动点等腰三角形问题.docx

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动点等腰三角形问题

龙文教育一对一个性化辅导教案

学生

学校

年级

九年级

次数

第次

科目

数学

教师

罗老师

日期

时段

课题

抛物线中因动点产生的等腰三角形问题

教学重点

1.压轴题抛物线中抛物线中因动点产生的等腰三角形问题

教学难点

1.压轴题抛物线中抛物线中因动点产生的等腰三角形问题

教学目标

会解一些常见题型

教

学

步

骤

及

教

学

内

容

一．题型的综述：

二.方法揭秘：

三．典例分析：

四．变式训练：

五．课后作业：

管理人员签字：

日期：

年月日

作业布置

1、学生上次作业评价：

○好○较好○一般○差

备注：

2、本次课后作业：

课堂小结

讲义问题：

无错题、无作业、小题少、大段概念、量少、无提纲、

其它（）

龙文教育一对一个性化辅导教案

学生

学校

年级

九年级

次数

第次

科目

数学

教师

日期

时段

一、类型综述

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

二、方法揭秘

我们先回顾两个画图问题：

1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？

顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？

顶点C的轨迹是什么？

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：

分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么

；③如图3，如果CA＝CB，那么

．

代数法一般也分三步：

罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

图1图2图3

三、典例分析

例1如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1备用图

例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例3如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例4如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数

的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

例5如图1，在△ABC中，

ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝

，求AB、BD的长；

（2）如图1，求证：

HF＝EF．

（3）如图2，连接CF、CE，猜想：

△CEF是否是等边三角形？

若是，请证明；若不是，请说明理由．

图1图2

例6如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；

（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．（

，结果保留一位小数）

图1

四、变式训练

如图，已知抛物线

与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．

（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．

②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？

若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

五、课后练习

如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，

）是抛物线上另一点．

（1）求a、b的值；

（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；

（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．