集合的概念及其运算.docx
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集合的概念及其运算
1-11-1集合的概念及其运算
基础巩固
一、选择题
1.(文)(2012·四川文,1)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( )
A.{b}B.{b,c,d}
C.{a,c,d}D.{a,b,c,d}
[答案] D
[解析] 本题考查了集合的并集运算,
∵A={a,b},B={b,c,d},
∴A∪B={a,b,c,d},属容易题.
(理)(2012·陕西理,1)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )
A.(1,2)B.[1,2)
C.(1,2]D.[1,2]
[答案] C
[解析] 本题考查了对数不等式、一元二次不等式的解法与集合的运算.
M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2},
M∩N={x|12.(文)(2012·浙江文,1)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( )
A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}
C.{1,2,5}D.{1,2}
[答案] D
[解析] 本题考查了集合的交、补运算,由已知得
P∩(∁UQ)={1,2,3,4}∩{1,2,6}={1,2}.
(理)(2012·浙江理,1)设集合A={x|1A.(1,4)B.(3,4)
C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)
[答案] B
[解析] 本题考查了集合的运算.
x2-2x-3≤0,-1≤x≤3,
∴∁RB={x|x<-1或x>3}.
∴A∩(∁RB)={x|33.(文)已知全集U=R,且A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(∁UA)∩B等于( )
A.[-1,4)B.(2,3)
C.(2,3]D.(-1,4)
[答案] C
[解析] 解法1:
A={x|x>3或x<-1},B={x|2解法2:
验证排除法,取x=0,x∉B,故排除A、D.取x=3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁UA)∩B.排除B.
(理)已知函数f(x)=
的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N等于( )
A.{x|x>-1}B.{x|-1C.{x|x<1}D.∅
[答案] B
[解析] M={x|x<1},N={x|x>-1},
∴M∩N={x|-14.已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N=( )
A.{(1,1),(-1,1)}B.{1}
C.[0,1]D.[0,
]
[答案] D
[解析] ∵M=[0,+∞),N=[-
,
],
∴M∩N=[0,
],故选D.
[点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集.
5.(文)(2012·安徽文,2)设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=( )
A.(1,2)B.[1,2]
C.[1,2)D.(1,2]
[答案] D
[解析] 本题考查了不等式解法,函数定义域求法,集合中的交集运算.
由-3≤2x-1≤3知,-1≤x≤2,要使函数y=lg(x-1)有意义,须x-1>0,即x>1,∴集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x>1},∴A∩B={x|1(理)若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )
A.A⊆CB.C⊆A
C.A≠CD.A=∅
[答案] A
[解析] 考查集合的基本概念及运算.
∵B∩C⊆B⊆A∪B,A∪B=B∩C⊆B,
∴A∪B=B,B∩C=B,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C,选A.
6.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=
,x>2},则∁UP=( )
A.[
,+∞)B.(0,
)
C.(0,+∞)D.(-∞,0]∪[
,+∞)
[答案] A
[解析] 本题考查函数值域求解及补集运算.
∵U={y|y=log2x,x>1}=(0,+∞),
P={y|y=
,x>2}=(0,
),
∴∁UP=[
,+∞).
二、填空题
7.若集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则A∩Z中有________个元素.
[答案] 6
[解析] 由(x-1)2<3x+7得x2-5x-6<0,
∴A=(-1,6),因此A∩Z={0,1,2,3,4,5},共有6个元素.
8.(2012·九江模拟)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为________.
[答案] 4
[解析] 本小题主要考查了集合的并集运算.
∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},
∴
∴a=4.
三、解答题
9.已知集合A={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},B={x|x2+4x=0},若A∪B=B,求实数a的取值范围.
[分析] 由A∪B=B,可以得出A⊆B,
而A⊆B中含有特例A=∅,应注意.
[解析] 由x2+4x=0得:
B={0,-4},由于A∪B=B,
(1)若A=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1.
(2)若A≠∅,则0∈A或-4∈A,
当0∈A时,得a=±1;当-4∈A,得a=1或a=7;
但当a=7时A={-4,-12},此时不合题意.
故由
(1)
(2)得实数a的取值范围是:
a≤-1或a=1.
能力提升
一、选择题
1.(文)(2012·辽宁文,2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)( )
A.{5,8}B.{7,9}
C.{0,1,3}D.{2,4,6}
[答案] B
[解析] 本题考查了集合的补集、交集运算.
由已知可得∁UA={2,4,6,7,9},∁UB={0,1,3,7,9},
∴(∁UA)∩(∁UB)={7,9}.
(理)(2012·全国大纲理,2)已知集合A={1,3,
},B={1,m},A∪B=A,则m=( )
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3
[答案] B
[解析] 本小题主要考查了集合的概念和集合的并集运算,集合间的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用,同时考查了分类讨论思想.∵A∪B=A,∴B⊆A,又A={1,3
},B={1,m},m∈A,即有m=3或m=
,
∴m=0,m=3,m=1(舍),故选B.
2.(文)设全集为U,集合A、B是U的子集,定义集合A与B的运算:
A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉(A∩B)},则(A*B)*A等于( )
A.AB.B
C.(∁UA)∩BD.A∩(∁UB)
[分析] 本题考查集合新运算的理解,在韦恩图中,先画出A*B所表示的部分,再画出(A*B)*A表示的部分.
[答案] B
[解析] 画一个一般情况的韦恩图,如图所示,由题目的规定,可知(A*B)*A表示集合B.
(理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若M⊆P,则M中的运算“⊕”是( )
A.加法 B.除法
C.乘法D.减法
[答案] C
[解析] 因为M⊆P,所以只有奇数乘以奇数还是奇数,所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算,选C.
二、填空题
3.(文)A={(x,y)|x2=y2},B={(x,y)|x=y2},则A∩B=______.
[答案] {(0,0),(1,1),(1,-1)}.
[解析] A∩B=
={(0,0),(1,1),(1,-1)}.
(理)已知集合A={x||x-a|≤1},B={x2-5x+4≥0},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________.
[答案] (2,3)
[解析] B中,x2-5x+4≥0,∴x≥4或x≤1.
又∵A中|x-a|≤1,∴a-1≤x≤1+a.
∵A∩B=∅,∴a+1<4且a-1>1,∴24.(文)设全集U=A∪B={x∈N+|lgx<1},若A∩∁UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=________.
[答案] {2,4,6,8}
[解析] A∪B={x∈N+|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩∁UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}.
(理)设全集U=R,A={x|
>0},∁UA=[-1,-n],则m2+n2等于________.
[答案] 2
[解析] 由∁UA=[-1,-n],知A=(-∞,-1)∪(-n,+∞),即不等式
>0的解集为(-∞,-1)∪(-n,+∞),所以-n=1,-m=-1,因此m=1,n=-1,
故m2+n2=2.
三、解答题
5.(文)设a,b∈R,集合
={a2,a+b,0},求a2014+b2014的值.
[解析] 由已知得a≠0,
∴
=0,即b=0.
又a≠1,∴a2=1,∴a=-1.
∴a2014+b2014=(-1)2014=1.
(理)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.
(1)9∈(A∩B);
(2){9}=A∩B.
[解析]
(1)∵9∈(A∩B),
∴9∈A且9∈B,
∴2a-1=9或a2=9,
∴a=5或a=-3或a=3,
经检验a=5或a=-3符合题意.
∴a=5或a=-3.
(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A且9∈B,
由
(1)知a=5或a=-3
当a=-3时,A={-4,-7,9},
B={-8,4,9},
此时A∩B={9},
当a=5时,A={-4,9,25},
B={0,-4,9},
此时A∩B={-4,9},不合题意.
综上知a=-3.
6.(文)(2013·郑州模拟)设集合A={x|x2<4},B=
.
(1)求集合A∩B;
(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集是B,求a,b的值.
[解析] A={x|x2<4}={x|-2B=
=
={x|-3(1)A∩B={x|-2(2)∵2x2+ax+b<0的解集为B={x|-3∴-3和1为方程2x2+ax+b=0的两根,
∴
∴a=4,b=-6.
(理)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x2-3x≤10}.
(1)若a=3,求(∁RP)∩Q;
(2)若P⊆Q,求实数a的取值范围.
[解析]
(1)因为a=3,所以P={x|4≤x≤7},
∁RP={x|x<4或x>7}.
又Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},
所以(∁RP)∩Q={x|x<4或x>7}∩{x|-2≤x≤5}
={x|-2≤x<4}.
(2)若P≠∅,由P⊆Q,
得
解得0≤a≤2;
当P=∅,即2a+1综上,实数a的取值范围是(-∞,2].
7.已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)·(x-3a)<0}.
(1)若A⊆B,求a的取值范围;
(2)若A∩B=∅,求a的取值范围;
(3)若A∩B={x|3[解析] ∵A={x|x2-6x+8<0},
∴A={x|2(1)当a>0时,B={x|a应满足
⇒
≤a≤2,
当a<0时,B={x|3a应满足
⇒a∈∅,
∴A⊆B时,
≤a≤2.
(2)要满足A∩B=∅,
当a>0时,B={x|aa≥4或3a≤2,
∴0或a≥4;
当a<0时,B={x|3a,
∴a<0时成立;验证知当a=0时也成立.
综上所述,a≤
或a≥4时,A∩B=∅.
(3)要满足A∩B={x|30且a=3时成立,
∵此时B={x|3而A∩B={x|3故所求a的值为3.