泰勒公式及其妙用.docx

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泰勒公式及其妙用

泰勒公式及其妙用

学号：

班级：

1公式形式

泰勒公式可以用（无限或者有限）若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点（或者加上在临近的一个点的

次导数）的导数求得对于正整数n，若函数

在闭区间

上

阶连续可导，且在

上

阶可导。

任取一

是一定点，则对任意

成立下式：

其中

表示

的n阶导数，多项式称为函数

在a处的泰勒展开式，剩余的

是泰勒公式的余项，是

的高阶无穷小。

2公式的余项

可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里n阶导数存在

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1）。

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

以上诸多余项事实上很多是等价的。

3公式推广

1麦克劳林展开

函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若

在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中

表示

的n阶导数。

2泰勒中值定理

若

在包含

的某开区间（a，b）具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）时，有：

其中

是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：

4公式应用

实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。

泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面：

1幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

在这里着重介绍泰勒公式在求极限中的应用，以下为常用函数的泰勒展开式。

由上面几个例题可以看出泰勒公式可以在我们求极限的过程中为我们带来许多方便使许多复杂的极限问题简单化，当然泰勒公式的妙用还有很多，由于所学有限，就不在此一一列举了，仅以以上一个与现阶段学习相关的极限问题为代表。

参考资料：

《利用泰勒公式求极限》法国