b）（a2+ab+b2）a3+b3=（a+b）（a2−ab+b2）
n−1
ab=（ab）ab−−
k=0n−1
a+b=（a+b）
（1）ab−−,n=2N+1
k=0
4等价无穷小代换及级数展开
根据等价无穷小的定义可以推出，只有在乘积情况下因子可以替换为等价无穷小，在加和情况
下不能使用。
常见的等价无穷小：
sinx∼x∼tanx∼arcsinx∼arctanx
2
√1+x−1∼x
1−cosx∼2x
举例说明：
lim
m√x1
√n
=lim
x/mn
=
x→1
x−1
x→1x/nm
级数展开最常使用的就是切线近似，例如Bernoulli不等式，这是常用的工程近似：
（1+x）n−1∼nx
另一个重要形式就是Taylor级数，形式如下：
n（k）
k!
f（x）=Σf（a）（x−a）k+o（（x−a）n）
k=0
常配合第一条选择项数。
举例说明：
x3
tanx−x
x+x−x1
tanx=x++···⇒lim
=lim3=
3x→0x3x→0x33
所以说记住常用的级数展开是有意义的，例如（x=0处展开）：
x3x5
sinx=x−
++
6120
x2x4
cosx=1−
将无穷小符号写出有时是有好处的：
Çå1
++
224
Åã1
1+
lim
x→0
Å
ex+e2x+···+enx
n
x
=lim
x→0
ã1
（ex−1）+···+（enx−1）x
n
Åã1
5重要极限和指对转化
重要极限确实很有普适，而且方便快捷，推荐遇到指数型或正弦时率先考虑这两个法则。
通过第二重要极限可以推出两个实用的结论：
ax1
x→lna（x→0）
g（x）A
limf（x）→0,limf（x）g（x）→A⇒lim（1+f（x））=e
第二个结论避免了复杂的指数操作。
举例两个例子说明：
1
lim（2sinx+cosx）x=limexp
Å2sinx+cosx−1ã
=limexp
Å2sinx+
cosx−1ã
=lime
2=e2
x→0
x→0
xx→0
xxx→0
∼−
这里运用了一个小结论limlnxx1
x→1
.ΣΣ1.Σ
Σ1
=limexp
x→0
1ni=1
x
i=limexp
xx→0
1ni=1
lnaiΣ
n
=nai
i=1
关于普通的指对转化，也举个例子：
limaxxa=limexp（xlna+alnx）
x→∞x→∞
6迫敛准则
x→∞
∞a>1
（有张著名的“夹逼准则”的图片已经路人皆知，我就不拿出来了）
迫敛法的技巧性较高，变化也很丰富，我只展示几个：
证明：
n
an=√
k=1
1
n2+k→1
n
111nΣ1
√≤√√≤√≤1
再者：
n2+nn2+k≤n⇒
n2+n
k=1
n2+k
An=
11+22++nn
nn→1
证明：
1n1+n2+···+nnnn
1
=nn<
n−1
nn−1
还有一个常用的式子，也可通过迫敛法证明：
aan+1√Aan
证明：
这里只证A>0情况，由调和平均-几何平均-代数平均不等式可知：
n aa
aa1+a2+···+an
举例说明这个结论的应用：
nn!
≤
（n+1）!
nn
Ånãn1
lim
n→∞
n=lim
nn→∞（n+1）
n+1n!
=lim
n→∞
=
n+1e
再举一个：
若an为等差数列.则有：
lim
n√na1···an2
证明：
设:
n→∞a1+···+ane
nna1···an
bn≡（a
+···+an）n
1
b（n+1）aÅ（n+1）（a+···+a）ãn
2aÅ2a+（n−1）dãn2
7Stolz定理
此定理对于解决含有求和的极限十分好用，其形式如下：
对于递增正序列b
aaa
n+1−nn
→+∞，且→A，则→A.
n
举例说明：
bn+1−bnbn
Σn1
再举一个：
n→∞
lnnn→∞ln（n+1）−lnn
n→∞n+1ln（1+1）n
n
设0
lim
n→∞
n（1−nan）=1lnn
证明：
易知an单调递减，且an→0，则：
1
an+1
1
−an
1
=1
1−an
那么：
所以
1ΣÅ1
1ã
11
1
lim
n（1−nan）=lim
1n（1−nan）=lim
an−n
n→∞
lnn
n→∞nanlnn
n→∞
lnn
11
nÄ1−1ä
na
8单调有界判据
单调有界判据一般只能说明极限存在，求出极限则需要其他手段（例如不动点），我们之前涉及的几乎都是通项表达，而现在开始我们会遇到一些递归表达。
该判据有两个条件，即单调和有界，一般来说，单调较容易判断，而有界常需要用到不等式放
缩，数学归纳法等方法，技巧性较高。
首先我们回顾一下利用不动点求解递归方程：
若an+2=pan+1+qan，则求解x2=px+q得x1ƒ=x2（否则满足等差关系），那么an=
xnC1+xnC2其他可解递归方程自行复习。
12
做一道简单题：
a1
=√2,a2
=2+an
，则递增显然，另外
0又因为若极限存在且为A，则A2=2+A，即A=2
再来一个通项表达的例子：
注意到1+x≤ex
kY=0
1+1<∞
2k
k=0
1
exp
2k
=exp∞
k=0
12k
例题1：
若an+1
−
an
1
>−n2,|an
|收敛。
证明：
注意到
1111
an+1−an>−n2>−n（n−1）=−n−1+n
故{an−1/（n−1）}单调有界，所以an收敛。
an
例题2：
若A>0,a1≥1,an+1=A−1，则an收敛。
证明：
i）注意到
a−a
11an−an−1
=−+=
n+1n
ana
n−1
ana
n−1
故单调性只取决于a2−a1，显然单调。
ii）另一方面，归纳可证an>1，所以an程还要保证根的存在，即A“2.如上，则an收敛。
9回归定义
数学学科，没有什么比回归定义更加有效的办法，无论何时不要忘记定义是最重要的。
举例说明定义在证明一些不太简单的情况下的例子：
证明Stolz定理：
设
an+1−an=A+ε,ε→0
nn
bn+1
−
bn
则对任意给定的ε>0，存在N，使得n≥N时有|εn|<ε
累加得
an+1−Abn+1=an−Abn+εn（bn+1−bn）
...
aN+1−AbN+1=aN−AbN+εN（bN+1−bN）
an+1−Abn+1=aN−AbN+εn（bn+1−bn）+···+εN（bN+1−bN）
所以
|an+1−Abn+1|=|aN−AbN|+|εn|（bn+1−bn）+···+|εN|（bN+1−bN）<|an−Abn|+|ε|（bn+1−bN）
即
....an+1−A....<|aN−AbN|+εbn+1−bN
再取Nj，使得n≥Nj时有
则对于n>max{N,Nj}有：
|aN−AbN|<εbn+1
....an+1−A....<ε+εbn+1−bN
<2ε
定理得证。
（完）
bn+1
bn+1
这篇文章是我转来的，给一些大一的同学看看，最近群里的问题除了极限就是极限，而且有一些是特别基础的东西，希望大家看完这篇文章会对极限问题有一些想法和收获。
学数学是需要讨论，但希望大家多讨论一些有价值的问题，有些过于基础的东西可以先和同学交流下再来发问，毕竟大家基本都是211的高材生，相信大部分人都是有独立解决问题的能力的。
当然这些不会硬性的要求，尽力而为吧。
最后顺便说一下群管理的问题，因为高等数学（实名制）是2000人群，所以群规是比较严格的，禁止发任何和数学无关的图片和言论，因为如果一人水一条消息，就有2000条水群的消息，各位也不希望这个群变成没任何意义的聊天群吧？
所以你如果被管理员禁言了，不是因为管理员有多任性有多恨你，而是因为他们有自己的责任维护群秩序，仅此而已。
你如果觉得自己被处罚的太重，可以私聊我ZJU数学夏语冰,我会给你一个解释。
希望大家能自律一些自强一些，都能从群中有所收获。
（本文转载自超理论坛，本人只做少量排版修改和typo修改。
原作者mutong19970320）
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