初三数学作图题.docx

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初三数学作图题

作图题

1、（2013•曲靖）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（　　）

A．

射线OE是∠AOB的平分线

B．

△COD是等腰三角形

C．

C、D两点关于OE所在直线对称

D．

O、E两点关于CD所在直线对称

考点：

作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

分析：

连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；

根据作图得到OC=OD，判断B正确；

根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE是CD的垂直平分线，判断C正确；

根据作图不能得出CD平分OE，判断D错误．

解答：

解：

A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．

∵在△EOC与△EOD中，

，

∴△EOC≌△EOD（SSS），

∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；

B、根据作图得到OC=OD，

∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；

C、根据作图得到OC=OD，

又∵射线OE平分∠AOB，

∴OE是CD的垂直平分线，

∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；

D、根据作图不能得出CD平分OE，

∴CD不是OE的平分线，新课标第一网

∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．

故选D．

点评：

本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形、轴对称的性质，从作图语句中提取正确信息是解题的关键．

2、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：

S△ABC=1：

3．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．

分析：

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

解答：

解：

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．

故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上．

故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．

∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，

∴S△DAC：

S△ABC=AC•AD：

AC•AD=1：

3．

故④正确．

综上所述，正确的结论是：

①②③④，共有4个．

故选D．

点评：

本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

3、（2013•昆明）在平面直角坐标系中，四边形ABCD的位置如图所示，解答下列问题：

（1）将四边形ABCD先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A1B1C1D1，画出平移后的四边形A1B1C1D1；

（2）将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90°，得到四边形A1B2C2D2，画出旋转后的四边形A1B2C2D2，并写出点C2的坐标．

考点：

作图-旋转变换；作图-平移变换．

专题：

作图题．

分析：

（1）根据网格结构找出点A、B、C、D平移后的对应点A1、B1、C1、D1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出B1、C1、D1绕点A1逆时针旋转90°的对应点B2、C2、D2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标．

解答：

解：

（1）四边形A1B1C1D1如图所示；

（2）四边形A1B2C2D2如图所示，

C2（1，﹣2）．

点评：

本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

4、（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．

（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；

（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求　．

考点：

作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．

专题：

计算题．

分析：

（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；

（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：

取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求

解答：

解：

（Ⅰ）△ABC的面积为：

×4×3=6；

（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，

与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，

则四边形DEFG即为所求．

故答案为：

（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求

点评：

此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．

5、（2013杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？

请写出一条．

考点：

作图—复杂作图．

分析：

根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可．

解答：

解：

如图所示：

发现：

DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．

点评：

此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键．　

6、（2013年江西省）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

【答案】

（1）如图1，点P就是所求作的点；

（2）如图2，CD为AB边上的高.

【考点解剖】本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题

（1）是要作点，题

（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．

【解题思路】图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E,连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D,连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题

（2）是题

（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题

（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高．

【解答过程】略.

【方法规律】认真分析揣摩所给图形的信息，结合题目要求思考.

【关键词】创新作图圆三角形的高

7、（2013年武汉）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，4），画出平移后对应的△；

（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转中心的坐标；

（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

解析：

（1）画出△A1B1C如图所示：

（2）旋转中心坐标（，）；

（3）点P的坐标（－2，0）．

8、（2013凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：

A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．

（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；

（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．

考点：

直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图．

专题：

探究型．

分析：

（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；

（2）连接OD，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．

解答：

解：

（1）如图所示：

△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；

（2）连接OD，

设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，

∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），

∴，

解得，

∴此直线的解析式为y=2x+2；

设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，

∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），

∴，

解得，

∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，

∵2×（﹣）=﹣1，

∴PD⊥PE，

∵点D在⊙P上，

∴直线l与⊙P相切．

点评：

本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．　

9、（2013•眉山）如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．

（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）

（2）作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；

（3）在

（2）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）

考点：

作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．

专题：

作图题．

分析：

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的A2、B2的位置，然后顺次连接即可；

（3）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．

解答：

解：

（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C如图所示；

（3）根据勾股定理，BC==，

所以，点B旋转到B2所经过的路径的长==π．

点评：

本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

10、（2013•广安）雅安芦山发生级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．

考点：

作图—应用与设计作图．

专题：

作图题．

分析：

分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．

解答：

解：

根据勾股定理，斜边AB==4，

①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，

∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，

∴=，

解得r=4﹣4，

②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，

∴=，

解得r=2，

作出图形如图所示：

点评：

本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．

11、（2013•温州）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．

（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；

（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．

考点：

作图-旋转变换；作图-平移变换．

专题：

图表型．

分析：

（1）根据网格结构，把△ABC向右平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；

（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．

解答：

解：

（1）平移后的三角形如图所示；

（2）如图所示，旋转后的三角形如图所示．

点评：

本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构是解题的关键．

12、（2013•嘉兴）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：

如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？

小明的做法是：

如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．

（1）请写出这种做法的理由；

（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：

①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；

（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．

考点：

作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．

分析：

（1）根据平行线的性质得出即可；

（2）根据题意，有3个角与∠PAB相等．由等腰三角形的性质，可知∠PAB=∠PDA；又对顶角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行线性质，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；

（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．

解答：

解：

（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）；

（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，

如图，∵PA=PD，

∴∠PAB=∠PDA，

∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），

又∵PC∥a，

∴∠PDA=∠1，

∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；

（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形．

点评：

本题涉及到的几何基本作图包括：

（1）过直线外一点作直线的平行线，

（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：

（1）平行线的性质，

（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．

13、（2013•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．

（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．

（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

考点：

作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．

分析：

（1）延长AC到A1，使得AC=A1C1，延长BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出图象；

（2）根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2；

（3）作出A1的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．

解答：

解；

（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）如图所示：

作出A1的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，

可得P点坐标为：

（，0）．

点评：

此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握．

14、（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）

（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1

（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．

考点：

作图-位似变换；作图-旋转变换．

分析：

（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；

（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．

解答：

解：

如图：

（1）△A1B1C1即为所求；

（2）△A2B2C2即为所求．

点评：

此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

15、（2013鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求做△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）

考点：

作图—复杂作图．

分析：

先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．

解答：

解：

如图所示：

．

点评：

本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法．　

16、（2013•苏州）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．

（1）现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是　△DFG或△DHF　（只需要填一个三角形）

（2）先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取得这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．

考点：

作图—应用与设计作图；列表法与树状图法．

分析：

（1）根据格点之间的距离得出△ABC的面积进而得出三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形；

（2）利用树状图得出所有的结果，进而根据概率公式求出即可．

解答：

解：

（1）∵△ABC的面积为：

×3×4=6，

只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等，

∴与△ABC不全等但面积相等的三角形是：

△DFG或△DHF；

（2）画树状图得出：

由树状图可知共有6种可能的结果，其中与△ABC面积相等的有3种，即△DHF，△DGF，△EGF，

故所画三角形与△ABC面积相等的概率P==，

答：

所画三角形与△ABC面积相等的概率为．

故答案为：

△DFG或△DHF．

点评：

此题主要考查了三角形面积求法以及树状图法求概率，根据已知得出三角形面积是解题关键．

17、（2013•张家界）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：

先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．

考点：

作图-旋转变换；作图-轴对称变换．

分析：

△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可．

解答：

解：

如图所示：

点评：

此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形，根据已知得出对应点位置是解题关键．

18、（2013•淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．

（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

考点：

作图-旋转变换；作图-平移变换．

分析：

（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；

（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．

解答：

解：

（1）如图所示：

△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：

△A2B2C2，即为所求．

点评：

此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点坐标是解题关键．

19、（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：

以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：

∠ABC=　30°　，∠A′BC=　90°　，OA+OB+OC=　　．

考点：

作图-旋转变换．

专题：

作图题．

分析：

解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；

根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．

解答：

解：

∵∠C=90°，AC=1，BC=，

∴tan∠ABC===，

∴∠ABC=30°，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，

∴△A′O′B如图所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=2，

∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，

∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，

∴△BOO′是等边三角形，

∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，

∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，

∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，

∴C、O、A′、O′四点共线，

在Rt△A′BC中，A′C===，

∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．

故答案为：

30°；90°；．

点评：

本题考查了利用旋转变换作图，旋转变