二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语.docx
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二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语
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函数解题思路方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数
中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的
点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就
是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式
和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好
一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：
等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和
点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三
角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的
最大值，并求此时E点的坐标．
注意：
第
（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为
顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M
为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平
分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方
法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
07
08
09
动点个数
两个
一个
两个
问题背景
特殊菱形两边上移动
特殊直角梯形三边
上移动
抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函
数关系式
探究等腰三角形
①菱形性质
①求直线解析式
①求抛物线顶点坐标
②特殊角三角函数
②四边形面积的表
②探究平行四边形
考
③求直线、抛物线解析式
示
③探究动三角形面积是定
④相似三角形
③动三角形面积函
值
点
⑤不等式
数④矩形性质
④探究等腰三角形存在性
①菱形是含60°的特殊菱形；
①观察图形构造特
①直角梯形是特殊的（一底
△AOB是底角为30°的等腰三
征适当割补表示面
角是45°）
角形。
积
②点动带动线动
②一个动点速度是参数字母。
②动点按到拐点时
③线动中的特殊性（两个交
③探究相似三角形时，按对应角
间分段分类
点D、E是定点；动线段PF
特
不同分类讨论；先画图，再探究。
③画出矩形必备条
长度是定值，PF=OA）
④通过相似三角形过度，转化相
件的图形探究其存
④通过相似三角形过度，转
似比得出方程。
在性
化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式
⑤探究等腰三角形时，先画
点
求出a、t的值。
图，再探究（按边相等分类
讨论）
共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是
A（4，0），B（
2，0），E（0，8）．
（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交
于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形
MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位
的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，
点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向
上运动，直到点
A与点
D重合为止．求出四边形
MDNA
的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形
MDNA能否形成矩形？
若能，求出此时
t的值；若不能，请说
明理由．
[解]
（1）点A（4，0），点B（2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），
F（0，8）．
设抛物线C2的解析式是
yax2
bx
c（a
0），
16a
4b
c
0，
则4a
2b
c
0，
c
8．
a
1，
解得b
6，
c
8．
所以所求抛物线的解析式是
y
x2
6x8．
（2）由
（1）可计算得点
M（3，1），N（31），．
过点N作NH
AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD
2OD
8
2t，NH
12t
．
根据中心对称的性质
OA
OD，OM
ON，所以四边形
MDNA是平行四边形．
所以S
2S△ADN．
所以，四边形MDNA的面积S
（8
2t）（1
2t）
4t2
14t
8．
因为运动至点
A与点D重合为止，据题意可知
0≤t
4
．
所以，所求关系式是
S
4t2
14t
8，t的取值范围是0≤t
4．
（3）S
4t
7
81，（0≤t
4）．
4
4
所以t
7
时，S有最大值
81．
4
4
提示：
也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形
MDNA能形成矩形．
由
（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是
AD，MN，所以当AD
MN时四边形
MDNA是矩形．
所以OD
ON．所以OD2
ON2
OH2
NH2
．
所以t2
4t2
20．解之得t1
62，t2
6
2（舍）．
所以在运动过程中四边形
MDNA可以形成矩形，此时
t62．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压
轴题，能力要求较高。
2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线
y
3x2
bx
c与坐标轴交于
A，B，C三点，
4
点A的横坐标为
1，过点C（0，3）的直线y
3
3与x轴交于点Q，点P是线段BC上
x
4t
的一个动点，PH
OB于点H．若PB
5t，且0
t
1．
（1）确定b，c的值：
b_____，c
_____；
（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：
B（___，），Q（___，），P（___，___）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？
若存在，求出所有t的值；
y
若不存在，说明理由．
[解]
（1）
9
C
b
4
P
c
3
（2）B（4，0）
AOQHBx
Q（4t，0）
P（44t，3t）
（3）存在t的值，有以下三种情况
①当PQPB时
QPH
OB，则GHHB
4
4t
4t
4t
1
t
3
②当PBQB时
得44t5t
4
t
9
③当PQQB时，如图
解法一：
过Q作QD
BP，又PQQB
则BD
BP
5t
22
又△BDQ∽△BOC
BDBQBOBC
5t
244t
45
C
P
D
OB
Q
t
32
57
解法二：
作Rt△OBC斜边中线OE
则OE
BC
5
BE，BE
，
2
2
此时△OEB∽△PQB
C
BE
OB
BQ
PB
P
E
5
O
24
44t5t
Q
B
t
32
57
解法三：
在Rt△PHQ中有QH2
PH2
PQ
2
C
P
4）2
（3t）2
4t）2
（8t
（4
57t2
32t
0
O
HQ
B
t32，t0（舍去）
57
又Q0t1
当t
1
或
4或32
时，△PQB为等腰三角形．
3
9
57
解法四：
数学往往有两个思考方向：
代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：
计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析
Rt△PHQ
中用勾股定理计算
PQ长度，而
PB、BQ
长度都可以直
接直接用
t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，
1、2
小题不难，第
3小题
是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检
验，在本题中若求出的
t值与题目中的0t
1矛盾，应舍去
3.如图1，已知直线y
1x与抛物线y
1x2
6交于A，B两点．
2
4
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这
根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，
这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？
如果存在，求出最大面积，并指出此时P点
的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
y
y
B
P
B
O
x
O
x
A
A
图1
图2
y
1
x2
6
x1
6
x2
4
[解]
（1）解：
依题意得
4
解之得
1
y1
3
y2
2
y
x
2
A（6，3），B（
4，2）
（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1）
由
（1）可知：
OA35OB25y
AB55
OM
1ABOB
5
B
C
2
2
ＥO
x
过B作BE⊥x轴，E为垂足
M
A
D
图1
第26题
由△BEO∽△OCM，得：
OC
OM，OC
5，
OB
OE
4
同理：
OD
5，
C
5，，
D
，5
2
4
0
0
2
设CD的解析式为y
kx
b（k
0）
5
b
k
2
0k
4
5
5
b
b
2
2
AB的垂直平分线的解析式为：
y
2x
5
．
（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点
2
P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交
点的直线
y
1
xm
上，并设该直线与
x轴，
y
轴交于
G，H
两点（如图
2
2
）．
1
yxm
2
y1x26
4
1
x2
1
xm60
4
2
Q抛物线与直线只有一个交点，
1
2
1（m6）
4
0，
2
4
m
25
23
4
P1，
4
在直线GH：
y
1x
25
中，
2
4
y
25
25
H
，，
G
H
，
0
0
2
4
P
GH
25
5
B
4
G
设O到GH的距离为d，
O
x
A
图2
1
g
1g
g
2
GHd
2
OGOH
1
25
5d
1
25
25
2
4
2
2
4
d55
2
QAB∥GH，
P到AB的距离等于O到GH的距离d．
另解：
过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h
与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C
（x,
）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第
3小
题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形ABCD的顶点
A，B的坐标分别为
，，，，顶点，
在第一象
01084
C
D
限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点
Q从点E
4，0
出发，沿
x轴正方向以相同速度运动．当点
P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时
间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间
t（秒）之间的函数
图象为抛物线的一部分（如图②所示）
，求P，Q两点的运动速度．
（3）求
（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积
S取最大值时点P
的坐标．
（4）若点P，Q保持
（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着
时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间
t的增大而减小．当点P
沿着这两边运动时，使∠OPQ
90o的点P有
个．
（抛物线
2
b
4ac
b
2
yax
bxca0的顶点坐标是
，
．
2a
4a
y
s
D
28
C
AP
20
B
Q
OE
x
O
10t
图①
图②
[解]
（1）作BFy轴于F．
QA010，，B8，4，
FB8，FA6．
AB10．
（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．
又QAB1010，101．
P，Q两点的运动速度均为每秒
1个单位．
（3）方法一：
作PG
y轴于G，则PG∥BF．
GA
AP
GA
t
FA
，即
6
．
AB
10
GA
3t．
5
OG
10
3t．
5
QOQ
4
t，
S
1OQOG
1t410
3t．
2
2
5
即S
3
t2
19
t
20．
10
5
b
19
19
19
5
≤
≤10
，
Q
3
，且0
3
2a
2
3
10
当t
19时，S有最大值．
3
此时GP
4
76
，OG
10
3
31
t
15
t
，
5
5
5
76
31
．
（8分）
点P的坐标为
，
15
5
方法二：
当t
5时，OG
7，OQ
1
63
9，SOGgOQ
．
2
2
设所求函数关系式为
S
at2
bt
20．
Q抛物线过点
63
，
，，，
1028
5
2
100a10b2028，
25a
5b
20
63.
2
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