1998年考研数学三真题.docx

1、1998年考研数学三真题全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、 填空题（1） 设曲线 f ( x) = xn 在点(1,1) 处的切线与 x 轴的交点为(,0 , 则 lim f n) = .【答】e-1【详解】 因为df ( x) = nxn-1, df ( x) dx dxx = 1= n,故过(1,1) 的切线方程为 y -1 = n ( x -1).当 y = 0 时，得 = x = 1- 1 ,n n 1 n因此 lim ( ) = lim 1- = e-1.n n n n （2）ln x -1x2 dx = 【答】【详解】-ln x + C xln x -1 dx

2、=(ln x -1) d - 1 = - 1 (ln x -1) + 1 d (ln x -1) x2 x x x =- ln x + 1 +x x=- ln x + C. x x2dx =- ln x + 1 - 1 + Cx x x（3）差分方程2 yt +1 +10 yt - 5t = 0 的通解为 【答】y = C (-5)t +5 t - 1 . t 12 6 【详解】 差分方程可化为标准形式：yt +1+5 yt= 5 t,2其通解为y = C (-5)t +5 t - 1 . t 12 6 1 0 0（4）设矩阵 A, B 满足 A*BA = 2BA - 8E ，其中 A = 0

3、 -2 0 , E 为单位矩阵，A* 为 A的伴随矩阵，则 B= 2 0 0 0 0 1【答】 0 -4 0 0 0 2【详解 1】 将已知矩阵方程组两边分别左乘 A ，右乘 A-1 得A( A*BA) A-1 = A(2BA) A-1 - A(8E ) A-1,化简有A B = 2 AB - 8E.又A = -2,因此 ( A+ E ) B = 4E.于是2 2 0-1B = 4E ( A+ E )-1 = 4 0 -1 0 1 0 0 0 0 2 2 2 0 0= 4 0 -1 0 = 0 -4 0. 0 0 1 0 0 2 2 【详解 2】 对 A*BA = 2BA - 8E 两边分别左

4、乘 A ，分别右乘 A-1 ，利用 AA* =A E 以及AA-1 = E 得A B = 2 AB - 8E.因此，而B = 8(2 A - A E )-1 .2(2 A - A E ) = -4 -2 - -2 4 = -2 , 4 -12 1 4-2 2 4 1 B = 8 -2 = 8 - = -4 . 2 4 3 1 【详解 2】 由已知矩阵方程得4 (2E - A* ) BA = 8E两边分别左乘(2E - A* )-1 ，右乘 A-1 得 B = 8(2E - A* )-1 A-1 = 8 A(2E - A* )-1 = 8(2 A - AA* )-1= 8(2 A - A E )

5、-1 = 8(2 A + 2E )-12 = 8 1 ( A + E )-1 = -4 .2 2（ 5 ） 设X1, X 2 , X 3, X 4是 来 自 正 态 总 体N (0, 22 )的 简 单 随 机 样 本 ，1 2 3 4X = a ( X - 2 X )2 + b (3X - 4 X )2 , 则当a = , b = 时，统计量 X 服从 2 分布，其自由度为 .1 1【答】220 100【详解 1】 即 X 服从 2 分布，则n = 2 ，且须a ( X1 - 2 X 2 ) N (0,1);于是b (3X 3 - 4 X 4 ) N (0,1).E ( X1 - 2 X 2

6、 ) = E ( X1 ) - 2E ( X 2 ) = 0,D ( X1 - 2 X 2 ) = D ( X1 ) + 4D ( X 2 ) = 20,E (3X 3 - 4 X 4 ) = 3E ( X 3 ) - 4E ( X 4 ) = 0,D (3X 3 - 4 X 4 ) = 9E ( X 3 ) +16E ( X 4 ) = 100,于是 X1 - 2 X 2 N (0,1), 3X 3 - 4 X 4 N (0,1),10且相互独立，由 2 分布的构成知：X = ( X1 - 2 X 2 ) + (3X 3 - 4 X 4 ) 2 (2),20 100所以当a =1, b =

7、1 时， X 服从 2 分布，其自由度为 2.20 100二、选择题（1）设周期函数 f ( x) 在(-, +) 内可导，周期为 4.又limx 0 f (1) - f (1- x)2x= -1, 则曲线y = f ( x) 在点(5, f (5) 处的切线斜率为( A) 1 .2( B)0.(C ) -1.( D) - 2.【 】【答】 应选( D )【详解】 由已知lim f (1) - f (1- x) = 1 lim f (1) - f (1- x) = 1 f (1) = -1,x0 2x于是2 x0-x 2f (1) = -2.又f ( x + 4) =f ( x),两边求导得f

8、 ( x + 4) =f ( x),故f (5) =f (1) = -2.即曲线 y = f ( x) 在点(5, f (5) 处的切线斜率 f (5) = -2.1+ x（2）设函数 f ( x) = limn 1+ x2n , 讨论函数 f ( x) 的间断点，其结论为( A) 不存在间断点. ( B ) 存在间断点 x = 1(C ) 存在间断点 x = 0 ( D ) 存在间断点 x = -1 .【 】【答】 应选( B )【详解】 由于f ( x) = lim1+ x2n0,= -1,x 1,x = 0,n 1+ x1+ x,x 1.可见， x = 1 为 f ( x) 的间断点.

9、x + x + 2 x= 0, 1 2 3（3）齐次线性方程组x1 + x2 + x3 = 0,的系数矩阵记为 A ，若存在三阶矩阵 B O ,使得x + x + x = 0AB= O, 则( A) = -2且 B = 0.(C ) = 1且 B = 0.1 2 3( B) = -2且 B 0 .( D) = 1且 B 0.【 】【答】 应选(C )【详解 1】 由题设条件： AB= O, 且 B O 知方程组 Ax= O,存在非零解，于是 A = 0,即 1 21 1= 0,解得 = 1 .于是1 1 1 1 1 A = 1 1 1.1 1 1由 AB= O, 知道 AT BT = O.故方

10、程组 BT x = 0 存在非零解,于是 B = BT【详解 2】 因为 AB= O,所以= 0.r ( A) + r ( B ) 3.又因为所以A O, B O,1 r ( A) 3,1 r ( B ) 3.故 B = 0又因为 = -2 时，-2 1 4A = 1-2 1= 9,即此时r ( A) = 3.故应选(C )1 1 -21 1 1 事实上，当 = 1 时， r ( A) = r 1 1 1 = 1.1 1 11 a a aa 1 a a （4）设n (n 3) 阶矩阵 A = a a 1 a ，若矩阵 A 的秩为n -1，则a 必为 # # # # a a a 1( A)1.(

11、 B) 1 .(C ) -1.( D) 1 .【答】 应选( B)1- n n -1【 】【详解 1】由题设秩r ( A) = n -1, 必有 A = 0, 又A1 a aa 1 a= a a 1# # # a a a#a a a 1(n -1) a +1(n -1) a +1(n -1) a +1(n -1) a +1=aa1aa1aa#aaa11 1 1 11 1 1a 1 a a= (n -1) a +1 a a 1 a = (n -1) a +1 0 1- a 0# # # # # #a a a 1= (1- a)n (n -1) a +1 ,10 0 1- a可见 A 0 时，必有

12、a = 1或a =1- n .1但a = 1 时，显然r ( A) = 1, 与题设矛盾，故必有a =1- n . .【详解 2】 因题对n 3 的一切正整数n 选项恒惟一确定，故对n = 3 时的正确选项即为所求.此时r ( A) = 2, 所以a 1.对 A 进行初等变换1 a a 1- a 0 a 1- a 0 a A = a 1a 0 1- a a 0 1- a a a a 1 a -1 a -1 1 0 0 1+ 2a因而r ( A) = 2, 所以1+ 2a = 0.即a =- 1 = 1 .故应选( B ) .2 1- 3（5）设 F1 ( x)与F2 ( x) 分别为随机变量 X1与X 2 的分布函数.为使F ( x) = aF1 ( x) + bF2 ( x) 是某以随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( A) a = 3 , b = - 2 . ( B) a = 2 , b = 2 .5 5 3 3(C ) a =- 1 , b = 2 . ( D) a = 1