导数历届高考压轴题.docx

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导数历届高考压轴题

1.已知函数f（x）ax3bx2（c3a2b）xd的图象如图所示.

（I）求c,d的值；

（II）若函数f（x）在x2处的切线方程为3xy110,求函数f（x）的解析式；

1

（III）在（II）的条件下，函数yf（x）与y一f（x）5xm的图象有三

3

个不同的交点，求m的取值范围.

2.已知函数f（x）alnxax3（aR）.

I）求函数f（x）的单调区间；

（II）函数f（x）的图象的在x4处切线的斜率为-,若函数

2

g（x）1x3x2[f'（x）m]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围.

32

3/42

3.已知函数f（x）x3ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处取得极

大值•

（I）求实数a的取值范围；

2

（II）若方程f（x）（2^3）恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；

（III）对于（II）中的函数f（x），对任意、R，求证：

|f（2sin）f（2sin）|81.

x，g（x）x2alnx．

4.已知常数a0,e为自然对数的底数，函数f（x）ex（I）写出f（x）的单调递增区间，并证明eaa；（II）讨论函数yg（x）在区间（1,ea）上零点的个数.

6/42

5.已知函数f（x）ln（x1）k（x1）1．

（I）当k1时，求函数f（x）的最大值；

（II）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围

8/42

1

6.已知函数f（x）—x2ax（a1）1nx,a1-

2

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（II）证明：

若a5,则对任意x—,X2（0,）,x—X2,有f（x—）f（x2）1.

x—x2

7.设曲线C:

f（x）Inxex（e2.71828）,f（x）表示f（x）导函数.

（I）求函数f（x）的极值；

（II）对于曲线C上的不同两点A（%,yj,B（X2,y2）,NX2，求证：

存在唯的X。

（Xi,X2），使直线AB的斜率等于f（xo）.

11

/42

8.定义F（x,y）（1x）y,x,y（0,），

（I）令函数f（x）F（3,log2（2xx24））,写出函数f（x）的定义域；

（II）令函数g（x）F（1,log2（x3ax2bx1））的图象为曲线C,若存在实数b

使得曲线C在xo（4xo1）处有斜率为一8的切线，求实数a的取值范围；

（III）当x,yN*且xy时,求证F（x,y）F（y,x）．

9.（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xlnx,

（i）求函数f（x）的最大值；

（ii）设0

10.

x有两

（2009全国卷U理）（本小题满分12分）设函数fxx2aln1

个极值点捲、X2,且人X2

（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性;

（II）证明：

X2

12ln2

4

16

/42

x（0

）,求证

1,x1

In

x1x

N且n

2,求证：

111

23n

11.

（1）已知：

（2）已知：

n

1；

—7

x

lnn

18/42

12.（2009全国卷I理）本小题满分12分。

设函数fxx33bx23cx在两个极值

点Xi、X2,且Xi[1,0],X2[1,2].

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点b,c的区域；

（II）证明：

10fx2

13.已知函数f（x）X2x1,,是方程f（x）=O的两个根（）,f'（x）是f（x）

的导数；设ai1,an1anf（an）（n=1,2,）

f'（an）

（1）求，的值；

（2）证明：

对任意的正整数n,都有an>a;

（3）记bIn—（n=1,2,……），求数列｛bn｝的前n项和Sn。

ana

21

/42

14.（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数f（x）-x3ax2bx,且

3

f'（-）0，求：

（1）试用含a的代数式表示b,并求f（x）的单调区间；

（2）令a1,设函数f（x）在为必（冷X2）处取得极值，记点M（x1,f（xj），

N（X2,f（X2））,P（m,f（m））,XimX2,请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线

与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m（x1,x2），

15.设二次函数f（x）x2

线段MP与曲线f（x）均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q（n,f（n））,x*m,使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）

axa，方程f（x）x0的两根Xi和x?

满

足．0x1x21

（I）求实数a的取值范围；

（II）试比较f（0）f

（1）f（0）与丄的大小.并说明理由.

16

16.

2009宁夏海南卷理（）本小题满分12分）已知函数f（x）

（x33x2

ax

b）e

（1）如ab3,求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（,）,（2,）单调增加，在（，2）,（,）单调减少，证明V

6.

26

/42

17.已知函数f（x）x3ax2b

（1）若函数yf（x）图象上任意不同两点连线的斜率都小于1,贝U

.3a,3;

⑵若x[0,1]，函数yf（x）图象上任一点切线的斜率为k,求k|1时a的取值范围。

参考答案:

解：

函数f（x）的导函数为f'（x）3ax22bxc3a2b

（2分）

（I）由图可知

函数f（x）的图象过点（0,3）,且f'

（1）0

3a2bc3a2b0

（4分）

（II）依题意f'

（2）3且f

（2）5

8a

4b6a4b35

解得

a

1,b

6所以f（x）x6x9x3

/Q

（8分）

（III）f

（x）

3x2

12x9.可转化为：

x36x29x3

x24x35xm有三个不等

实根，

即：

gx

x37x28xm与x轴有三个交点；

12a4b3a2b3

x

2

3

2

3

2,4

3

4

4,

gx

+

0

-

0

+

gx

增

极大值

减

极小值

增

2

gx3x14x83x2x4，

（10分）

16m.

g

m,

g4

327

当且仅当g

2

68

3

27

故而，16

m

68为

27

2.

解:

（I）f'（x）

a（1

x）（

x0）

m0且g416m0时，有三个交点,

（12分）

（2分）

当a

当a

当a=1时,

（II）f'（4）

x

0时，f（x）的单调增区间为0,1，减区间为1,

0时，f（x）的单调增区间为1,，减区间为0,1;

f（x）不是单调函数

3a3/口

得a2,f（x）21nx

42

m22

（2）x2x,g'（x）x

2

（5分）

2x

1

g（x）

g（x）在区间（1,3）上不是单调函数

（m

4）x

2（6分）

g'

（1）

g'（3）

0,

0.

（8分）

且g'（0）

3,

19（10分）m

亍

19

殳，3）

3

（12分）

3.

解：

（I）f（0）

2a3

f（x）3x22ax（2a3）（x1）（3x2a3）,

2a3

由f（x）0x1或x，因为当x1时取得极大值，

3

2a3所以丝工1a3，所以a的取值范围是:

（,3）;

3

（4分）

（II）由下表：

x

（,1）

1

2—3（1,F

2—3

3

2—3

（3,）

f（x）

+

0

-

0

-

f（x）

递增

极大值

a2

递减

极小值

—62（2—3）

27'丿

递增

a62

依题意得：

（2a3）2

27

2

（2a3）

9

，解得：

a9

所以函数f（x）的解析式是

f（x）

x39x215x

（A

（III）对任意的实数，都有2

2sin

2,22sin

2,

（10分）

在区间［-2,2］有：

f

（2）

836

3074,f

（1）

7,f

（2）

836302

f（x）的最大值是f

（1）7,f（x）的最小值是f

（2）8363074

函数f（x）在区间［2,2］上的最大值与最小值的差等于81，

所以|f（2sin）f（2sin）|81.

（14分）

4.

函数y

g（x）取极小值g（

aa

丁忖，无极大值.

（6分）

2ae

由（I）ea

g

（1）10,

（i）当

2

（ii）当主

2

g（ea）e

1，即0

a

2

2a

e2a

（ea

a）（e

a）

（8分）

1，即a

2时，函数y

g（x）在区间（1,ea）不存在零点

x

v2—

（0—）

2

v2a

2

V2——,）

2

g（x）

-

0

+

g（x）

单调递减

极小值

单调递增

若a（1ln-）0，即2a2e时，函数yg（x）在区间（1,ea）不存在零点

22

aa小

若一（1In）0，即a2e时，函数yg（x）在区间（1,ea）存在一个零点xe；

22

若a（iIn-）0，即a2e时，函数yg（x）在区间（1,ea）存在两个零点；

22

综上所述，yg（x）在（1,e）上，我们有结论：

当0a2e时，函数f（x）无零点；

当a2e时，函数f（x）有一个零点；

当a2e时，函数f（x）有两个零点.

（12分）

解：

（I）当k

1时，f（x）

2x

），令f（x）0,得x2,

0，当x（2,）时，f（x）0,

f（x）定义域为（1,+

••当x（1,2）时，f（x）

•f（x）在（1,2）内是增函数，在（2,）上是减函数•••当x2时，f（x）取最大值f

（2）0

（II）①当k0时，函数yln（x1）图象与函数

•函数f（x）有零点，不合要求；

yk（x1）1图象有公共点,

（2分）

（4分）

（8分）

1

②当k0时，f（x）

x1

k1

令f（x）0,得x,•x

k

1

•-f（x）在（1,1）内是增函数,

k

1kkx

x1

k1

r

鼻1k、

k（x）

k

x1

（6分）

在［1

1

•••f（x）的最大值是f

（1）

k

•••函数f（x）没有零点，•lnk0,因此，若函数f（x）没有零点，则实数

Ink,

6.

（1）f（x）的定义域为

（0,

）,f'（x）

（i）若a

11.即a

2，则

）时,f

（x）0,x（1

丄，）上是减函数,

k

k1,

k的取值范围

a1

x

k（1,

2

xax

1

k,

）时,f（x）

（10分）

（x1）（x1a）

2分

f'（x）©

-故f（x）在（0,）单调增加.

（ii）若a

当x

（1,

1,故1

（iii）若a1

11,而a

（0,a1）及x（1,

）单调增加.

1,即a2,同理可得f（x）在（1,a

x

a2,则当x（a1,1）时,f'（x）0.

）时,f'（x）0,故f（x）在（a1,1）单调减少，在（0,a-1）,

1）单调减少，在（0,1）,（a1,）

5.

单调增加.

12

（II）考虑函数g（x）f（x）x-xax（a1）lnxx.

2

由g'（x）x（a"?

2..xax1（a1）1C，a11）2.

由于a

a5,故g'（x）0,即g（x）在（0,

）单调增加，从而当X1X2

0时有

g（xd

g（X2）0,即f（xjf（X2）

X1X20,

故f（X1）

—f（X2）1，当0x1x2

f（x-i）

时，有

f（X2）

f（X2）

f（x1）1

X1

X2

X1

X2

X2

X1

11ex1

7•解：

（I）f（x）e0，得x-

xxe

当x变化时，f（x）与f（x）变化情况如下表:

X

1

（0,-）

e

1e

1

（一，）e

f（X）

+

0

一

f（X）

:

单调递增

极大值

单调递减

.••当x1时，f（x）取得极大值讨2，没有极小值；（4分）

1InX2In为e（X2xjx2为

一e，…

XoX2X1Xo

X1

即X0In-2

（X2X1）

0，设g（x）

xIn匹

X1

（X2

X1）

X1

g（xj

x1In

生（X2

X1

X1）,

g（xj

/

X1

In鱼

X1

1

0,

g（xj是X1的增函数，

IX!

X2,•

g（xj

gX）

x2In

X2

X2

（X2

X2）

0；

g（x2）

x2In

迪（X2

X1

X1）,

g（x2）；

In$

X1

1

0,

g（X2）是X2的增函数,

tx1

X2,•

gg）

g（xj

x1In

X1

（X1X1）

0,

•函数

g（x）

.X2xIn—

（X2

X1）在（儿必）内有零点

X0,

（II）（方法1）•••f（xo）kAB,

X1

（10分）

••函数g（x）

x2x1

X

x2

-In在（X1,X2）内有唯一零点

X1

X0，命题成立

1

Inx2Inx1

e（x2X1）

（方法2）t

f（X0）

kAB,•e

X0

X2

X1

即xInx2

XInx1

X1X20,X0

（XZ），且X0唯一

（12分）

再设h（x）

x2，贝yg（x1）x1Inx2x.Inx1x1x2,

xInx2xInxxx2,0x

X2，二h（x）

Inx2Inx0

设g（x）xlnx2xlnx1x1

又t生1,InX20,函数g（x）xln^（X2xj在（人必）是增函数,X1X1X]

二h（x）xInx2xInxxx2在0xx2是增函数

•••g（xjh（xjh（X2）0，同理g（X2）0

（10分）

（12分）

二方程xlnx2xln为x-ix20在xo（x^x?

）有解

•••一次函数在（冷必）g（x）（Inx2lnx,）x为x2是增函数

•••方程xlnx2xlnXix-x?

0在xo（x-,x?

）有唯一解，命题成立

注：

仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分.

8.解：

（I）log2（2xx24）0,即2xx241（2分）

得函数f（x）的定义域是（1,3）,（4分）

（II）g（x）F（1,log2（x2ax2bx1））x3ax2bx1,

设曲线C在x0（4x01）处有斜率为一8的切线，

又由题设log2（x3

ax2bx1）0,g（x）

3x22axb,

3x：

2ax°b

8①

•••存在实数b使得

4X。

1

②

有解，

（6分）

x；ax2bx°1

1③

由①得b

83x

02ax°，代入③得

2x。

2

ax080,

由咬

ax08

0有解，

（8分）

4

x。

1

方法1:

a2（冷）

-，因为4

X。

1

，所以2（x°）

8

[8,10）,

（冷）

（x。

）

当a10时，存在实数b，使得曲线C在x0（4x01）处有斜率为—8的切线

（10分）

（I）解：

函数f（x）的定义域是（-1,s）,

f'（x）

1，令f'（x）

0,解得x=0，当-1

时，f'（x）0,当x>0时，f'（x）0，又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值

abab2a2b

（II）证法一：

g（a）g（b）2g（）alnablnb（ab）lnaInbln

22abab

由（I）的结论知ln（1x）x0（x1,且x0），由题设0

2a2b

2a

ba

ba

因此In-

In（1

）——

a

b

2a

2a

2b

ab

ab

In

In（1

）

ab

2b

2b

2a

2b

baa

b

所以aIn

bIn

——0

ab

ab

2

2

2a

ab

2a

,2b

’ab「2b八、’2b“、’小

又——

aIn

bIn

aInbIn（ba）In（ba）In2

ab

2b

ab

ab

2babab

综上0

g（a）

g（b）2g（a

b）（b

a）In2

2

ax

ax

则F（x）g（x）2［吋］

Inx

axIn

当0

0，因此F（x）在（0,a）内为减

（II）证法二：

g（x）xlnx，g（x）1'设F（x）g（a）g（x）2g（〒），

函数从而，当x=a时，F（x）有极小值

0g（a）g（b）g（^^）

2

设G（x）F（x）（xa）ln2,则g'（x）InxInIn2Inxln（ax）当x>0

2

时,G'（x）0,因此G（x）在（0,+a）为减函数，因为G（a）=0,b>a,所以G（b）<0.即

ab

g（a）g（b）2g^—）（ba）ln2

2

10•解：

（I）

2x

2x22x

1x

a（x

1）

令g（x）2x22xa，其对称轴为x

-。

由题意知为、X2是方程g（x）0的两个均大于1

2

的不相等的实根，其充要条件为

⑴当x（1,xJ时，fx

⑵当x（x1,x2）时，fx

⑶当x（x2,）时，fX

（II）由（I）g（0）a0,

fx2x2aln1x2

22

设hxx（2x2x）ln1

48a0，得0a1g

（1）a02

0,f（x）在（1,xJ内为增函数;

0,f（x）在（x「X2）内为减函数;

0,f（x）在（X2,）内为增函数;

12x20，a（2x2+2x2）

2

x22（2x22+2x2）ln1x2

1

x（x-），

2

则hx2x2（2x1）ln1x2x2（2x1）ln1x

当x（1,0）时,hxh（-）—

故fx2

h（X2）

12In2

4

224

1

（1）令1t，由x>0,「.t>1,x

11.x

1

原不等式等价于11lntt1

t

令f（t）=t-1-lnt,

1

）递增

•-f（t）1-当t（1,）时，有f（t）0,「.函数f（t）在t（1,

•••f（t）>f

（1）即t-1

1t1

另令g（t）lnt1”，则有g（t）厂0

•g（t）在（1,）上递增，•g（t）>g

（1）=0

1

•lnt1-

t

综上得

1

ln

X1

1

X1

X

X

（2）

由

（1）

令

x-1,2,-

-（n-1）

并相加得

1

1

1

2

3

n

1

ln

ln

ln

1-

2

3

n

1

2

n1

2

1

1

1

1

1

即得

ln

1

-

2

3

n

2

n1

12.分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并

能够得分。

fx3x26bx3c由题意知方程fx0有两个根

X1、X2且X1[1,0],X2[1,2].则有f10,f00,f10,f20故有

2b-c-\<（｝右图中阴影部分即是满足这些条件的点b,c的区域。

c<0

26-I-0+HO

4b+v+4>036/42

（II）这一问考生不易得分，有一定的区分度。

主要原因是含字母较多，不易找到突破口。

此题主要

利用消元的手段，消去目标fx2

3

X2

2

3bx23cx2中的b,（如果消c会较繁琐）再利用x2的

范围，并借助（I）

中的约束条件得

2,0］进而求解，有较强的技巧性