六年级同步第3讲分解素因数二教师版.docx
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六年级同步第3讲分解素因数二教师版
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：
几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；
最小公倍数：
几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2、最小公倍数的求法
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；
如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
例题解析
【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．
【难度】★
【答案】6；72．
【答案】
【解析】21824
3912
34
∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．
【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．
【难度】★
【答案】6；360．
【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；
所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例3】求下列各组数的最小公倍数．
（1）8和15；
（2）9和45；（3）19和21．
【难度】★
【答案】
（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；
（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；
（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．
【解析】
（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例4】若
，
，则m、n的最小公倍数为___________．
【难度】★
【答案】1260
【解析】m、n的最小公倍数是：
（2×3）×2×5×3×7=1260．
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例5】求10，12和15的最小公倍数．
【难度】★★
【答案】60
【解析】2101215
35615
5525
121
∴10、12、15的最小公倍数是：
2×3×5×1×2×1=60．
【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？
【难度】★★
【答案】105
【解析】设三个数为
．
则：
解得：
，这三个数是：
3，5，7．
∴3、5、7的最小公倍数是：
3×5×7=105．
【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．
师生总结
1、求最小公倍数的方法有哪些？
2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？
【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？
【难度】★★
【答案】4和36．
【解析】由已知得：
这两个数的最大公因数是4；
设这两个数是4a，4b（a、b互素），则
．
所以
．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．
即这两个数是9、36．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市
购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？
【难度】★★
【答案】42天
【解析】6与7的最小公倍数是42．
答：
再经过42天他们又会在同一天都去超市．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？
【难度】★★★
【答案】4，6，8
【解析】设这三个数是
；2
若n为奇数，则
是偶数，2
则：
解得：
，这三个数是4，6，8．
若n为偶数，则
是相邻奇数，
则：
此方程无解；
∴这三个数是4，6，8．
【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．
【例10】3月12日植树节，六
（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当
种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？
【难度】★★★
【答案】11棵
【解析】4×（31-1）=120米，而4与6的最小公倍数是12，
120÷12+1=11棵．
答：
有11棵树不需要移动．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【例11】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？
【难度】★★★
【答案】18人
【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．
答：
这个班的小朋友最多有18人．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？
（不考虑其他因素）
【难度】★★★
【答案】5人
【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．
答：
该车间至少安排5个人．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．
模块二：
最大公因数与最小公倍数综合
1、两数的最大公因数与最小公倍数的关系
已知数a和数b，两数的最大公因数为m，最小公倍数为n，则：
【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）48和18；
（2）27和81．
【难度】★
【答案】
（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144；
（2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81．
【解析】
（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，
（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数．
【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）4、8和12；
（2）15、75和90．
【难度】★
【答案】
（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24；
（2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450．
【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；
【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
【例15】如果甲数
，乙数
，那么甲数与乙数的最大公因数是________，
最小公倍数是_________．
【难度】★
【答案】6，210；
【解析】最大公因数是：
2×3=6；最小公倍数是：
（2×3）×5×7=210．
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．
【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？
【难度】★★
【答案】15
【解析】设另一个数是x，
则：
6x=3×30
解得：
x=15
答：
乙数是15．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例17】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．
（1）两个数的公倍数的个数是有限的．（）
（2）30是15和10的最小公倍数．（）
（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．（）
（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．（）
【难度】★★
【答案】
（1）×；
（2）√；（3）√；（4）√．
【解析】
（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；
（2）正确；
（3）正确；
（4）正确；
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例18】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？
【难度】★★
【答案】另一个数是36．
【解析】设另一个数是x，则：
28x=4×252．
解得：
x=36．
答：
乙数是36．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例19】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？
请用你所发现的规律接下面的问题：
（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？
（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？
【难度】★★
【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；
规律：
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
（1）15；
（2）15．
【解析】
（1）设另一个数是x，则：
6x=3×30
解得：
x=15答：
乙数是15．
（2）设另一个数是x，则：
18x=3×90
解得：
x=15答：
乙数是15．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【例20】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？
【难度】★★
【答案】120或66．
【解析】设这两个数是6a，6b（a、b互素），则：
6ab=144
∴ab=24=1×24=3×8；
当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：
6+144=120；
当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：
18+48=66；
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例21】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？
【难度】★★
【答案】20和28
【解析】设这两个数是4a，4b（a、b互素），则：
4ab=140．
∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数
∴a=5，b=7，这两个数是20、28．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例22】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？
【难度】★★★
【答案】26棵
【解析】1.5千米=1500米，
10与12的最小公倍数是60，
1500÷60+1=26棵．
答：
有26棵树不需要移动．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡
、
、
张．如果已知
、
、
的最小公倍数为60，
和
的最大公因数为4，
和
的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？
【难度】★★★
【答案】20或4．
【解析】设
（a，b，c为素数），则12abc=60．
所以abc=5=1×1×5．
（1）a=5，这三个数是20，12，3；
（2）b=5，这三个数是4，60，3；
（3）c=5，这三个数是4，12，151；
答：
张三发出的新年贺卡为20张或4张．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【例24】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：
三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？
（从起点出发后最近的一次相会）
【难度】★★★
【答案】15分钟
【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒；
60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟．
答：
15分钟后他们又在起点相会．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题1】如果数
能被数
整除，则
和
的最大公约数是______，最小公倍数是______．
【难度】★
【答案】b，a．
【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．
【习题2】自然数
的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）
【难度】★
【答案】等于
【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；
【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；
【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．
【难度】★
【答案】1；165．
【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．
【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．
【难度】★★
【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．
【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；
5940=2×2×3×3×3×5×11；
所以2520与5940的最大公因数是：
2×2×3×3×5=180；
最小公倍数是：
（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．
【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？
【难度】★★
【答案】15:
00
【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．
答：
那么下一次既响铃又亮灯在15:
00．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．
【难度】★★
【答案】34或14
【解析】因为33=1×33=3×11．
（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；
（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；
【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．
【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:
00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？
【难度】★★
【答案】15分钟
【解析】3与5的最小公倍数是15．
答：
至少再过15分钟它们又同时发车．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？
【难度】★★
【答案】7朵
【解析】因为96与72的最大公因数是24，
所以（96+72）÷24=7朵．
答：
每个花束里至少有7朵花．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？
【难度】★★
【答案】10棵
【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．
答：
最少需要种10棵树．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？
【难度】★★★
【答案】8572
【解析】由题意可知：
这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；
又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．
答：
这个自然数最小是8572．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，
那么这筐苹果最少应有多少个？
【难度】★★★
【答案】60个
【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．
答：
这筐苹果最少应有60个．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？
【难度】★★★
【答案】12天
【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．
答：
整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
课后作业
【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：
1与299（）12与36（）12与13（）
13与52（）10与14（）21与49（）
6与15（）22与66（）25与35（）
【难度】★
【答案】299；36；156；
52；70；147；
30；66；175；
【解析】略
【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法：
互素两数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；
成倍数的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；
一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法；
【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数．
【难度】★
【答案】6，90．
【解析】因为18=2×3×3；30=2×3×5；
所以18与30的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90；
【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数．
【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．
（1）36和84；
（2）12，15和18．
【难度】★
【答案】
（1）36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252；
（2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180．
【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得．
【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法：
【作业4】已知甲数
，乙数
，若甲、乙两数的最大公因数是42，求
的值．
【难度】★
【答案】2
【解析】由已知得：
甲数和乙数的最大公因数是：
3×7×A=42，
解得：
A=2．
【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．
【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数．
【难度】★★
【答案】20
【解析】设这两个数的最小公倍数是x，
则：
5x=100
解得：
x=20
答：
这两个数的最小公倍数是20．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？
【难度】★★
【答案】这两个数是420和294．
【解析】设这两个数是42a，42b（a、b互素），
则：
42ab=2940，42（a+b）=714．
∴ab=70，a+b=17
∴a=7，b=10，这两个数是420、294．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．
【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？
【难度】★★
【答案】42人
【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．
又学生人数在30～50之间，84=2×42．
答：
学生有42人．
【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．
【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？
【难度】★★
【答案】57
【解析】因为15与20的最小公倍数是60，
所以60－3=57．
答：
符合条件的数中最小的数是57．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？
【难度】★★
【答案】60个
【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，
所以60×9=540个．
答：
这筐苹果共有540个．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？
【难度】★★★
【答案】180米
【解析】60与45的最小公倍数是180．
答：
再过180米又有一根不动．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:
00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:
00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．
【难度】★★★
【答案】19:
20
【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．
（20-6）×60=840分钟
840÷80=10…40分钟
答：
该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:
00．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
【作业12】数23具有下列性质：
被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．
【难度】★★★
【答案】11
【解析】由题意可知：
这个自然数加1是2、3、4的公倍数；
又2、3、4的最小公倍数是12．
∴12-1=11
答：
这个自然数最小是11．
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．
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