高中数学 12应用举例教案1 新人教版必修5.docx

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高中数学12应用举例教案1新人教版必修5

2019-2020年高中数学1．2应用举例教案

（1）新人教版必修5

教学要求：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.

教学重点：

熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.

教学难点：

根据题意建立解三角形的数学模型.

教学过程：

一、复习准备：

1.在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2（＋1），c＝2，则∠A为.

2.在△ABC中，sinA＝，判断三角形的形状.

解法：

利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简

二、讲授新课：

1.教学距离测量问题：

①出示例1：

如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=.求A、B两点的距离（精确到0.1m）.

分析：

实际问题中已知的边与角？

选用什么定理比较合适？

→师生共同完成解答.→讨论：

如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？

③出示例2：

如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.

分析得出方法：

测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=.

讨论:

依次抓住哪几个三角形进行计算？

→写出各步计算的符号所表示的结论.具体如下：

在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC==，BC==.

计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=

④练习：

若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60.（答案：

AB=20）.

2.小结：

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：

检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

三、巩固练习：

1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°.A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.（答案：

km）

2.两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

（答案：

akm）

3.作业：

教材P14练习1、2题.

第二课时1.2应用举例

（二）

教学要求：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.

教学重点：

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.

教学难点：

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：

测量建筑物的高度？

怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？

2.讨论：

怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

二、讲授新课：

1.教学高度的测量：

①出示例1：

AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：

测量方法→计算方法

师生一起用符号表示计算过程与结论.

AC=，AB=AE+h=AC+h=+h.

②练习：

如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50.已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD（精确到1m）

③出示例2：

如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.

分析：

已知条件和问题分别在哪几个三角形中？

分别选用什么定理来依次解各三角形？

→师生共同解答.

解答:

在ABC中,A=15,C=25-15=10,根据正弦定理,=,

BC==≈7.4524（km），CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047（m）.

2.练习：

某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

解法：

画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解.关键：

角度的概念

3.小结：

审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.

三、巩固练习：

1.为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？

答案：

20+（m）

2.在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.（答案：

230米）

3.作业：

P17练习1、3题.

第三课时1.2应用举例（三）

教学要求：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.

教学重点：

熟练运用定理.

教学难点：

掌握解题分析方法.

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：

如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？

又如何测量两个不可到达点的距离？

如何测量底部不可到达的建筑物高度？

与前者有何相通之处？

2.讨论：

在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？

通法：

转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题

二、讲授新课：

1.教学角度的测量问题：

①出示例1：

甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10（＋1）km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.

分析：

根据题意，如何画图？

→解哪个三角形？

用什么定理？

如何列式？

→学生讲述解答过程（答案：

）

→小结：

解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？

②练习：

已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°，甲船自A以50海里／小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？

画出图形，并标记已知和要求的→解哪个三角形？

用什么定理解？

如何列式？

③出示例2：

某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？

需要多少时间才追赶上该走私船？

分析:

如何画出方位图？

→寻找三角形中的已知条件和问题？

→如何解三角形.

→师生共同解答.（答案：

北偏东83方向；1.4小时）

④练习：

某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？

2.小结：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.

（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

三、巩固练习：

1.我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2.某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A进入台风圈？

A处在台风圈中的时间有多长？

3.作业：

教材P22习题1.2A组2、3题.

第四课时1.2应用举例（四）

教学要求：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.

教学重点：

三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.

教学难点：

利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：

接触过哪些三角形的面积公式？

2.讨论：

已知两边及夹角如何求三角形面积？

二、讲授新课：

1.教学面积公式：

①讨论：

ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？

→如何计算三角形面积？

②结论：

三角形面积公式，S=absinC，S=bcsinA,S=acsinB

③练习：

已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.

（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）

④出示例1：

在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？

（精确到0.1cm）？

分析：

由已知条件可得到什么结论？

根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？

→师生共同解答.→小结：

余弦定理，诱导公式，面积公式.

→讨论：

由三边如何直接求面积？

（海仑公式）

2.教学恒等式证明：

①讨论：

射影定理：

a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA.

分析：

如何证明第一个式子？

证一：

右边=

=左边

证二：

右边=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin（B+C）=2RsinA=a=左边

→学生试证后面两个.

②出示例2：

在ABC中，求证：

（1）

（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：

观察式子特点，讨论选用什么定理？

3.小结：

利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.

三、巩固练习：

1.在△ABC中，若，判断△ABC的形状.（两种方法）

2.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

（15千米）

3.作业：

教材P2414、15题.

2019-2020年高中数学1．2应用举例教案

（2）新人教版必修5

●教学目标

知识与技能：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：

首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：

激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

●教学过程

Ⅰ.课题导入

1、[复习旧知]

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]

请学生回答完后再提问：

前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？

”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

[例题讲解]

（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。

求A、B两点的距离（精确到0.1m）

启发提问1：

ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

启发提问2：

运用该定理解题还需要那些边和角呢？

请学生回答。

分析：

这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

解：

根据正弦定理，得

=

AB=

=

=

=

≈65.7（m）

答:

A、B两点间的距离为65.7米

变式练习：

两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型。

解略：

akm

例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。

分析：

这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。

首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。

解：

测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，

ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得

AC==

BC==

计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

AB=

分组讨论：

还没有其它的方法呢？

师生一起对不同方法进行对比、分析。

变式训练：

若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60

略解：

将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

评注：

可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。

Ⅲ.课堂练习

课本第14页练习第1、2题

Ⅳ.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：

利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：

检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

Ⅴ.课后作业

课本第22页第1、2、3题

●板书设计

●授后记

课题:

§1.2解三角形应用举例

第二课时

授课类型：

新授课

●教学目标

知识与技能：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题

过程与方法：

本节课是解三角形应用举例的延伸。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间

情感态度与价值观：

进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力

●教学重点

结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题

●教学难点

能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件

●教学过程

Ⅰ.课题导入

提问：

现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？

今天我们就来共同探讨这方面的问题

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：

求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

解：

选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。

由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得

AC=

AB=AE+h

=AC+h

=+h

例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。

已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD（精确到1m）

师:

根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？

（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？

生：

需求出BD边。

师：

那如何求BD边呢？

生：

可首先求出AB边，再根据BAD=求得。

解:

在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理,

=

所以AB==

解RtABD中,得BD=ABsinBAD=

将测量数据代入上式,得

BD=

=

≈177（m）

CD=BD-BC≈177-27.3=150（m）

答:

山的高度约为150米.

师：

有没有别的解法呢？

生：

若在ACD中求CD，可先求出AC。

师：

分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？

生：

同理，在ABC中，根据正弦定理求得。

（解题过程略）

例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.

师：

欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

生：

在BCD中

师：

在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？

生：

BC边

解:

在ABC中,A=15,C=25-15=10,根据正弦定理,

=,

BC==

≈7.4524（km）

CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047（m）

答:

山的高度约为1047米

Ⅲ.课堂练习

课本第17页练习第1、2、3题

Ⅳ.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

Ⅴ.课后作业

1、课本第23页练习第6、7、8题

2、为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？

答案：

20+（m）

●板书设计

●授后记

课题:

§1.2解三角形应用举例

第三课时

授课类型：

新授课

●教学目标

知识与技能：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

过程与方法：

本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。

除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。

课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

情感态度与价值观：

培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

●教学重点

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

●教学难点

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

提问：

前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？

今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?

（角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile）

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：

首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：

在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，

AC=

=

≈113.15

根据正弦定理,

=

sinCAB=

=

≈0.3255,

所以CAB=19.0,

75-CAB=56.0

答:

此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

师：

请大家根据题意画出方位图。

生：

上台板演方位图（上图）

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一：

（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，

AC=BC=30，

AD=DC=10，

ADC=180-4，

=。

因为sin4=2sin2cos2

cos2=,得2=30

=15，

在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：

所求角为15，建筑物高度为15m

解法二：

（设方程来求解）设DE=x，AE=h

在RtACE中,（10+x）+h=30

在RtADE中,x+h=（10）

两式相减，得x=5,h=15

在RtACE中,tan2==

2=30,=15

答：

所求角为15，建筑物高度为15m

解法三：

（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得

BAC=，CAD=2，

AC=BC=30m,AD=CD=10m

在RtACE中，sin2=---------①

在RtADE中，sin4=,---------②

②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15

答：

所求角为15，建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏