3、相关定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
三角形的三个顶点确定一个圆.经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做这个三角形的外心;这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
如果一个圆经过一个多边形的各顶点,那么这个圆叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形.
例题解析
a2
a
【例1】在平面直角坐标系内,A(-3,-tan30︒),B(,0),A的半径为4,
试说明点B与A的位置关系.
【例2】过一个点可以画个圆,过两个点可以画个圆,过三个点可以画
个圆.
【例3】已知,如图,在O中,AB、BC为弦,OC交AB于点D.
求证:
(1)∠ODB>∠OBD;
(2)∠ODB>∠OBC.
O
B
AD
C
O
l
H
【例4】如图,O的半径为15,O到直线l的距离OH=9,A、B、C为直线l上的三个点,AH=9,QH=12,RH=15,请分别说明点A、B、C与O的位置关系.
【例5】若A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,求a的值.
【例6】如图,作出AB所在圆的圆心,并补全整个圆.
A
B
【例7】如图,CD是半圆的直径,O是圆心,E是半圆上一点,且∠EOD=45︒,A是
DC延长线上一点,AE与半圆交于B,若AB=OC,求∠EAD的度数.
E
B
D
O
C
A
【例8】已知,如图,AB是O的直径,半径OC⊥AB,过OC的中点D作EF//AB.
求证:
∠ABE=1∠CBE.
2
C
EDF
AOB
【例9】已知:
AB是O的直径,点P是OA上任意一点,点C是O上任意一点.求证:
PA≤PC≤PB.
模块二:
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
知识精讲
1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念
圆心角:
以圆心为顶点的角叫做圆心角;
弧:
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧;
弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦就是直径;弦心距:
圆心到弦的距离叫做弦心距.
2、半圆、优弧、劣弧
C
A
O
B
半圆:
圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.优弧:
大于半圆的弧叫做优弧.
劣弧:
小于半圆的弧叫做劣弧.
如图,以A、C为端点的劣弧记作AC,读作“弧AC”;以A、C为端点的优弧记作ABC,读作“弧ABC”.
3、等弧和等圆
能够重合的两条弧称为等弧,或者说这两条弧相等.若AB与A'B'是等弧,记作
AB=A'B'.
半径相等的两个圆一定能够重合,我们把半径相等的两个圆称为等圆.
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等,那么它们所对应的其余三组量也分别相等.
例题解析
【例10】下列命题中真命题的个数是()
○1相等的圆心角所对的弧也相等;
○2在同圆中,如果两条弦相等,那么所对的弧也相等;
○
3A、B是O上任意两点,则AO+BO等于O的直径长;
○4三角形的外心到三角形三边的距离相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【例11】一条弦把圆分成1:
3两部分,则弦所对的圆心角为°.A
【例12】如图,在O中,AB=AC,∠B=70︒,则∠BAC=.
O
BC
A
O
C
B
D
【例13】如图,已知O的半径是6,∠BOD=30︒,BD=BC,CD=.
【例14】如图,O1和
O2是等圆,P是O1O2的中点,过点P作直线AD交
O1于点A、
B,交
O2于点C、D.
D
C
BP
A
求证:
AB=CD.
A
D
E
O
C
B
【例15】已知,如图,AB、CD是O的直径,弦AE//CD,联结CE、BC.求证:
BC=CE.
【例16】如图,O是∆ABC的外接圆,AO平分∠BAC,∠AOB=∠BOC,判断∆ABC
的形状,并说明理由.A
O
BC
C
D
A
M
ON
B
【例17】已知,如图,AB是O直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB.求证:
AC=BD.
【例18】如图,以点O为圆心的圆弧上依次有四个点A、B、C、D,且∠AOB
O
A
D
B
C
求证:
四边形ABCD是等腰梯形.
=∠COD.
模块三:
垂径定理
知识精讲
1、垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧.
2、相关结论
(1)如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧.
(2)如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.
(3)如果一条直线是弦的垂直平分线,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.
(4)如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦.
(5)如果一条直线垂直于弦,并且平分弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦.
总结:
在圆中,对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中,如果有两组关系成立,那么其余两组关系也成立.
例题解析
【例19】O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长为.
【例20】在半径为2的O中,弦AB的长为22,则弦AB所对的圆心角∠AOB=°.
【例21】如图,O是∆ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高CD上,点E和点F
C
E
O
F
A
D
B
分别是边AC和BC的中点.求证:
四边形CEDF是菱形.
【例22】如图,一根横截面为圆形的输水管道,阴影部分为有水部分,此时水面宽AB
为0.6米,污水深CD为0.1米,求圆形的下水管道的直径.
O
A
D
B
C
【例23】如图,在O中,弦CD、EF的延长线相交于点P,G、H分别是CD、EF的
CG
Q
OD
E
R
F
P
H
中点,GH与PC、PE分别相交于Q、R两点,试判断∆PQR的形状,并证明所得到的结论.
【例24】如图,P是O的弦AB的中点,PC⊥OA,垂足为C,求证:
PAPB=ACAO.
B
P
A
C
O
O
B
C
A
【例25】位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小智和小方沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长240米,A到BC的距离为5米,如图所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.
【例26】如图,弦CD垂直于O的直径AB,垂足为H,且CD=22,BD=3,则
AB的长为.C
B
H
O
D
A
3
3
【例27】已知O的半径r=4,AB、CD为O的两条弦,AB、CD的长分别是方程
x2-(4
+4)x+16
=0的两根,其中AB>CD,且AB//CD,求AB与CD间
的距离.
【例28】已知,如图,
O1与
O2交于A、B,过A的直线分别交
O1与
O2于M、N,
B
P
N
C
A
M
C是MN的中点,P是O1O2的中点.
3
【例29】如图,已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为
E,AE=EC,AB=
2AE,且BD=2
,求四边形ABCD的面积.
A
B
D
E
O
C
【例30】如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90︒,点C是弧AB上的一个动点
(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)在∆DOE中是否存在长度保持不变的边?
如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由.
B
D
C
E
O
A
(2)设BD=x,∆DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
随堂检测
【习题1】已知
半径为5,若点P不在
上,则线段OP的取值范围为
O
O
.
【习题2】如图,AB是直径,BC=CD=DE,∠BOC=40︒,则∠AOE=.
ED
C
AOB
【习题3】如图,为方便三个村庄居民子女的上学问题,上级镇政府决定在A、B、
B
C三个村庄旁边造一所学校,要求它到各村庄的距离相等,请你在图中画出学校的位置.(保留作图痕迹)
A
C
A
C
EF
O
BD
【习题4】如图,AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,∠OEF=25︒,求∠EOF的度数.
A
D
B
E
C
【习题5】如图,在∆ABC中,∠B=90︒,∠A=60︒,以点B为圆心,AB为半径画圆,交AC于点D,交BC于点E.求证:
(1)AD=2DE;
(2)D是AC的中点.
AOB
D
C
E
【习题6】如图,AB为O直径,E为BC的中,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=.
C
E
F
O
D
【习题7】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的CD),点O是CD的圆心,其中CD=600米,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90米,求这段弯路的半径.
A
O
B
C
【习题8】如图,在∆ABC中,∠A=70︒,O截∆ABC的三边所得的弦长都相等,求∠BOC的度数.
【习题9】已知,如图,∆ABC是等边三角形,AB是O的直径,AE=EF=FB,
C
A
M
N
O
B
E
F
CE、CF交AB于点M、N.求证:
AM=MN=NB.
【习题10】如图,AB为O的直径,CD为弦,过点C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于点N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由.
M
B
A
N
O
C
D
课后作业
【作业1】在下列命题中,正确的个数是()
○1圆心角相等,则它们所对的弦必相等;
○2经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆;
○3直径平分弦,则必垂直于弦;
○4如果同圆中,两条弦互相平分,那么这两条弦都是直径.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【作业2】在∆ABC中,∠C=90︒,D、E分别是AB、AC的中点,AC=7,BC=4.若以点C为圆心,BC为半径作圆,判断点D、E与C的位置关系.
【作业3】已知直线a和直线外两点A、B,经过A、B作一圆,使它的圆心在直线a
B
上.
A
a
【作业4】已知O外一点A和圆上的点最大距离为23厘米,最小距离为10厘米,则O的半径为厘米.
【作业5】如图,在O中,2AB=BC,试确定AB与2BC的大小关系.
B
A
O
C
DE
FC
AG
O
B
【作业6】如图,矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G、B、F、E,GB=8厘米,AG=1厘米,DE=2厘米,则EF=厘米.
P
【作业7】已知点A(1,0),B(4,0),P是经过A、B两点的一个动圆,当与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为3时,求圆心P的坐标.
C
B
A
P
O
【作业8】已知,如图,在O中,弦AB的长是半径OA的3倍,C为AB的中点,
AB、OC相交于P.
求证:
四边形OACB为菱形.
C
A
P
O
B
D
E
F
【作业9】已知:
过圆O内一点P作弦AB、CD,且AB=CD,在BD上取两点E、F,且BE=DF.
求证:
直线PO是EF的垂直平分线.
【作业10】如图,
O1与
O2交于A、B,M为O1O2的中点,过点A作EF⊥AM分
别交O1与
O2于点E、F.若∠O1AO2=90︒,AO1
AO2=O1O2=m(m≥2),
求EF的长.
B
M
F
A
E