1998年考研数学三真题.docx
《1998年考研数学三真题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1998年考研数学三真题.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
1998年考研数学三真题
全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析
一、填空题
（1）设曲线f（x）=xn在点（1,1）处的切线与x轴的交点为（ξ
0,则limfξ
n→∞
）=.
【答】
e-1
【详解】因为
df（x）=nxn-1,df（x）dxdx
x=1
=n,
故过（1,1）的切线方程为y-1=n（x-1）.
当y=0时，得
ξ=x=1-1,
nn
⎛1⎞n
因此lim（ξ）=lim1-=e-1.
n→∞nn→∞⎜n⎟
（2）
lnx-1
x2
⎝⎠
dx=
【答】
【详解】
-
lnx+Cx
lnx-1dx=
（lnx-1）d⎛-1⎞=-1（lnx-1）+1d（lnx-1）
⎰x2⎰
⎜x⎟x⎰x
⎝⎠
=-lnx+1+
xx
=-lnx+C.x
⎰x2
dx=-lnx+1-1+C
xxx
（3）差分方程2yt+1+10yt-5t=0的通解为
【答】
y=C（-5）t+
5⎛t-1⎞.
t12⎜6⎟
⎝⎠
【详解】差分方程可化为标准形式：
yt+1
+5yt
=5t,
2
其通解为
y=C（-5）t+
5⎛t-1⎞.
t12⎜6⎟
⎝⎠
⎡100⎤
（4）设矩阵A,B满足A*BA=2BA-8E，其中A=⎢0-20⎥,E为单位矩阵，A*为A
的伴随矩阵，则B=
⎡200⎤
⎢⎥
⎢⎣001⎥⎦
【答】⎢0-40⎥
⎢⎥
⎢⎣002⎥⎦
【详解1】将已知矩阵方程组两边分别左乘A，右乘A-1得A（A*BA）A-1=A（2BA）A-1-A（8E）A-1,
化简有
AB=2AB-8E.
又
A=-2,
因此（A+E）B=4E.
于是
⎡220⎤-1
B=4E（A+E）-1=4⎢0-10⎥
⎡100⎤
⎢⎥
⎢⎣002⎥⎦
⎢2⎥⎡200⎤
=⎢⎥⎢⎥
4⎢0-10⎥=⎢0-40⎥.
⎢001⎥⎢⎣002⎥⎦
⎢⎥
⎣2⎦
【详解2】对A*BA=2BA-8E两边分别左乘A，分别右乘A-1，利用AA*=
AE以及
AA-1=E得
AB=2AB-8E.
因此，
而
B=8（2A-AE）-1.
⎡2
（2A-AE）=⎢-4
⎤⎡-2
⎥-⎢-2
⎤⎡4⎤
⎥=⎢-2⎥,
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎢
⎡4⎤-1
2⎥⎦⎢⎣
⎡1
⎢4
-2⎥⎦⎢⎣
⎤
⎥
⎡2⎤
4⎥⎦
⎢⎥⎢1⎥⎢⎥
B=8⎢-2⎥=8⎢-⎥=⎢-4⎥.
⎢2⎥
⎢4⎥⎢3⎥
⎣⎦⎢
1⎥⎣⎦
⎢⎥
⎢⎣
【详解2】由已知矩阵方程得
4⎥⎦
（2E-A*）BA=8E
两边分别左乘（2E-A*）-1，右乘A-1得
⎣⎦
B=8（2E-A*）-1⋅A-1=8⎡A（2E-A*）⎤-1=8（2A-AA*）-1
=8（2A-AE）-1=8（2A+2E）-1
⎡2⎤
=8⋅1（A+E）-1=⎢-4⎥.
2⎢⎥
⎣⎢2⎥⎦
（5）设
X1,X2,X3,X4
是来自正态总体
N（0,22）
的简单随机样本，
1234
X=a（X-2X）2+b（3X-4X）2,则当a=,b=时，统计量X服从χ2分布，其自由度为.
11
【答】
2
20100
【详解1】即X服从χ2分布，则n=2，且须
a（X1-2X2）~N（0,1）;
于是
b（3X3-4X4）~N（0,1）.
E（X1-2X2）=E（X1）-2E（X2）=0,
D（X1-2X2）=D（X1）+4D（X2）=20,
E（3X3-4X4）=3E（X3）-4E（X4）=0,
D（3X3-4X4）=9E（X3）+16E（X4）=100,
于是X1-2X2~N（0,1）,3X3-4X4~N（0,1）,
10
且相互独立，由χ2分布的构成知：
X=（X
1-2X2）+（3X3-4X4）
~χ2
（2）,
20100
所以当a=
1
b=1时，X服从χ2分布，其自由度为2.
20100
二、选择题
（1）
→
设周期函数f（x）在（-∞,+∞）内可导，周期为4.又lim
x0
f
（1）-f（1-x）
2x
=-1,则曲线
y=f（x）在点（5,f（5））处的切线斜率为
（A）1.
2
（B）0.
（C）-1.
（D）-2.
【】
【答】应选（D）
【详解】由已知
limf
（1）-f（1-x）=1limf
（1）-f（1-x）=1f'
（1）=-1,
x→02x
于是
2x→0
-x2
f'
（1）=-2.
又
f（x+4）=
f（x）,
两边求导得
f'（x+4）=
f'（x）,
故
f（5）=
f
（1）=-2.
即曲线y=f（x）在点（5,f（5））处的切线斜率f'（5）=-2.
1+x
（2）设函数f（x）=lim
n→∞1+x
2n,讨论函数f（x）的间断点，其结论为
（A）不存在间断点.（B）存在间断点x=1
（C）存在间断点x=0（D）存在间断点x=-1.
【】
【答】应选（B）
【详解】由于
f（x）=lim
1+x
2n
⎧0,
=⎪-1,
x>1,
x=0,
n→∞1+x
⎪1+x,
x<1.
可见，x=1为f（x）的间断点.
⎧λx+x+λ2x
=0,
⎪123
（3）齐次线性方程组⎨x1+λx2+x3=0,
的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B≠O,使得
⎪x+x+λx=0
⎩
AB=O,则
（A）λ=-2且B=0.
（C）λ=1且B=0.
123
（B）λ=-2且B≠0.
（D）λ=1且B≠0.
【】
【答】应选（C）
【详解1】由题设条件：
AB=O,且B≠O知方程组Ax=O,存在非零解，于是A=0,
即
λ1λ2
1λ1
=0,
解得λ=1.
于是
11λ
⎡111⎤
⎢⎥
A=⎢111⎥.
⎢⎣111⎥⎦
由AB=O,知道ATBT=O.
故方程组BTx=0存在非零解,于是B=BT
【详解2】因为AB=O,
所以
=0.
r（A）+r（B）≤3.
又因为所以
A≠O,B≠O,
1≤r（A）<3,1≤r（B）<3.
故B=0
又因为λ=-2时，
-214
A=1
-21
=9,
即此时r（A）=3.
故应选（C）
11-2
⎡111⎤
⎢⎥
事实上，当λ=1时，r（A）=r⎢111⎥=1.
⎢⎣111⎥⎦
⎡1aa…a⎤
⎢a1a…a⎥
⎢⎥
（4）设n（n≥3）阶矩阵A=⎢aa1…a⎥，若矩阵A的秩为n-1，则a必为
⎢⎥
⎢####⎥
⎢⎣aaa…
1⎥⎦
（A）1.
（B）1.
（C）-1.
（D）1.
【答】应选（B）
1-nn-1
【】
【详解1】由题设秩r（A）=n-1,必有A=0,又
A
1aa
a1a
=aa1
###
…a
…a
…a
#
aaa
…1
（n-1）a+1
（n-1）a+1
（n-1）a+1
…
（n-1）a+1
=
a
a
1
a
a
1
…
…
a
a
#
#
#
#
a
a
a
…
1
111…1
11…1
a1a…a
=⎡⎣（n-1）a+1⎤⎦aa1…a=⎡⎣（n-1）a+1⎦⎤01-a…0
####
###
aaa…1
=（1-a）n⎡⎣（n-1）a+1⎤⎦,
1
00…1-a
可见A≠0时，必有a=1或a=
1-n.
1
但a=1时，显然r（A）=1,与题设矛盾，故必有a=
1-n..
【详解2】因题对n≥3的一切正整数n选项恒惟一确定，故对n=3时的正确选项即为所求.
此时r（A）=2,所以a≠1.对A进行初等变换
⎡1aa⎤⎡1-a0a⎤⎡1-a0a⎤
A=⎢a1
a⎥→⎢
01-aa⎥→⎢
01-aa⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎣aa1⎥⎦⎢⎣a-1a-11⎥⎦⎣⎢001+2a⎥⎦
因而r（A）=2,所以1+2a=0.
即
a=-1=1.
故应选（B）.
21-3
（5）设F1（x）与F2（x）分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使
F（x）=aF1（x）+bF2（x）是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
（A）a=3,b=-2.（B）a=2,b=2.
5533
（C）a=-1,b=2.（D）a=1
升级会员 