导数历届高考压轴题.docx

1、导数历届高考压轴题1.已知函数f (x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示.(I )求c,d的值；(II )若函数f(x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0 ,求函数f (x)的解 析式；1(III )在(II )的条件下，函数y f (x)与y 一 f (x) 5x m的图象有三3个不同的交点，求m的取值范围.2.已知函数 f(x) alnx ax 3(a R).I )求函数f (x)的单调区间；(II )函数f(x)的图象的在x 4处切线的斜率为-,若函数2g(x) 1x3 x2f(x) m在区间(1，3)上不是单调函数，求m的取值范围.3 23 / 423.已

2、知函数f (x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值(I)求实数a的取值范围；2(II)若方程f(x) (23)恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；(III )对于(II)中的函数f(x)，对任意、 R，求证：| f (2sin ) f (2sin ) | 81 .x， g(x) x2 aln x4.已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函数f(x) ex (I )写出f(x)的单调递增区间，并证明ea a ； (II)讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数.6 / 425.已知函数 f (x) ln(x 1) k(x 1) 1(I )当k 1时

3、，求函数f(x)的最大值；(II )若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围8 / 4216.已知函数 f(x) x2 ax (a 1)1 nx,a 1 -2(I )讨论函数f(x)的单调性；(II )证明：若 a 5,则对任意 x,X2 (0, ), x X2,有 f(x) f (x2) 1.x x27.设曲线 C : f (x) In x ex ( e 2.71828 ) , f (x)表示 f (x)导函数.(I )求函数f (x)的极值；(II )对于曲线C上的不同两点A(%, yj , B(X2,y2), N X2，求证：存在唯 的X。(Xi,X2)，使直线AB的斜率等于f (xo

4、).11/ 428.定义 F(x, y) (1 x)y,x,y (0, )，(I )令函数f(x) F(3,log2(2x x2 4),写出函数f(x)的定义域；(II)令函数g(x) F(1,log2(x3 ax2 bx 1)的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在xo( 4 xo 1)处有斜率为一8的切线，求实数a的取值范围；( III ) 当 x, y N* 且 x y 时 , 求 证 F(x,y) F(y,x) 9.( 全国卷 22)(本小题满分 14 分 )已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设 0ab,证明 0g(a)+

5、g(b)-2g( )a ;(3)记b In ( n=1,2, )，求数列bn的前n项和Sn。an a21/ 4214. ( 2009福建卷理)(本小题满分14分)已知函数f(x) -x3 ax2 bx ,且3f( -)0，求：(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；(2)令a 1,设函数f (x)在为必(冷X2)处取得极值，记点M ( x1, f (xj )，N( X2, f(X2) , P( m, f(m), Xi m X2,请仔细观察曲线f (x)在点P处的切线与 线 段 MP 的 位 置 变 化 趋 势 ，并 解 释 以 下 问 题 ：( I )若 对 任 意 的 m (

6、x1, x 2 ) ，15. 设 二 次函 数 f(x) x2线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你 的结论；(II )若存在点Q(n , f(n) ), x * m ,使得线段PQ与曲线f(x) 有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)ax a，方程f (x) x 0的两根Xi和x?满足 0 x1 x2 1(I)求实数a的取值范围；(II)试比较f(0)f(1) f(0)与丄的大小.并说明理由.1616.2009 宁夏海南卷理()本小题满分 12 分)已知函数 f (x)(x3 3x2axb)e(1 )如a b 3 ,求f (x)的单

7、调区间；(2 )若f (x)在(,),(2,)单调增加，在(，2),(,)单调减少，证明 V6.26/ 4217.已知函数 f (x) x3 ax2 b(1) 若函数y f(x)图象上任意不同两点连线的斜率都小于1,贝U.3 a ,3 ; 若x 0 , 1，函数y f (x)图象上任一点切线的斜率为k ,求k| 1时 a的取值范围。参考答案:解：函数f (x)的导函数为 f(x) 3ax2 2bx c 3a 2b(2 分)(I)由图可知函数f (x)的图象过点(0, 3),且f(1) 03a 2b c 3a 2b 0(4分)(II)依题意 f(2) 3 且 f(2) 58a4b 6a 4b 3

8、 5解得a1,b6 所以 f (x) x 6x 9x 3 / Q(8 分)(III) f(x)3x212x 9 .可转化为：x3 6x2 9x 3x2 4x 3 5x m有三个不等实根，即：g xx3 7x2 8x m与x轴有三个交点；12a 4b 3a 2b 3x2,3232,4344,g x+0-0+g x增极大值减极小值增2g x 3x 14x 8 3x 2 x 4 ，(10 分)16 m .gm,g 43 27当且仅当g268327故而， 16m68为272.解: (I) f(x)a(1x)(x 0)m 0且g 4 16 m 0时，有三个交点,(12 分)(2 分)当a当a当a=1时,

9、(II) f(4)x0时，f(x)的单调增区间为0,1，减区间为1,0时，f(x)的单调增区间为1,，减区间为0,1;f(x)不是单调函数3a 3 /口得a 2, f (x) 21n x4 2m 2 2(2)x 2x, g(x) x2(5分)2x1g(x)g(x)在区间(1,3)上不是单调函数(m4)x2 (6 分)g(1)g(3)0,0.(8 分),且 g(0)3,19 (10 分)m亍19殳，3)3(12 分)3.解：(I) f(0)2a 3f (x) 3x2 2ax (2a 3) (x 1)(3x 2a 3),2a 3由f (x) 0 x 1或x ，因为当x 1时取得极大值，32a 3

10、所以丝工1 a 3，所以a的取值范围是:(,3);3 (4分)(II )由下表：x(,1)12 3 (1, F2 332 3(3 ,)f (x)+0-0-f(x)递增极大值a 2递减极小值6 2 (2 3)27 丿递增a 6 2依题意得： (2a 3)2272(2a 3)9，解得：a 9所以函数f(x)的解析式是f(x)x3 9x2 15x (A(III)对任意的实数 ，都有 22si n2, 2 2sin2, (10分)在区间-2 , 2有：f ( 2)8 3630 74, f (1)7,f(2)8 36 30 2f (x)的最大值是f(1) 7, f(x)的最小值是f( 2) 8 36 3

11、0 74函数f(x)在区间2,2上的最大值与最小值的差等于 81，所以 | f (2sin ) f(2sin ) | 81 . (14分)4.函数yg(x)取极小值g(a a丁忖，无极大值.(6分)2a e由(I) eag(1) 1 0,(i)当2(ii)当主2g(ea) e1，即0a22ae2a(eaa)(ea)(8 分)1，即a2时，函数yg(x)在区间(1,ea)不存在零点xv2(0)2v2a2V2 ,)2g(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增若a(1 ln -) 0，即2 a 2e时，函数y g(x)在区间(1,ea)不存在零点2 2a a 小若一(1 In ) 0，即a 2e时

12、，函数y g(x)在区间(1,ea)存在一个零点x e ；2 2若a(i In -) 0，即a 2e时，函数y g(x)在区间(1,ea)存在两个零点；2 2综上所述，y g(x)在(1,e )上，我们有结论：当0 a 2e时，函数f (x)无零点；当a 2e时，函数f(x)有一个零点；当a 2e时，函数f (x)有两个零点. (12 分)解：(I)当k1 时，f (x)2 x)，令 f (x) 0,得x 2 ,0，当 x (2,)时，f (x) 0,f (x)定义域为(1 , +当 x (1,2)时，f (x) f(x)在(1,2)内是增函数， 在(2,)上是减函数 当x 2时，f(x)取最

13、大值f(2) 0(II)当k 0时，函数y ln(x 1)图象与函数函数f(x)有零点，不合要求；y k(x 1) 1图象有公共点,(2 分)(4分)(8 分)1当k 0时，f (x)x 1k 1令 f (x) 0,得x , xk1- f (x)在(1,1 )内是增函数,k1 k kxx 1k 1r鼻 1 k、k(x )kx 1(6分)在11 f(x)的最大值是f(1 )k函数f(x)没有零点， lnk 0 , 因此，若函数f(x)没有零点，则实数In k ,6.( 1) f (x)的定义域为(0,),f(x)(i)若 a1 1.即 a2，则)时,f(x) 0, x (1丄，)上是减函数,kk

14、 1,k的取值范围a 1xk (1,2x ax1k,)时,f (x) (10 分)(x 1)(x 1 a)2分f(x) -故f(x)在(0,)单调增加.(ii )若 a当x(1,1,故1(iii )若 a 11 1,而 a(0,a 1)及 x (1,)单调增加.1,即a 2,同理可得f (x)在(1,axa 2,则当 x (a 1,1)时,f(x) 0.)时,f(x) 0,故f(x)在(a 1,1)单调减少，在(0, a-1),1)单调减少，在(0,1), (a 1,)5.单调增加.1 2(II)考虑函数 g(x) f(x) x -x ax (a 1)lnx x.2由 g(x) x (a ?

15、2.xax1 (a 1) 1 C，a 1 1)2.由于aa5,故 g(x) 0,即 g(x)在(0,）单调增加，从而当X1 X20时有g(xdg(X2)0,即 f(xj f(X2)X1 X2 0,故 f（X1）f (X2) 1，当 0 x1 x2f (x-i )时，有f(X2)f (X2)f(x1) 1X1X2X1X2X2X11 1 ex 17解：（I） f （x） e 0，得 x -x x e当x变化时，f （x）与f（x）变化情况如下表:X1(0,-)e1 e1(一，) ef (X)+0一f (X):单调递增极大值单调递减.当x1时，f（x）取得极大值讨2，没有极小值； （4分）1 In

16、X2 In 为 e(X2 xj x2 为一 e ， Xo X2 X1 XoX1即 X0 In -2(X2 X1)0，设 g(x)xIn匹X1(X2X1)X1g(xjx1 In生(X2X1X1),g(xj/X1In鱼X110 ,g（xj是X1的增函数，I X!X2 , g(xjgX)x2 InX2X2(X2X2)0 ；g(x2)x2 In迪(X2X1X1),g（x2）；In$X110,g（X2）是X2的增函数,t x1X2 ,gg)g(xjx1 InX1(X1 X1)0,函数g(x).X2 x In (X2X1）在（儿必）内有零点X0,(II)(方法 1 ) f (xo) kAB ,X1(10

17、分)函数g(x)x2 x1Xx2-In 在（X1, X2）内有唯一零点X1X0，命题成立1In x2 In x1e(x2 X1)（方法2）tf (X0)kAB , eX0X2X1即 x In x2X In x1X1 X2 0 , X0（XZ），且 X0 唯一(12 分)再设h（x）x2，贝y g (x1) x1 In x2 x. In x1 x1 x2,xIn x2 x In x x x2, 0 xX2，二 h (x)In x2 In x 0设 g(x) xln x2 xln x1 x1又t生 1, In X2 0 ,函数g (x) xln (X2 xj在(人必)是增函数, X1 X1 X二

18、h(x) xIn x2 xInx x x2在0 x x2是增函数 g(xj h(xj h(X2) 0，同理 g(X2) 0(10 分)(12 分)二方程 x ln x2 xln 为 x-i x2 0 在 xo (xx?)有解一次函数在(冷必)g(x) (In x2 lnx,)x 为 x2是增函数方程xlnx2 xln Xi x- x? 0在xo (x-,x?)有唯一解，命题成立注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线 C不存在拐点，不给分.8.解：(I) log2 (2x x2 4) 0,即 2x x2 4 1 ( 2 分)得函数f(x)的定义域是(1,3) , (4分)(II) g(x) F

19、(1,log2(x2 ax2 bx 1) x3 ax2 bx 1,设曲线C在x0( 4 x0 1)处有斜率为一8的切线，又由题设log2(x3ax2 bx 1) 0, g (x)3x2 2ax b,3x： 2ax b8存在实数b使得4 X。 1有解，(6分)x； ax2 bx 11由得b8 3x0 2ax，代入得2x。2ax0 8 0,由咬ax0 80有解，(8 分)4x。 1方法1 :a 2(冷)-，因为4X。 1，所以2( x)88,10),(冷)(x。)当a 10时，存在实数b，使得曲线C在x0( 4 x0 1)处有斜率为8的切线 (10 分)(I)解：函数f(x)的定义域是(-1, s

20、),f(x)1 ，令 f(x)0 ,解得 x=0，当-1x0时，f(x) 0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值a b a b 2a 2b(II)证法一： g(a) g(b) 2g ( ) al na bl nb (a b)ln a In bln 2 2 a b a b由(I)的结论知 ln(1 x) x 0(x 1,且x 0)，由题设 0ab,得-_a 0, 1 b 0 ,2a 2b2ab ab a因此In -In(1 ) ab2a2a2ba ba bInIn(1)a b2b2b2a2bbaab所以a InbIn 0a ba b222aa b,2a,2b a b

21、2b 八 、 2b “ 、 小又aInbInaIn b In (b a)In (b a)In 2a b2ba ba b2b a b a b综上0g(a)g(b) 2g(ab) (ba)In 22a xa x则 F(x) g(x) 2吋In xa x In 当 0x02时,G(x) 0,因此G(x)在(0,+ a)为减函数，因为 G(a)=0,ba,所以G(b)0,. t1 , x11. x1原不等式等价于1 1 l nt t 1t令 f(t)=t-1-lnt ,1）递增- f (t) 1 -当 t (1,)时，有 f (t) 0,.函数 f(t)在 t (1, f(t)f(1) 即 t-1g(

22、1)=01 l nt 1 -t综上得1lnX 11X 1XX(2)由(1)令x-1,2,-(n-1)并相加得111,23, n,1lnlnln1 -23n12n 1211111即得ln1-23n2n 112.分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。f x 3x2 6bx 3c由题意知方程 fx 0有两个根X1、X2 且X1 1,0, X2 1,2.则有 f 1 0, f 0 0, f 1 0, f 2 0 故有2b-c-（ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点 b,c的区域。c0 36 / 42(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标f x23X223bx2 3cx2中的b ,(如果消c会较繁琐)再利用x2的范围，并借助(I)中的约束条件得2,0进而求解，有较强的技巧性