七年级数学立体图形的表面展开图平面图形华东师大版知识精讲.docx

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七年级数学立体图形的表面展开图平面图形华东师大版知识精讲

初一数学立体图形的表面展开图、平面图形华东师大版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

立体图形的表面展开图、平面图形

学习要求：

1.使学生进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解多面体可由平面图形围成，通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程，提高与同伴合作交流的能力。

2.直观地认识形形色色的平面图形，能够识别多边形，认识多边形可分割成三角形，知道多边形、圆和点、线可以构成各种优美的图案。

知识内容：

一.立体图形的表面展开图

1.多面体是由平面图形围成的立体图形。

沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个平面图形。

在这里以正方体为例：

说明正方体的表面展开图。

把正方体沿着它的一些棱将它剪开。

可以得到几种不同的平面图形，把它分为4类：

第一类为1—4—1型有6种展开图，如：

第二类为1—3—2型，有3种展开图，如：

第三类为2—2—2型，有1种展开图，如：

第四类为3—3型有1种展开图如：

对于一个多面体的展开图是不是它本身，最好的方法是做一个模型，进行实践折叠，若能还原成多面体，则是，否则不是。

2.圆柱、圆锥的展开图：

沿着圆柱、圆锥侧面的一条母线剪开后，它的侧面展开图是矩形和扇形，再分别加两个底面圆和一个底面圆，如下：

注意：

球体没有表面展开图。

二.平面图形

1.有关概念：

多边形：

是由一些线段首尾依次相连围成的封闭图形，我们通常根据多边形的边数将它们分成三角形、四边形、五边形……，多边形又分为凸多边形和凹多边形。

凸多边形：

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长线所在直线的同旁，这样的多边形叫做凸多边形。

凹多边形：

把多边形的任何一边向两方延长，如果在延长线所在直线的两侧，这样的多边形叫做凹多边形，如图所示，就是凹多边形。

2.对多边形分割问题。

（1）最简单的多边形是三角形。

（2）对于一个n边形来说

a.过其中一个顶点与其它顶点连接可以把n边形分割成（n-2）个三角形。

b.过其中一边上一点（除顶点外）与其它顶点连接可以把n边形分割成（n-1）个三角形。

c.在n边形内部任取一点，与各顶点连接可以把n边形分成n个三角形。

【典型例题】

例1.下列图形中，可以折成正方体的是（）

分析：

A、C答案中，都带有“田”字，所以一定不是正方体的展开图，对于B答案，同学们也清楚是不行的，D答案是1—4—1型正方体的展开图，所以它可以折成正方体。

故答案为D。

例2.如下图所示，不是三棱柱的展开图的是（）

分析：

因为三棱柱的表面展开以后，两个底面不可能在侧面展开图的同一侧，故应该选C。

例3.下图是哪种几何体展开图，请把这些多面体的名称填在括号里。

分析：

本题考查同学们的空间想象能力，在做本题时，最好动手做好以上模型，再动手折叠，看它是什么立体图形。

第一题是三棱柱，第二题是四棱锥，第三题是一个八面体。

例4.如图所示的立方体，将其展开得到的图形是（）

分析：

此题考查同学空间想象能力的推理能力，A答案中，不妨把圆作为前面展开，则有一个三角形在左和另一个三角形应在上，而上方是空白的，所以不对。

B答案中，还是以圆作为前面来展开，右边三角形应在左边，所以也不对，C答案中，前面、左面、上面这三个面在展开图中不可能出现在一条线上。

因此本题答案选D。

例5.春节晚会悬挂着色彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形，现有长1m，宽0.5m的彩纸10张，能做成多少个边长为10cm的正方体小装饰（如图所示，不计接头损失）

分析：

一个正方体是6个面，每个面的边长为10cm正方形，一张100cm长，50cm宽的彩纸，刚好可作

个正方形，10张彩纸有10×50=500个边长为10cm的正方形，所以可做

，即83个正方体。

解：

∴一张彩纸可做正方形10×5=50个，十张可作50×10=550个。

边长为10cm的正方体可做

，即83个。

例6.如图所示，一只小虫要从正方体的一个顶点A爬到相距它最远的另一个顶点B，问哪条路径最短？

请画出来。

分析：

在一个立体图上要找出表面两点之间距离最短的路线，一般我们把立体图形展开成平面图形，在平面图形上，找出连接这两点间的线段即可，而正方体的展开图有多种，所以最短路径有如图所示

以一种为例：

例7.用一个平面去截一个正方体，截得的多边形可能有哪几种？

分析：

截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，如下图所示，当平面只截过同一顶点的三个面时，截得三角形，且这样的三角形肯定是锐角三角形，并且可能是一般三角形，可能是等腰三角形，也可能是等边三角形；平面截正方体所得的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，有正方形，有长方形，但总是至少有一组对边平行，平面与五个面有交线时是五边形；平面截正方体所得的多边形至多只能为六边形，因为每一条边正好是平面与正方体的六个面的交线。

例8.在三角形一边上取一点连接各顶点，可以把这个三角形分成几个三角形？

在四边形一边上取一点连接各顶点，可以把这个四边形分成几个三角形？

在五边形一边上取一点连接各顶点，可以把这个五边形分成几个三角形？

在六边形一边上取一点连接各顶点，可以把这个六边形分成几个三角形？

在十边形一边上取一点连接各顶点，可以把这个十边形分成几个三角形？

在n边形一边上取一点连接各顶点，可以把这个n边形分成几个三角形？

分析：

如图所示

由前面可得出规律：

分成的三角形个数比边数少一个，则n边形可分成（n-1）个三角形。

【模拟试题】（答题时间：

30分钟）

1.选择题

（1）如图所示，不是正方体的展开图的是（）

（2）如图所示，是正方体表面展开图的是（）

（3）如图所示，是四棱柱侧面展开图的是（）

2.填空题

（1）下列图形都是几何体的展开图，请你填上它们的名称。

A._______________；B._______________；

C._______________；D._______________；

E._______________；F._______________。

（2）如图1所示，经过折叠可以围成棱柱的是____________，它能围成________棱柱。

图1

（3）如图2所示是一个正方体的展开图，图中f表示正方体的前面，r表示右面，d表示下面，那么a表示正方体的_________，b表示_________，c表示__________。

图2

3.下面的图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的，请再画出2种不同的拼接图形并说出这些图形中哪些可以折叠成正方体。

4.请仔细观察图，指出左边给出的是右边哪个正方体的展开图。

5.如图所示，在正方体能见的面上写上数字1、2、3，而展开图中也已写上一个或2个指定的数，请在展开图的其他各面上写上适当的数，使得相对的面上二数的和等于7。

6.探索问题：

在下列多边形中内部任取一点，连接此点与多边形各顶点看一看，数一数，把多边形分成了几个三角形？

找规律，对于n边形在内部任取一点，连接此点与各顶点，可以分成几个三角形。

【试题答案】

1.选择题

（1）D

（2）D（3）A

2.填空题

（1）正方体；长方体；圆锥；圆柱；五棱柱；三棱柱

（2）B；三

（3）后面；上面；左面

3.可以画一个2—2—2型和3—3型，可以折成正方体的有：

A、B、C、D、F

4.是第（E）个正方体的展开图。

5.如图所示

6.三角形可分成三个三角形，四边形可分成四个三角形，五边形可分成五个三角形，六边形可分成六个三角形，n边形可分成n个三角形。