初中中几何经典题.docx
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初中中几何经典题
初中几何经典题
一、解答题(共20小题,满分0分)
1.已知:
如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:
CD=GF.(初二)
2.已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:
△PBC是正三角形.(初二)
3.如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.
求证:
四边形A2B2C2D2是正方形.
4.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:
∠DEN=∠F.
5.已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=60°,求证:
AH=AO.(初二)
6.设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ.(初二)
7.如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ.(初二)
8.如图,分别以△ABC的边AC、BC为一边,在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:
点P到AB的距离是AB的一半.
9.如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:
CE=CF.
10.如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:
AE=AF.(初二)
11.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:
PA=PF.(初二)
12.如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:
AB=DC,BC=AD.
13.已知:
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.
求:
∠APB的度数.(初二)
14.设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:
∠PAB=∠PCB.
15.设ABCD为圆内接凸四边形,求证:
AB•CD+AD•BC=AC•BD.
16.平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AE=CF.求证:
∠DPA=∠DPC.(初二)
17.设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
≤L<2.
18.已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
19.P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
20.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=30°,∠EBA=20°,求∠BED的度数.
初中几何经典题
参考答案与试题解析
一、解答题(共20小题,满分0分)
1.已知:
如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.
求证:
CD=GF.(初二)
考点:
相似三角形的判定与性质;圆周角定理.菁优网版权所有
分析:
首先根据四点共圆的性质得出GOFE四点共圆,进而求出△GHF∽△OGE,再利用GH∥CD,得出==,即可求出答案.
解答:
证明:
作GH⊥AB,连接EO.
∵EF⊥AB,EG⊥CO,
∴∠EFO=∠EGO=90°,
∴G、O、F、E四点共圆,
所以∠GFH=∠OEG,
又∵∠GHF=∠EGO,
∴△GHF∽△OGE,
∵CD⊥AB,GH⊥AB,
∵GH∥CD,
∴==,
又∵CO=EO,
∴CD=GF.
点评:
此题主要考查了相似三角形的判定以及其性质和四点共圆的性质,根据已知得出GOFE四点共圆是解题关键.
2.已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=15°.求证:
△PBC是正三角形.(初二)
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
在正方形内做△DGC与△ADP全等,根据全等三角形的性质求出△PDG为等边,三角形,根据SAS证出△DGC≌△PGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根据等边三角形的判定求出即可.
解答:
证明:
∵正方形ABCD,
∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,
∵∠PAD=∠PDA=15°,
∴PA=PD,∠PAB=∠PDC=75°,
在正方形内做△DGC与△ADP全等,
∴DP=DG,∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°,
∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°,
∴△PDG为等边三角形(有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形),
∴DP=DG=PG,
∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°,
∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC,
在△DGC和△PGC中
,
∴△DGC≌△PGC,
∴PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=15°,
同理PB=AB=DC=PC,
∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°,
∴△PBC是正三角形.
点评:
本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是正确作出辅助线,又是难点,题型较好,但有一定的难度,对学生提出了较高的要求.
3.如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.
求证:
四边形A2B2C2D2是正方形.
考点:
正方形的判定;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
连接BC1和AB1分别找其中点F,E,连接C2F与A2E并延长相交于Q点,根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2,EB2=FC2,然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2,然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等,根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2,再根据角的关系推出得到∠A2B2C2=90°,从而得到A2B2与B2C2垂直且相等,同理可得其它边也垂直且相等,所以四边形A2B2C2D2是正方形.
解答:
证明:
如图,连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,
连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,
由A2E=A1B1=B1C1=FB2,EB2=AB=BC=FC2,
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°,
∴所以∠GEB2=∠GFQ,
∴∠B2FC2=∠A2EB2,
可得△B2FC2≌△A2EB2,
所以A2B2=B2C2,
又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2,
从而可得∠A2B2C2=90°,
同理可得其它边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.
点评:
本题主要考查了正方形的性质与判定,三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,综合性较强,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
4.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:
∠DEN=∠F.
考点:
三角形中位线定理.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
连接AC,作GN∥AD交AC于G,连接MG,根据中位线定理证明MG∥BC,且GM=BC,根据AD=BC证明GM=GN,可得∠GNM=∠GMN,根据平行线性质可得:
∠GMF=∠F,∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F.
解答:
证明:
连接AC,作GN∥AD交AC于G,连接MG.
∵N是CD的中点,且NG∥AD,
∴NG=AD,G是AC的中点,
又∵M是AB的中点,
∴MG∥BC,且MG=BC.
∵AD=BC,
∴NG=GM,
△GNM为等腰三角形,
∴∠GNM=∠GMN,
∵GM∥BF,
∴∠GMF=∠F,
∵GN∥AD,
∴∠GNM=∠DEN,
∴∠DEN=∠F.
点评:
此题主要考查平行线性质,以及三角形中位线定理,关键是证明△GNM为等腰三角形.
5.已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.
(1)求证:
AH=2OM;
(2)若∠BAC=60°,求证:
AH=AO.(初二)
考点:
三角形的外接圆与外心;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
(1)过O作OF⊥AC,于F,则F为AC的中点,连接CH,取CH中点N,连接FN,MN,得出平行四边形OMNF,即可得出答案.
(2)根据圆周角定理求出∠BOM,根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可.
解答:
证明:
(1)
过O作OF⊥AC,于F,
则F为AC的中点,
连接CH,取CH中点N,连接FN,MN,
则FN∥AD,AH=2FN,MN∥BE,
∵AD⊥BC,OM⊥BC,BE⊥AC,OF⊥AC,
∴OM∥AD,BE∥OF,
∵M为BC中点,N为CH中点,
∴MN∥BE,
∴OM∥FN,MN∥OF,
∴四边形OMNF是平行四边形,
∴OM=FN,
∵AH=2FN,
∴AH=2OM.
(2)证明:
连接OB,OC,
∵∠BAC=60°,
∴∠BOC=120°,
∴∠BOM=60°,
∴∠OBM=30°,
∴OB=2OM=AH=AO,
即AH=AO.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点,题目综合性较强,有一定的难度,但题型较好,难点是如何作辅助线.
6.设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ.(初二)
考点:
圆周角定理;垂线;平行线的性质;全等三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;轴对称的性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
作E点关于GA的对称点F,连FQ、FA,FC,根据轴对称和平行线性质推出∠FAP=∠EAQ,∠EAP=∠FAQ,FA=EA,求出∠FCQ=∠FAQ,推出FCAQ四点共圆,推出∠PEA=∠QFA,根据ASA推出△PEA和△QFA全等即可.
解答:
证明:
作E点关于GA的对称点F,连FQ、FA,FC,
∵OA⊥MN,EF⊥OA,
则有∠FAP=∠EAQ,∠EAP=∠FAQ,FA=EA,
∵E,F,C,D共圆
∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°﹣∠FCD,
∵∠PAF=180﹣∠FAQ,
∴∠FCD=∠FAQ,
∴FCAQ四点共圆,
∠AFQ=∠ACQ=∠BED,
在△EPA和△FQA中
,
∴△EPA≌△FQA,
∴AP=AQ.
点评:
本题综合考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,轴对称的性质,圆内接四边形的性质,圆周角定理,垂线等知识点,解此题的关键是求出∠AEP=∠AFQ,题型较好,有一定的难度,通过做题培养了学生分析问题的能力,符合学生的思维规律,