江苏省宜兴市环科园联盟届九年级数学上学期期中试题.docx

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江苏省宜兴市环科园联盟届九年级数学上学期期中试题

江苏省宜兴市环科园联盟2018届九年级数学上学期期中试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号写在答题卷的相应位置上．

1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．x2+2x=x2﹣1B．ax2+bx+c=0C．x（x﹣1）=1D．3x2﹣2xy﹣5y2=0

2.一元二次方程x2﹣x+1=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．无实数根

C．两个实数根的和与积都等于1D．有两个不相等的实数根

3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）

A．6B．5C．4D．3

4.已知⊙O的半径为r=5，点P和圆心O之间的距离为d，且d是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣16=0的实数根．则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．在圆上B．在圆内C．在圆外D．不能确定

5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）

A．2

cmB．

cmC．

cmD．1cm

6.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　）

A．1000（1+x）2=1000+440B．1000（1+x）2=440

C．440（1+x）2=1000D．1000（1+2x）=1000+440

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

A．相离B．相切C．相交D．相切或相交

8．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：

DC=5：

3，则DE的长等于（　　）

A．

B．

C．

D．

9.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　　）

A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°

10.如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）

A．等于4

B．等于4

C．等于6D．随P点位置的变化而变化

二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）

11．已知

=

，则

=　　．

12.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为　　．

第15题

13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　．

14.如图AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA的度数是　　．

15．如图，⊙O中，BC为直径，AB切⊙O于B点，连AC交⊙O于D，若CD＝2，AB=

，则BC=  　　．

16．如图，AC与AB切⊙O于C、B两点，过BC弧上一点D作⊙O切线交AC于E，交AB于F，若EF⊥AB，AE=5，EF=4，则BF=   _．

第18题

17．如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x﹣2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a的取值范围是　　．

18．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是　．

三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本题满分12分）解方程：

（1）3y（y﹣1）=2（y﹣1）

（2）（x﹣1）（x+2）=70（3）2y2﹣3=4y

20．（本题满分6分）小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：

如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？

（注意：

根据光的反射定律：

反射角等于入射角）．

21．（本题满分6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

22．（本题满分8分） 已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、

O（0，0）四点，一次函数y=﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．

（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为　　；

（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的格点P有　　个，试写出其中一个点P坐标为　　．

23．（本题满分6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：

AE⊥CD；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

24．（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线BC于点D，E是AC上一点，DE=DB，以D为圆心，DC为半径作⊙D

（1）求证：

AB是⊙D的切线；

（2）求证：

AC+CE=AB．

25.（本题满分8分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

26．（本题满分10分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．

（1）求证：

AB=AC．

（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

27．（本题满分10分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：

先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程

证明：

延长线段EF交CB的延长线于点G．

∵F是BD的中点，

∴BF=DF．

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴ED∥CG．

∴∠BGF=∠DEF．

又∵∠BFG=∠DFE，

∴△BGF≌△DEF（　　）．

∴EF=FG．

∴CF=EF=

EG．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．

（2）在

（1）探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，求

的值．

28．（本题满分10分）如图1，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．

（1）求证：

△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

图1备用图

初三年级数学学科期中试卷答案

一．选择题（共10小题）

1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（C　　）

2．一元二次方程x2﹣x+1=0的根的情况是（　B　）

3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　B　）

4．已知⊙O的半径为r=5，点P和圆心O之间的距离为d，且d是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣16=0的实数根．则点P与⊙O的位置关系是（　C　）

5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　A　）

A．2

cmB．

cmC．

cmD．1cm

6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　A　）

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（B　　）

8．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：

DC=5：

3，则DE的长等于（D）

9．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（　C　）

10．如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　C　）

二、填空题（每空2分共16分）

11.

12．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（　

．　）

13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞

且k≠1　．

14．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=67.5°　

15．如图，⊙O中，BC为直径，AB切⊙O于B点，连AC交⊙O于D，若CD＝2，AB=

，则BC=  　

　．

16．如图，AC与AB切⊙O于C、B两点，过BC弧上一点D作⊙O切线交AC于E，交AB于F，若EF⊥AB，AE=5，EF=4，则BF=  3 _．

17．如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x﹣2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a的取值范围是　1﹣

≤a≤1+

　．

18.．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是　1．　

三．解答题（共10小题）

19．每小题4分共12分）

（1）3y（y﹣1）=2（y﹣1）

（2）（x﹣1）（x+2）=70（3）2y2﹣3=4y

（1）y1=1，y2=

；

（2）∴x1=﹣9，x2=8；（3）y1=1+

，y2=1﹣

．

20．（6分）．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：

如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？

（注意：

根据光的反射定律：

反射角等于入射角）．

【解答】解：

根据题意可得：

∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，（2分）

∴

，∴

，（2分）

∴AB=13.44（米）．（1分）

答：

教学大楼的高度AB是13.44米．（1分）

21.（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

【解答】

（1）证明：

∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，

∴方程总有两个实数根．（3分）

（2）解：

∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，

∴x1=2，x2=k+1．（2分）

∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：

k＜0，∴k的取值范围为k＜0．（1分）

22．（8分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、

O（0，0）四点，一次函数y=﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．

（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为　　；

（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有　　个，试写出其中一个点P坐标为　　．

【解答】

（1）先在坐标系中找到A（﹣4，2），B（﹣3，3），

C（﹣1，﹣1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点．

一次函数y=﹣x﹣2，当x=0时，y=﹣2；

当y=0时，x=﹣2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线．

即是一次函数y=﹣x﹣2的图象．（2分）

该直线与圆的交点是点A、C，它们的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；

故答案是：

（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；（2分）

（2）作AD的垂直平分线，与圆的交点是所求的坐标（根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等），以点D为圆心，以DA为半径画弧，弧与⊙O1的交点是A点和P3点，从图中可以看出这样的点有三个坐标，可求的其中一个是（﹣3，﹣1）或（0,2）．

故答案是：

2，（﹣3，﹣1）．（4分）

　23．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：

AE⊥CD；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

证明：

连接OA．

∵AE是⊙O切线，

∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，

∴∠EAD+∠OAD=90°，

∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，

∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2分）

（2）解：

过点O作OF⊥CD，垂足为点F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四边形AOFE是矩形．（2分）

∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=

CD=3cm．

在Rt△ODF中，OD=

=5cm，即⊙O的半径为5cm．（2分）

24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线BC于点D，E是AC上一点，DE=DB，以D为圆心，DC为半径作⊙D

（1）求证：

AB是⊙D的切线；

（2）求证：

AC+CE=AB；

【解答】

（1）证明：

过点D作DF⊥AB于F；

∵∠ACB=90°∴AC⊥BC

∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，

∴DC=DF∴AB是⊙D的切线；（4分）

（2）证明：

在RT△CDE和RT△DBF中；

∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），∴EC=FB．

∵AC=AF，∴AC+EC=AF+FB，即AC+CE=AB．（4分）

25．（8分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【解答】解：

（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，

根据题意得：

﹣

=4

解得：

x=2000，（2分）

经检验，x=2000是原方程的解，（1分）

答：

该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（1分）

（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，

（20﹣3a）（8﹣2a）=56（2分）

解得：

a=2或a=

（不合题意，舍去）．（1分）

答：

人行道的宽为2米．（1分）

26．（10分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．

（1）求证：

AB=AC．

（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

【解答】

（1）证明：

∵AD、AE是⊙O的切线，

∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（3分）

（2）解：

如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，

∵四边形DFGE是矩形，∴∠DFG=90°，∴DG是⊙O直径，

∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵OD=OE，OE⊥AC，∵OD=OE．∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，

∴AN⊥BC，BN=

BC=6，在RT△ABN中，AN=

=

=8，

∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO=∠ANB=90°，

∵∠OAD=∠BAN，∴△AOD∽△ABN，（2分）

∴

=

，即

=

，

∴AD=

r，∴BD=AB﹣AD=10﹣

r，（2分）

∵OD⊥AB，∴∠GDB=∠ANB=90°，

∵∠B=∠B，∴△GBD∽△ABN，∴

=

，即

=

，

∴r=

，∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为

．（3分）

27．（10分）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：

先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下

【解答】解：

（1）①由题意作图如图1所示图形，（2分）

②证明：

延长线段EF交CB的延长线于点G．

∵F是BD的中点，∴BF=DF．

∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG．∴∠BGF=∠DEF．

又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（ASA）．∴EF=FG．∴CF=EF=

EG．

故答案为ASA；（2分）

（2）如图3，延长BA，DE相交于点F，

∵∠BAC=60°，∴∠EAH=60°=∠EAD，

∵∠AED=90°，∴∠H=30°，EH=DE，

由

（1）②知，△BGF≌△DEF，∴DE=BG，∴EH=BG，

∵DE∥BG，∴四边形BGEH是平行四边形，∠DEF=∠H=30°，∴∠CEF=∠AED﹣∠DEF=60°，∵CF=EF，∴△CEF是等边三角形；（3分）

（3）如图2，延长EF至G使，FG=EF，∵点F是BD的中点，∴DF=BF，

∵∠DFE=∠BFG，∴△DEF≌△BGF（SAS），∴BG∥DP，∴∠P+∠CBG=180°，

在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°，

根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°，∴∠CAE=∠CBG，

在Rt△ADE中，∠DAE=60°，

=

，

，

同理：

，∴

，∵∠CBG=∠CAE，∴△BCG∽△ACE，

∴∠BCG=∠ACE，∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，

在Rt△CEG中，EF=GF，∴CF=EF=

EG，

∵△BCG∽△ACE，∴∠CEG=60°∴△CEF是等边三角形∴

=1（3分）

28．（10分）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．

（1）求证：

△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

【解答】

（1）证明：

如图1中，

在△AOB和△AOC中，

，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．（3分）

（2）如图2中，

∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，

在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=

OA=

，

∴AD=

=

，∴BC=AC=2AD=

．（3分）

（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．

∵△DAO∽△DBA，∴

=

=

，∴

=

=

，∴AD=

，AB=

，

∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1•S3，

∵S2=

AD•OH，S1=S△OAC=

•AC•OH，S3=

•CD•OH，

∴（

AD•OH）2=

•AC•OH•

•CD•OH，∴AD2=AC•CD，

∵AC=AB．CD=AC﹣AD=

﹣

，

∴（

）2=

•（

﹣

），

整理得x2+x﹣1=0，

解得x=

或

，（3分）

经检验：

x=

是分式方程的根，且符合题意，

∴OD=

．（1分）