普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷含答案及解析.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷含答案及解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
（4）
某公司的班车在7:
00，8:
00，8:
30发车，小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的
时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）
（A）1
（B）（C）2（D）3
⑶已知方程m+n-mb=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（）
则它的表面积是（）
（D）8
（A）2
（B）4
（C）6
（A）
（12）已知函数f（x）sin（x+）（0,
则m、n所成角的正弦值为（）
（D）3
尹-为f（x）的零点，x4为yf（x）图像的对称轴
5
且f（x）在一，J单调，则的最大值为（）
（A）11
（B）9
（C）7
（D）5
1836
:
■、填空题：
本大题共3小题，每小题5分
（13）设向量a=（m，1），b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，贝Um=.
（14）（2xVx）5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）
（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2・・・an的最大值为.
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品A需要甲材料1.5kg，
乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件
产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。
该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，
则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
三•解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本题满分为12分）
VABC的内角A，B，C的对边分别别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）c.
（I）求C；
（II）若c7,VABC的面积为3卫，求VABC的周长.
2
（18）
如图，在已A,B,C,D,
E,F为顶点的五面体中，面
ABEF为正方形，AF=2FD,
AFD90°,
（本题满分为12分）
且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
（I）证明平面ABEF平面EFDC;
（II）求二面角E-BC-A的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外
购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买
机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下
面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机
器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求X的分布列；
（II）若要求P（Xn）0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？
（20）（本小题满分12分）
设圆X2y22x150的圆心为A，直线I过点B（1,0）且与x轴不重合，I交圆A于C,D两点，过
B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线Ci,直线|交Ci于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x-2）eX+a（x-1）2有两个零点•
（I）求a的取值范围；
（II）设X1，x2是的两个零点，证明：
X什x2<2.
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲
1
如图，△OAB是等腰三角形，/AOB=120°.以0为圆心，qOA为半径作圆
（I）证明：
直线AB与O0相切；
（II）点C,D在O0上，且A,B,C,D四点共圆，证明：
AB//CD.
（23）（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
x=acost,
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）。
y=1+asint
在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
p=4cosQ
（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为9=a,其中满足tana2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a
（24）
（本小题满分10分），选修4—5:
不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|-|2x-3|.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f（x）的图像;
（II）求不等式|f（x）|>1的解集。
参考版解析
故AlBx3x32
故选D.
x1
yi，故，解得:
xy
所以，xyi|：
j__y2.2.
故选B.
9a1ap92a5
3.由等差数列性质可知：
Sp-二9便9比27,故as3,
22
而3108，因此公差d毁生1
105
…310031090d98.
故选C.
4.如图所示，画出时间轴:
5.
2
x~2mn
2
y
3m2n
1表示双曲线，则
n3m2
车的时间不超过10分钟
由双曲线性质知:
c2m2n3m2
4m2,
其中c是半焦距
焦距2c22m
4，解得m1
故选A.
7.
6.原立体图如图所示:
1后的三视图
8
表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和
8
7212
S=422+322=17
84
故选A.
f28e282.820,排除A
f28e282.721，排除B
x0时,
因此fx
故选D.
2x2
1
x4xex，当x0,4时，
1
0,-单调递减，排除C
4
由于0
•••函数yxc在R上单调递增，因此
bc,A错误
B:
由于1
0,•函数
xc1在1,上单调递减，
C:
故选C.
c
ba
c
ab
B错误
要比较alogbc和blogac，只需比较
构造函数fxxlnxx1,则
alnc和blnclna
Inb
lnx1
只需比较
Inc
和lnc，只需blnb和alnablnbalna
fx在1,
上单调递增，因此
fa
f
b0alnablnb
0—
alnablnb
又由0
c
1得Inc
0,•lnc
lnc
blogac
alna
blnb
要比较
log
ac和lOgb
c，只需比较
lnc和
lnc
lna
lnb
而函数
y
lnx在1,
上单调递增，故
ab1
又由0
c
1得lnc
0,•lnc
lnc
logaclog
D:
lnaInb0
a
bC,D错误
alogbc,C正确
1
lna
x
lnb
9.如下表:
循环节运
行次数
n1
XXX
2
yyny
判断
22xy36
是否
输出
nnn1
运行前
0
1
/
/
1
第一次
0
1
否
否
2
第二次
1
2
2
否
否
3
第三次
3
2
6
是
是
输出x3,y6，满足y4x故选C.
10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为y2pxp0，设圆的方程为x2y2r2，
题目条件翻译如图：
I
厂
A
\
设A"2，D2'5，
点Axg,2・、2在抛物线y22px上，二82①
2点D-,5在圆x2y2r2上，二5卫r2……②
22
D
a
B
A
11.如图所示:
Ci
//平面CBDi,•••若设平面CB1DiI平面ABCDmi，则mJm
又•••平面ABCD//平面ABGU，结合平面B1D1CI平面AB1GUB1D1
•-B1D1/Im，故BiD1/Im
同理可得：
CD1Jn
故m、n的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.
，因此CDB—,即sinCD1B1
32
故选A.
k2n+-
2
接下来用排除法
18
n5n才单调
36
n
9,，此时f（x）sin9x
f（x）在
-,5n单调递减
1836
故选B.
ai
a2
a3
a4
10
5
2
a1ag
3
agag
10
10，解得:
a1
13.由已知得：
abm1,3
7249n2T
故an
02
...0n
3或4时,
49
一取到最小值6,
4
此时
49
帀取到最大值26.
所以
a1a2...an的最大值为
64.
16.设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约
束为
】憎,I
1.5工+（].5卩丈150
弘十3丿W创。
庐D
目标函数z2100x900y
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为
（60,100）（0,200）（0,0）（90,0）
17.⑴2cosCacosBbcosAc
由正弦定理得：
2cosCsinAcosBsinBcosAsinC
2cosCsinA
B
sinC
ABC
n,A
、B
、C
0,n
sinAB
sinC
0
2cosC1,
cosC
1
2
C0,n
C-
3
⑵由余弦定理得：
2c
2a
b2
2abcosC
7
a2b22ab-
2
a
2
b3ab
7
S
^absinC
2
33
2
ab6
2
ab18
7
a
b5
△ABC周长为a
b
c5
7
18.⑴•/ABEF为正方形
•AF
EF
•••AFD90
•AF
DF
•/DF
IEF=F
•-AF
面EFDC
AF
面ABEF
•••平面ABEF平面EFDC
⑵由⑴知：
DFECEF60
•••ABIIEF
AB平面EFDC
EF平面EFDC
•••ABII平面ABCD
AB平面ABCD
T面ABCDI面EFDCCD
•ABIICD
•CDIIEF
2a，0，0
E0，0,0
B0，2a，0
C-
2
，0Ja
2
uuu
utur
a
3
uuu
EB
0，2a，
0，
BC
2
2a，
a
2
1，AB
LT
设面BEC法向量为
m
x，y，
Z•
ur
UJU
2ay
0
m
EB0
ur
UJU，
即a
3
m
BC0
—
Xi
2ayi
a
Zi
0
2
2
X
3，yi
0，乙
1
ir
，m
.3，
0，
1
设面ABC法向量为
rn
X2，y2
，Z2
A2a，2a，0
•四边形EFDC为等腰梯形
rujlta3
nBC=0冃口_X22ay2—az?
0rmur•即22
nAB02ax20
X20，y23，Z24，n0，3，4
设二面角EBCA的大小为•
cos
itrmn
4
2岳
uTmr
i扁iV3i6
i9
面角EBCA的余弦值为乙19
19.
每台机器更换的易损零件数为8,9,
10,11
20.
记事件A为第一台机器
记事件Bi为第二台机器
由题知pApa3
3年内换掉i
3年内换掉i
PA4PB1
7个零件
7个零件
PB3
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为
22
X
0.2
要令
1,2,3,4
1,2,3,4
B40.2,PA2PB20.4
X，贝UX的可能的取值为
16,17,
18，19,
16
PA1
P
B1
0.20.2
0.04
17
PA1
P
B2
PA2P
B1
0.20.4
0.4
0.2
0.16
18
PA
P
B3
PA2P
B2
PA3P
B1
0.2
0.20.2
0.2
0.4
0.4
0.24
19
PA1
P
B4
PA2P
B3
PA3P
B2
PA4PB1
0.2
0.2
0.2
0.2
0.4
0.24
20
PA2
P
B4
PAP
B3
PA4P
B2
0.4
0.20.2
0.4
0.2
0.2
0.2
21
PA3
P
B4
PA4P
B31
0.20.2
0.2
0.2
0.08
22
PA4
P
B4
0.20.2
0.04
X
X
X
X
x
x
0.4
20,21,
0.2
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
>0.5,Q0.040.160.240.5,0.040.160.240.24>0.5
则n的最小值为19
购买零件所需费用含两部分,
的费用
当n19时，费用的期望为
当n20时，费用的期望为
所以应选用
圆A整理为
QBE//AC,
部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买
19
20
n19
16
2005000.210000.0815000.044040
2005000.0810000.044080
A坐标
则/C
ZEBD
由ACAD,则ZD
ZEBDZD,则JEBED
AEEBAEEDAD
所以E的轨迹为一个椭圆，方程为
1,0，如图,
2
31,（y
x
4
22
⑵C4詈1;设l:
x
my1,
因为
PQ丄I，设PQ:
y
，联立I与椭圆G
x
4
21.⑴由已知得：
f'x
x1ex
2ax1
①若a0,
那么
fx0
x2ex
②若a0,
那么
xx
e2ae
0,
x1ex2a
0x2,fx只有唯一的零点x2，不合题意;
所以当x1时，f'x0,fx单调递增
当x1时，f'x0，fx单调递减
即:
x
1
1
1,
f'x
0
fx
J
极小值
故fx在1,上至多一个零点，在,1上至多一个零点
由于f2a0，f160，贝9f2f10，
x2
x2eax1ex2
22
ax1ax1ex1
而当x1时，exe,x210,
则f
x
0的两根忙
e
e
4ae1t
e■e4ae1tt因为a0故当xt或
1
2a
1,t2
12,因为,故当1或
2a
xt2
时,
2
ax1
ex
1e
0
因此,
当
x1且x
匕时,
fx
0
又f1e0,根据零点存在性定理,
fx在,1有且只有一个零点.
此时，fx在R上有且只有两个零点，满足题意.
…e
③若a0，则In2alne1,
2
xIn2a
当xIn2a时，x1In2a10,e2ae2a0,
fIn2a
即f'xx1ex2a0,fx单调递增；
当In
2a
x1时，x1
0,
xIn2a
e2ae
2a
0,即f'x
x1ex2a0,
fx单调
递减；
当x
1时，
x10,ex
2a
In2a
e2a0,
即f'
x
0,fx
单调递增.
即:
x
In2a
In2a
In2a,1
1
1,
f'x
+
0
-
0
+
fx
极大值
J
极小值
而极大值
④若ae，那么In2a1
2
当x1In2a时，x10,ex2aeln2a2a0，即f'x0,
fx单调递增
当x1In2a时，x10,ex2aJ2a2a0,即f'x0,
fx单调递增
又fX在x1处有意义，故fx在R上单调递增，此时至多一个零点，不合题意.
若a
e小
，则In2a
2
1
当x
1时，x10,
x1
e2ae
2a
In2a
e2a0，即f'x
0,
fx
单调递增
当1
xIn2a时，
x10,ex
2a
e2a0,即卩f'x
0,
fx
单调递减
当x
In2a时，x
1In2a
10
xIn2a
e2ae2a0,
即f'x0,
fx单调递增
即：
x
1
1
1,In2a
In2a
In2a,
f'x
+
0
-
0
+
fx
极大值
J
极小值
故当x无解
当xIn2a时，fx单调递增，至多一个零点
此时fx在R上至多一个零点，不合题意.
⑵由已知得：
fXifX20,不难发现x11,x21,
调递增.
构造代数式:
m12mem1
整理得:
X1
X2
因此，对于任意的m
22•⑴设圆的半径为
r，作OKAB于K
•/OAOB,
AOB120
•-OKAB,
A30,OKOAsin30
OA
r
2
•••AB与OO相切
⑵方法一：
假设CD与AB不平行
CD与AB交于F
2
FKFCFD①
•••A、B、C、D四点共圆
•••FCFDFAFBFKAKFKBK
•••AKBK
22
•-FCFDFKAKFKAKFKAK②
由①②可知矛盾
•ABIICD
方法二：
因为A,B,C,D四点共圆，不妨设圆心为T，因为OAOB,TATB,所以0,T为AB的中垂线上，同理
OCOD,TCTD，所以0T为CD的中垂线，所以AB//CD.
23.
xacost
⑴（t均为参数）
y1asint
•xy12a2①
222
•G为以0,1为圆心，a为半径的圆.方程为xy2y1a0..222.
-xy,ysin
C3:
化为普通方程为y2x
由题意：
Ci和C2的公共方程所在直线即为C3
①一②得：
4x2y1a20,即为C3
•••1a20
•••a1
24•⑴如图所示：
x4,xW1
3
⑵fx3x2,1x-
2
3
4x,x》
2
fx|1
当xW1,|x4|1，解得x5或x3
•xW1
31
当1x-,3x21，解得x1或x-
23
1、3
•-1x或1x—
32
3
当x'一，|4x1，解得x5或x3
2
•3Wx3或x5
2
1
综上，x-或1x3或x5
3
•|fx\1，解集为，1U1,3U5,
3
c2
n3m
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