数学建模B题完整解答.docx
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数学建模B题完整解答
交巡警服务平台设置与调度优化模型
摘要
针对交巡警服务平台的管辖范围分配及警力调度问题，首先利用图论中的Floyd算法建立A区服务平台与路口节点的路径关系模型，在此基础上对服务平台进行局部调整，并将该方法应用到全市六区的服务平台设置分析与调整中。
然后，利用整数规划理论建立了快速全封锁的最优模型。
最后，对发生重大刑事案件后犯罪嫌疑人的追踪案例，根据不同的情况，给出了两种最优围堵方案。
对问题一，从正面考虑，先通过最短路径算法求每个服务平台与节点之间的最短路径，根据最短路径的长度，确定每个服务平台能够及时到达的所有节点，再将共有的节点在各服务平台之间合理地分配。
对于无法在3分钟内到达的六个节点（编号为：
28、
29、38、39、61、92），按照就近原则划分给最近的平台。
对问题二，本质上是最优指派模型。
运用整数规划的方法，使用LINGO软件进行编
程，得到被封锁的每个路口对应的服务平台，并得出最快封锁时间为8.015分钟。
对问题三，首先根据问题一中得到的服务盲点，在节点28、60处各增设1个服务
平台；其次根据总发案率的大小，在22、32、87处分别增设1个服务平台，并重新给出各交巡警服务平台的管辖范围。
对问题四，根据各区服务范围不重叠的原则，选取服务盲点数为主要标志，对B、C、D、E、F各区分别进行合理性分析。
相应的解决方案为：
在B区的102、105、113，C区的207、239、263、316、287，D区的331、362、370，E区的390、419、459，F区的510、515、541、575、578处分别增设服务平台。
对问题五，由于是重大案件，因此假设罪犯在作案之前已经计划周密，按照出城的最短路逃跑。
首先通过Floyd算法计算出最短出城路线，然后确定罪犯和警车最快抵达沿途每个节点的时间。
结果表明，可以在节点38与561之间的道路进行围堵，在接到报警后5.07分钟时，即可围堵成功。
本文最后对模型做出分析、评价和改进，综合使用Matlab、LINGO等软件，运用了最短路径算法、整数规划理论等方法，使得模型不断改进：
问题一运用逆向思维建立了更为简便的服务范围规划模型，问题四将节点平均犯案率、平台平均服务人口数引入模型，问题五考虑罪犯驾车逃跑路径的所有可能情况，提出外层堵内层搜的围堵方案，使得问题的求解更为全面、精确。
关键词：
交巡警服务平台；调度模型；整数规划；Floyd算法；Matlab
§1问题的重述
一、背景知识
1．交巡警交巡警是交警与巡警合一的警务模式，是世界大多数国家普遍采用的成熟警察勤务
模式。
交巡警模式比“交巡分离”模式更为合理，减少了警务矛盾与执法漏洞，提高了
执法质量。
交巡警制度整合了警力资源，将刑事执法、治安管理、交通管理、服务
群众四大职能有机融合的新型防控体系，这种防控体系现如今已遍布世界各地。
2.交巡警服务平台
交巡警平台是交巡警警种出现后，设立在交通要道和市区、街镇繁华地带，专门处
理日常警务的作业场所。
这种平台使得交巡警在案件发生后，能够立刻抵达出事现场。
为了尽量照顾到某一城区所有的突发事件，在城市的各个街道和道路节点设置多个交巡
警服务平台是必要的。
交巡警服务平台，不仅是城市治安良好的象征，也是一道道亮丽
的风景线。
保卫着人民的安全和国家的安定。
一般来说，每个交巡警平台会配置GPS全
球定位系统以巡逻车、抓捕网、警戒带、路障、防弹衣等设备，可以方便地处理各种突
发情况。
在2010年2月，一支名为“交巡警”的全新警种在重庆诞生。
首批执勤的150个
警务平台和4000名昼夜循环的交巡警，配备“高精尖”装备，代替过去的交警和巡警，
执行交通管理、刑事执法、治安管理三大职能[1]。
在过去的一年中，重庆街面犯罪实际
下降近40%，未发生一起死亡10人以上特大交通事故，主城21年来首次出现街头“两
抢”案件单日“零发案”，交巡警服务平台成为名副其实的打击犯罪“第一阵地”。
那
么，如何合理设置交巡警服务平台、充分发挥服务平台的功能，以快速应对突发事件，
就成为有关部门面临的一个全新的课题。
二、相关数据
1．某市全市交通路口节点数据（详见题目附表1）
2．某市全市交通路口的路线（详见题目附表2）；
3．某市全市交巡警平台设置方案（详见题目附表3）；
4．某市全市出入口位置（详见题目附表4）；
5．该市六城区的基本数据（详见题目附表5）。
三、要解决的具体问题
1．问题一：
如何合理分配中心城区A内各交巡警服务平台的管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，能在3分钟内有交巡警到达事发地，其中警车的速度为
60km/h。
2．问题二：
对于重大突发事件，如何调度A区内20个平台的警力资源，快速全封
锁该区的13个出入口。
3．问题三：
在A区内增加2至5个平台，以解决服务平台的工作量不均以及部分
地方出警时间过长的实际问题。
4．问题四：
针对全市六区的情况，分析研究现有交巡警服务平台设置方案的合理
性，并对明显不合理的平台设置给出改进方案。
5．问题五：
如果地点P处发生重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌
疑人已驾车逃跑。
试设计调度全市服务平台警力资源的最佳围堵方案。
1
§2问题的分析
一、问题的总体分析
交巡警服务平台的管辖范围分配及警力调度问题是一个具有实际背景的新课题，其本质是运筹与优化问题。
涉及的主要知识背景为图论、整数规划以及多目标规划等，可利用最短路径、最优指派以及多目标规划等方法来求解。
主要思想为根据实际背景设置约束条件，求解最优目标值，进而给出满足多个目标的最佳方案。
二、问题的具体分析
1对问题一的分析对于问题一，要求合理分配各服务平台的管辖范围，使得在突发事件中，交巡警尽
量在三分钟内抵达案发现场处理问题。
问题的关键在于求出各个服务平台到每个路口节
点的最短路，因此，首先利用Floyd算法计算出20个服务平台到92个路口的最短路径；
然后，通过Matlab编程剔除各个服务平台在三分钟之内都不能到达的路口节点，对这
些路口，找到最短路径最小的服务平台作为其管辖范围。
另外，可能有多个服务平台到
达某个路口节点的时间都少于三分钟，对于这样的点，我们通过考虑各服务平台的工作
量进行修正，得到A区交巡警服务平台的管辖范围，使其尽量在三分钟内赶到，及时处
理问题。
2对问题二的分析
对于重大突发事件，调度A区20个交巡警服务平台的警力资源，对该区13个出入
口实现快速全封锁。
所谓全封锁，即为A区13个出入口全部有警力到达。
因此，要实
现最快速的全封锁，就应该使得警车到达最后封锁的路口所用时间最短，即各服务平台
与其要封锁的路口间的最长距离要最短。
3对问题三的分析
根据问题一已分配的服务平台管辖范围，结合题目所给图形可以发现现有交巡警服
务平台的分布主要存在两个问题：
首先是盲点问题，问题一中在确定管辖范围时可能会
有任何服务台在3分钟内都无法到达的路口，我们首先要为这些点根据实际情况增设部
分交巡警服务平台。
其次是工作量问题，这里我们可以根据所给数据计算出每个交巡警
服务平台所管辖范围的发案率，根据总发案率的大小再调整部分交巡警服务平台，并重
新给出各服务平台的管辖范围。
4对问题四的分析
问题四要求按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究全市六区现有交巡警
服务平台设置方案的合理性。
而交巡警服务平台的任务应当是以最快的速度抵达事发地
点，以维护人民群众生命财产安全。
因此，应该以抵达每个节点时间的长短为主要指标，
来分析各区服务平台的合理性，并根据结果来选取合理的节点增设服务平台。
这里所用
方法与问题一的求解方法相同。
5对问题五的分析
在犯罪嫌疑人逃跑3分钟后接到报案，开始对其进行围捕，三分钟后犯罪嫌疑人已
经离开案发现场较远，在不能准确判断逃离方向的情况下，选择逃犯最有可能出逃的路
线——出城路径最短的路线。
确定路线后，首先计算出嫌疑人在警方接到报案时所到达
的地点，随即开始围捕，若犯罪嫌疑人发现前方有警车拦截，很可能会往反方向或其它
路径逃离，因此还需计算犯罪嫌疑人与警车相遇的地点，再采用双层围捕的方案，内层
搜外层堵，从而达到快速追捕到犯罪嫌疑人的目的。
2
§3模型的假设
1．出警过程中，警车行驶的总是最短路径；
2．所有道路均为双行道；
3．在较短的时间内，服务平台管辖范围里不会出现两个以上的突发事件；
4．警车抵达路口后，封锁路口需要的时间忽略不计；
5．交巡警服务平台接警后，准备时间忽略不计，视为立刻出发；
6．犯罪嫌疑人驾车逃跑时，行驶速度为60km/h。
§4符号说明
序号
符号
符号说明
1
2
3
4
5
A0anN
A
M
邻接矩阵
各顶点之间的最短距离
警车封锁最后一个路口所用的时间
接到报案后犯罪嫌疑人到达的位置
节点为480的交巡警与犯罪嫌疑人相遇地点
§5模型的建立与求解
一、问题一：
服务平台管辖分配模型
⑴建模思路问题一要求为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事
件时，尽量能在3分钟内有交巡警到达事发地，其中警车的时速为60km/h。
要使警车
在3分钟内到达节点，则该节点与附近服务平台的最短路径应当在3公里以内。
因此问
题的本质实际上是求两点之间的最短路径，然后由最短路径的长度确定每个服务平台能
够及时到达的所有节点，再将这些节点在各服务平台之间合理地分配。
⑵建模准备
Floyd算法[2-3]：
本模型在处理数据时，需要用到Floyd算法，该算法是一种求解最短路的确定型算
法。
由于相应MATLAB程序的编写需要依据算法的理论，所以首先需要进行该算法理论
的准备。
设图G
（V,E）权的邻接矩阵为A0
（0）
（0）
（a
mnij
ij
），其中a（0）
0（i
1,2,3,,n）；当顶点
vi，vj之间没有边时取aij
，即在程序中以各边的权都不可能达到，且充分大的正
（0）
数来代替；当顶点vi，vj之间有边时取aijwij（i,j
1,2,3,,n），其中wij是指连接vi，
j0ij
a
v的边长。
对应无向量的邻接矩阵A是对称矩阵，即a（0）
Floyd算法步骤：
（0）
ji
i,j
1,2,3,n。
（a
①初值k
0,A0
（0）
ij
）nn；
②计算a（0）
min{a（k1）,a（k1）,a（k1）}（j
1,2,3,n），其中a（0）表示从顶点v到顶点v
ijij
ikkj
ijij
的路径上所经过的顶点序号不大于k的最短路径长度；
3
③递推产生一个矩阵序列A0,A1,,Ak（1k
n）；
④当k
n时，就得到了最短路，即矩阵An就是各个顶点之间的最短路值，否则令
k:
k
1（k是迭代次数），转到第②步。
服务盲点：
服务盲点是指交巡警服务平台无法及时服务的路口节点，某节点出现突发事件并联
系交巡警平台后，t分钟内仍未有交巡警抵达现场，则视为该节点是服务盲点。
A区交通网络图：
8
为了使得分析问题时更加直观，根据附件提供的数据，使用Matlab重新画出A区
带路口节点编号的交通网络图，如图5-1：
400
380
61
5860
65051595762
5524
85206
8489
91
908887
4847
30
7
4956
53
54
63
64
6566
7677
75
19
7980
78
83
1882
81
360
328
6768192
73
556974
3133
46
37071
4472
340
34945
35
24342
2915
28
10
320
12
3736
16
3917
3840
41
30025
24
27
1126
14
280
260
21
1322
23
200250300350400450
图5-1A区交通网络图
⑶模型的建立与求解
①首先根据全市交通路口的路线，计算A区任意相邻两点间的距离。
然后根据计算图5-1的邻接矩阵。
使用Matlab编程，得到邻接矩阵A0：
⎛0
ç
ç
ç
A0ç
⎫
⎪
0⎪
⎪
⎪
ç2002.5⎪
ç⎪
⎝0⎭
使用Matlab对Floyd算法进行编程，并将邻接矩阵代入程序，计算出A区内20个服务平台到各路口节点的最短距离。
然后选出各个平台在3分钟内能够到达的所有节点，即每个服务平台的初步管辖范围。
为了避免出现管辖范围的重叠，将出现重叠的节点在服
4
务平台之间合理分配。
有若干节点无法在3分钟内有交巡警到达，将这些节点分别交给距离最近的服务平台管辖。
管辖范围的分配结果如下表，其中红色斜体数字表示服务盲点的节点号。
表5-1A区服务平台管辖范围表
服务平台管辖范围
1
1
43
44
74
80
2
2
69
71
73
78
3
3
54
55
67
68
76
4
4
57
60
62
63
64
65
66
5
5
49
53
56
59
6
6
50
51
52
58
7
7
30
32
33
48
61
8
8
36
47
9
9
34
37
45
10
10
11
11
26
27
12
12
25
13
13
21
22
23
24
14
14
15
15
31
28
29
16
16
35
38
39
46
17
17
40
41
70
72
18
18
42
84
88
91
19
19
75
77
79
81
82
83
20
20
85
86
87
89
90
92
二、问题二：
封锁调度模型
⑴建模思路
问题二要求对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，
对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
所谓全封锁，即为A区13个出入口12、
14、16、21、22、23、24、28、29、30、38、48、62全部有警车到达。
因此，要实现
最快速的全封锁，就应该使得警车到达最后封锁的路口所用时间最短，即各服务平台与
其要封锁的路口间的最长距离最短。
⑵建模准备
首先需要计算13个路口分别与20个服务平台之间的最短距离。
将13个路口与20
个服务平台的序号代入Floyd程序，运行结果见附表2。
⑶模型的建立与求解
记表5-1中第i行第j列的数据为dij，则调度方案的设计问题可以转化为整数规划问题[4-5]。
由题意可知，每个路口都需要一个服务平台对应，每个服务平台最多能够封锁一个路口。
为节约警力，我们假设一个路口仅需要一个服务平台的警力。
因此，这是一个指派问题，20个平台作为备选，需要从中选出13个平台的警力，分别派往13个路口执行封锁任务。
式中N为警车封锁最后一个路口所用的时间，为使全封锁的速度最快，
5
只需要使得N取最小值。
minS
⎪∑x
⎧13
⎪
ijj1
N
dij
N（i
1,2...,20）
20
⎪∑xij1
s.t⎨i1
⎪13
⎪∑xij1
⎪j1
（j1,2...,13）
（i1,2...,20）
xij
0或1
根据附表2的数据，根据文献[6]中的方法使用LINGO进行编程（程序2），结果如表5-2，其中标“1”的格所在行的序号表示出警的服务平台，所在列的序号表示平台封锁的路口序号，通过计算得出最快全封锁时间为8.015分钟。
表5-220个平台快速封锁13个出入口的指派方案
12141621222324282930384862
1
21
3
4
51
61
71
81
91
101
111
121
131
141
151
161
17
18
19
20
三、问题三：
平台增设模型
根据问题一中分配的各交巡警服务平台的管辖范围，结合图5-1可以发现，现有交巡警服务平台的分布主要存在两个问题。
首先是盲点问题，由于在分配管辖范围时要求尽量在三分钟内赶到，而部分路口距离任何交巡警服务平台距离均较远，所以出现了任何交巡警服务平台在三分钟内都不能赶到的六个路口节点：
28、29、38、39、61、92，到达这六个节点最近的交巡警服务平台的距离以及时间如表5-3所示：
6
表5-3到盲点的距离及出警时间
盲点
服务平台
距离（千米）
出警时间（分）
28
15
4.75184
4.75
29
15
5.70052
5.7
38
16
3.40588
3.41
39
2
3.68219
3.68
61
7
4.19021
4.19
92
20
3.0286
3.6
由表5-3得从交巡警服务平台到盲点38、39、92的时间都是略超过三分钟，因此暂不考虑在这些节点出增设服务平台。
而对于盲点28、29、61，需要再设置交巡警服务平台对其进行管辖。
由图5-1可以发现路口节点28、29非常靠近，并且附近没有其他路口节点，并且节点28和29还是出入A区的交通要道，在此处设置服务平台对于非常时期的快速封锁有关键作用，因此在路口节点28处增设一个交巡警服务平台。
由于服务平台到达路口节点61时间的较长，并且由图5-1可以看出，在盲点附近
的路口节点60周围有非常密集的路口，因此本文在路口节点60处设置第二个交巡警服
务台，经过计算路口节点60到61的距离，此服务平台不仅可以管辖盲点61也可以管
辖路口节点60及周围路口，为其他服务平台分担部分任务。
在路口节点为28和60处设置了服务平台后，使出警时间得到了保障，基本都在3
分钟之内，解决了出警时间过长的问题。
然后是各服务平台的工作量不均衡，对于问题一中给出的各服务平台的分配方案，
根据附表2给出的各个路口的发案率，将每个平台所分配的所有管理路口的发案率之和
计算出来并进行比较，可以得到表5-4：
表5-4各服务平台总发案率
总发案率
9.4
8.7
8.5
8.4
7.8
7.6
7.3
6.9
6.4
6.4
服务平台
7
20
13
4
16
19
17
3
15
1
总发案率
6.1
6.1
6.1
6
5.3
5.1
4.6
4
2.5
1.6
服务平台
18
5
6
2
9
8
11
12
14
10
表5-5工作量较大的服务平台的管辖范围
服务平台管辖范围的路口节点
7
7
30
32
33
48
61
20
20
85
86
87
89
90
92
13
13
21
22
23
24
4
4
57
60
62
63
64
65
66
根据表5-4可以看出服务平台7、20、13、4的工作量比较大，再由表5-1可以得
到这四个服务平台的管辖范围如表5-5。
由表5-5以及之前增设的服务平台60，在通过计算节点60到周围节点的距离，可
以让服务平台60的管辖范围为路口60、61、57。
而在服务平台20周围增设一个服务平
台，由图5-1可以发现在路口节点87处增设一个管辖范围为87、90、92的服务平台。
同理,在服务平台13周围的路口节点22处增设管辖范围为21、22、23的服务平台，在
服务平台7周围的路口节点32处增设管辖范围为32、33、34的服务平台，增设服务平
台后的管辖范围及总发案率见下表5-6：
7
表5-6添加服务平台后的管辖范围和总发案率
服务平台
总发案率
管辖范围的路口节点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
32
28
60
87
6.4
6
6.9
7.3
6.1
6.1
5.9
5.1
5.3
1.6
4.6
4
3.3
2.5
3.7
7.8
7.3
6.1
7.6
4.5
5.2
2.9
2.7
1.7
4.2
143447480
269717378
35455676876
4576263646566
549535659
650515258
73048
83647
9343745
10
112627
1225
1324
14
1531
1635383946
1740417072
1842848891
19757779818283
208586
222123
3233
2829
6061
87899092
将表5-6中添加交巡警服务平台后的总发案率和表5-5中添加前的服务总发案率对比，利用EXCEL作出图形，如图5-2所示：
图5-2增设服务平台前后总发案率的对比图
8
由表5-6中可以发现，在路口节点22、28、32、60
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