二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语.docx

1、二次函数动点问题解答方法技巧含详细答案外国语外国语学校专用函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 ax2+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函数中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标， 可由对称性求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的还有二次三项式， 二次三项式 ax2+bx+c a 0 本身就是所含字母 x 的二次函数；

2、下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点 -问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市） 如图， 已知抛物线 y ax2 bx 3 （a 0）与 x 轴交于点 A(1， 0)和点 B

3、 ( 3， 0)，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、 CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（ 2 ）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标 - C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P ， M 为顶点时，以 M为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，

4、P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P 。第（ 3 ）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ； 方法二，先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。070809动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形菱形性质求直线解析式求抛物线顶点坐标特殊角三角函数四边形面积的表探究平行四边形考求直线、抛物线解析式示探究动三角形面积是定相似三角形动三角形面积函值点不等式数矩形性质探究等腰三角形存在性菱形是含

5、 60的特殊菱形；观察图形构造特直角梯形是特殊的（一底 AOB是底角为 30的等腰三征适当割补表示面角是 45）角形。积点动带动线动一个动点速度是参数字母。动点按到拐点时线动中的特殊性（两个交探究相似三角形时， 按对应角间分段分类点 D 、E 是定点； 动线段 PF特不同分类讨论； 先画图，再探究。画出矩形必备条长度是定值， PF=OA ）通过相似三角形过度， 转化相件的图形探究其存通过相似三角形过度，转似比得出方程。在性化相似比得出方程。利用 a、t 范围，运用不等式探究等腰三角形时，先画点求出 a、 t 的值。图，再探究（按边相等分类讨论）共同点：特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；

6、探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ；求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）1.如图，已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是A( 4，0) ， B(2，0) ， E(0，8) （ 1）求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析式；（ 2）设抛物线 C1 的顶点为 M ，抛物线 C2 与 x 轴分别交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧），顶点为 N ，四边形MDNA 的面积为 S 若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、 向左运动；与此同时， 点 M ，点 N 同时以每秒

7、 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动，直到点A 与点D 重合为止求出四边形MDNA的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式， 并写出自变量 t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由 解 （1）点 A( 4，0) ，点 B( 2，0) ，点 E(0，8) 关于原点的对称点分别为 D (4，0) ，C (2，0) ，F(0， 8) 设抛物线 C2 的解析式是y ax2bxc(a0) ，16a4bc0，则 4a2bc0，c8a1，解得 b6，

8、c8所以所求抛物线的解析式是yx26x 8 （2）由（ 1）可计算得点M ( 3， 1)， N (31)， 过点 N作NHAD ，垂足为 H 当运动到时刻 t 时， AD2OD82t ， NH1 2t根据中心对称的性质OAOD， OMON ，所以四边形MDNA 是平行四边形所以 S2SADN 所以，四边形 MDNA 的面积 S(82t)(12t )4t 214t8 因为运动至点A 与点 D 重合为止，据题意可知0 t4所以，所求关系式是S4t 214t8 ， t 的取值范围是 0 t4 （3） S4 t781 ，（ 0 t4 ）44所以 t7时， S 有最大值81 44提示：也可用顶点坐标公式

9、来求（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形由（ 2）知四边形 MDNA 是平行四边形，对角线是AD，MN ，所以当 ADMN 时四边形MDNA 是矩形所以 ODON 所以 OD 2ON 2OH 2NH 2所以 t 24t 22 0 解之得 t16 2，t262 （舍）所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时t6 2 点评 本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2. （ 06 福建龙岩卷）如图，已知抛物线y3 x2bxc 与坐标轴交于A，B，C 三点，4点 A 的横坐标为1，过点 C (0，3) 的直线 y33 与 x 轴交

10、于点 Q ，点 P 是线段 BC 上x4t的一个动点， PHOB于点 H 若 PB5t ，且 0t1 （1）确定 b，c 的值： b _ ， c_ ；（2）写出点 B，Q， P 的坐标（其中 Q， P 用含 t 的式子表示）：B(_ ， )， Q(_ ， )， P(_ ，_) ；（3）依点 P 的变化， 是否存在 t 的值， 使 PQB 为等腰三角形？若存在， 求出所有 t 的值；y若不存在，说明理由解 （1）9Cb4Pc3（ 2） B(4，0)A O Q H B xQ(4t，0)P(4 4t，3t )（ 3）存在 t 的值，有以下三种情况当PQ PB时Q PHOB ，则 GH HB44t4t

11、4t1t3当PB QB时得 4 4t 5t4t9当 PQ QB 时，如图解法一：过 Q 作 QDBP ，又 PQ QB则 BDBP5 t2 2又 BDQ BOCBD BQ BO BC5 t2 4 4t4 5CPDO BQt3257解法二：作 RtOBC 斜边中线 OE则 OEBC5BE，BE，22此时 OEB PQBCBEOBBQPBPE5O2 44 4t 5tQBt3257解法三：在 Rt PHQ 中有 QH 2PH 2PQ2CP4) 2(3t )24t) 2(8t(457t 232t0OH QBt 32 ， t 0 （舍去）57又 Q 0 t 1当 t1或4或32时， PQB 为等腰三角形

12、3957解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出 PQB 三边长度，均用 t 表示，再讨论分析RtPHQ中用勾股定理计算PQ 长度，而PB、 BQ长度都可以直接直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。 点评 此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1 、2小题不难，第3 小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论， 需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的 0 t1 矛盾，应舍去3.如图 1，已知直线 y1 x 与抛物线 y1 x26 交于 A，B 两点24（ 1）求 A， B两点的坐标；（

13、2）求线段 AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图 2，取与线段 AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 A，B 两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点 P 将与 A，B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在， 求出最大面积， 并指出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由yyBPBOxOxAA图 1图 2y1x26x16x24 解 （ 1）解：依题意得4解之得1y13y22yx2A(6， 3)， B(4，2)（2）作 AB的垂直平分线交 x 轴， y 轴于 C， D 两点，交 AB 于 M （如图 1）由（ 1）可知：

14、 OA 3 5 OB 2 5 yAB 5 5OM1AB OB5BC22 Ox过 B 作 BE x 轴， E 为垂足MAD图 1第26题由 BEO OCM ，得： OCOM， OC5 ，OBOE4同理：OD5，C5， ，D， 524002设 CD 的解析式为 ykxb(k0)5bk20k455bb22AB 的垂直平分线的解析式为：y2x5（3）若存在点 P 使 APB 的面积最大，则点2P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线y1x m上，并设该直线与x 轴，y轴交于G，H两点（如图22）1y x m2y 1 x2 641x21x m 6 042Q 抛物线与直线只有一个交点，121

15、(m 6)40 ，24m25234P 1，4在直线 GH： y1 x25中，24y2525H， ，GH，0024PGH255B4G设 O 到 GH 的距离为 d ，OxA图 21g1gg2GH d2OG OH1255 d1252524224d 5 52Q ABGH，P 到 AB 的距离等于 O 到 GH 的距离 d 另解：过 P 做 PC y 轴， PC 交 AB 于 C，当 PC 最大时 PBA 在 AB 边上的高 h 最大（ h与 PC 夹角固定），则 S PBA 最大 问题转化为求 PC 最大值，设 P（ x, ） ,C（x,） ,从而可以表示 PC 长度，进行极值求取。最后，以 PC

16、为底边，分别计算 S PBC 和 SPAC 即可。 点评 这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3 小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图，正方形 ABCD 的顶点A，B 的坐标分别为，顶点 ，在第一象010 84CD限点 P 从点 A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点 E4，0出发，沿x 轴正方向以相同速度运动当点P 到达点 C 时， P， Q 两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒（1）求正方形 ABCD 的边长（2）当点 P 在 AB 边上运动时， OPQ 的面积 S （平方单位）与时间t （秒）之间的函

17、数图象为抛物线的一部分（如图所示），求 P， Q 两点的运动速度（3）求（ 2）中面积 S （平方单位）与时间 t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点 P的坐标（4）若点 P， Q 保持（ 2）中的速度不变，则点 P 沿着 AB 边运动时， OPQ 的大小随着时间 t 的增大而增大； 沿着 BC 边运动时， OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小 当点 P沿着这两边运动时，使 OPQ90o 的点 P 有个（抛物线2b4acb2y axbx c a 0 的顶点坐标是，2a4aysD28CA P20BQO ExO10 t图图 解 （ 1）作 BF y 轴于 F Q A 010， ，B 8，4

18、 ，FB 8，FA 6 AB 10（ 2）由图可知，点 P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒又Q AB 1010， 10 1P， Q 两点的运动速度均为每秒1 个单位（3）方法一：作 PGy 轴于 G ，则 PG BF GAAPGAtFA，即6AB10GA3 t 5OG103 t 5Q OQ4t ，S1OQOG1 t 4 103 t 225即 S3t 219t20 105b1919195 10，Q3，且 032a2310当 t19 时， S 有最大值3此时 GP476， OG10331t15t，5557631（8分）点 P 的坐标为，155方法二：当 t5时， OG7， OQ1639， SOG gOQ22设所求函数关系式为Sat 2bt20 Q 抛物线过点63， ， ，10 2852100a 10b 20 28，25a5b2063 .2