理科数学概率题型归纳与练习.docx

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理科数学概率题型归纳与练习

概率统计

离散型随机变量的期望（均值）和方差

若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下:

…

…

1.其中，Pi0,i1,2,...,n,P!

P2...Pn1，则称XiPiX2P2...XnPn为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E（X）或

数学期望E（X）=Xi»X2P2...XnPn

性质

（1）E（c）c；

（2）E（aXb）aE（X）b.（a,b,c为常数）

2.（X1）2P1（X2）2P2...（Xn）2Pn,（其中P0,i1,2,..，n,PlP2...Pn1）刻画了随机变量X与

其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D（X）或2

方差DX（X1）2P1（x2）2P，...（人）七

2.方差公式也可用公式D（X）Xi2Pi2EX2（EX）2计算•

i1

3.随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D（X）的算术平方根称为X的

标准差，即D（X）.

例1.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX,DX

X

-1

0

1

P

、几何分布

几何分布（Geometricdistributen）是离散型概率分布。

其中一种定义为：

在n次中，试验k次才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：

前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球再放回，取出白球或取了4次后则停止摸球。

求取球次数X的数学期望与方差。

例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

他有5发子弹，现对某一

目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。

求他击中目标的期望与方差。

•超几何分布

对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中,

不合格品数X的分布如下表所示：

其中r

0,,2,3，…，1,丨min（n,M），则称X服从超几何分布，记为X#H（n,M,N）,

rnr

并将P（Xr）•MNM记为H（r;n,M,N）.

N

n般地，根据超几何分布的定义，可以得到E（X）

例1.高三

（1）班的联欢会上设计了一项游戏：

在一个口袋中装有10个红球，20个白球，

这些球除颜色外完全相同.现一次从中摸出5个球，

（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率.

（2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.

例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。

从这10件产品中任取3

件，求：

（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

4.二项分布

1.n次独立重复试验

一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P（A）p0。

我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件第一：

每次试验是在同样条件下进行的；第二：

各次试验中的事件是互相独立的；第三：

每次试验都只有两种结果。

（2）n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P（Xk）C'pk（1p）nk。

2.二项分布

若随机变量X的分布列为P（Xk）c；pkqnk，其中0P1-Pq1k0,1,2卅,n,则称X服从参数为n,p的二项分布，记作XWB（n,p）。

一般地，根据超几何分布的定义，可以得到E（X）=np。

例1.一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。

例2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇

到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是丄.

3

（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列;

（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

例3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1,乙每次击中目标的概率为-.

23

（1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标2次的概率；

（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

五、正态分布

例2、设随机变量X~N（3,1）,若P（X4）p,,则P（2

11

（A）1p（B）l—pC.l-2pD.1p

22

1?

x—Hi?

2

例3、已知三个正态分布密度函数©i（x）=e——（x€R,i=1,2,3）的图象如

v2ni2i

图所示，则（）

A.H1c3

B.H1>H2—H3,T1—T2

C.H1—H2

D.卩1<卩2=卩3,（T1=（T2

六、直方图、列联表、线性回归例1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值

大于或等于102的产品为优质品•现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验,

各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组

[90，94）

[94，98）

[98，102）

[102，106）

[106，110]

频数

8

20

42

22

8

B配方的频数分布表

指标值分组

[90，94）

[94，98）

[98，102）

[102，106）

[106，110]

频数

4

12

42

32

10

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：

元）与其质量指标值t的关系式为

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：

元）•求X的分布列及数学

期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）.

例2、电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观

众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中

有10名女性.

（1）根据已知条件完成下面的2X2列联表，并据此资料判断是否有95%勺把握认为“体

育迷”与性别有关？

非体育迷

体育迷

合计

男

女

合计

⑵将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

2

附宀?

a+4?

?

鴛二+d?

，

P（k2>k）

k

例3、重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时,得到周卓婷同学的某些成绩数据如下:

第一次考试

第二次考试

第三次考试

第四次考试

数学总分

118

119

121

122

总分年级

排名

133

127

121

119

（i）求总分年级名次关于数学总分的线性回归方程y=bx+a.

（2）若周卓婷同学想在下次的测试时考入年级前100名，预测该同学下次测试的数学成

绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）.

例4、设某大学的女生体重y（单位：

kg）与身高x（单位：

cm）具有线性相关关系，根据一组

样本数据（Xi,yi）（i=1,2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=—,则下列结论中不正确的是（）

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（x，y）

C•若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为kg

例5、已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3

y

m

3

7

已求得关于y与x的线性回归方程y=+，贝Um的值为（）

B.

A.1

D.

c.

例7、下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：

亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明;

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到），预测2016年我国生活垃圾无害化处理

附注:

n

（tF）（yiy）_

J，a、

（tiD2

【巩固练习】

1、下列命题:

'⑴

⑵不等式|x1||x3|a恒成立,则a4;

（3）随机变量X服从正态分布N（1,2）,则P（X0）P（X2）;

21

⑷已知a,bR,2ab1,则2丄8.其中正确命题的序号为.

ab

2、由数据（X1,yj,（X2,y2），…，（x®,y®）求得线性回归方程y=bx+a，则“（xo,y°）满

aaaX1+X2+・・・+X10『1+y2+・・・+y1o

足线性回归方程y=bx+a”是“xo=,y°=祜”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:

取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.

现从该箱中任取（无放回,且每球取到的机会均等）3个球,记随机变量X为取出3球所

得分数之和.

（I）求X的分布列；（n）求X的数学期望曰X）.

2.（本小题满分13分,（I）小问5分,（n）小问8分.）

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜

或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为】，乙每次投篮投中的概

3

率为丄，且各次投篮互不影响•

2

（I）求甲获胜的概率；

（n）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望

3.设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是1,试求需要比赛场数的期望.

2

3.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名

观众进行调查•下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

（I）根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

（n）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E（X）和方差D（X）.

5.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则

即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4、-、2，且各