一元二次方程组卷及解析.docx
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一元二次方程组卷及解析
一元二次方程的应用
一.选择题(共10小题)
1.(2012•南宁)某单位要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,则参加比赛的球队应有( )
A.
7队
B.
6队
C.
5队
D.
4队
2.(2011•黄石)平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定3条直线,若平面上不同的n个点最多可确定21条直线.则n的值为( )
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
3.(2010•毕节地区)有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了( )个人.
A.
12
B.
11
C.
10
D.
9
4.(2010•本溪)为执行“两免一补”政策,丹东地区2007年投入教育经费2500万元,预计2009年投入3600万元,则这两年投入教育经费的平均增长率为( )
A.
10%
B.
20%
C.
30%
D.
15%
5.(2009•恩施州)某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是( )
A.
20%
B.
27%
C.
28%
D.
32%
6.(2008•遵义)如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是( )
A.
21cm2
B.
16cm2
C.
24cm2
D.
9cm2
7.从正方形的铁片上,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )
A.
96cm2
B.
64cm2
C.
54cm2
D.
52cm2
8.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加了39cm2,这个正方形的边长为( )
A.
5cm
B.
6cm
C.
8cm
D.
10cm
9.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2.则花边的宽是( )
A.
2m
B.
1m
C.
1.5m
D.
0.5m
10.有一块长32cm,宽24cm的长方形纸片,在每个角上截去相同的正方形,再折起来做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸片面积的一半,则盒子的高是( )
A.
3cm
B.
2cm
C.
5cm
D.
4cm
二.填空题(共11小题)
11.(2012•大连)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 _________ .
12.(2011•潍坊)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF丄CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为 _________ .
13.(2011•綦江县)一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= _________ 米时,有DC2=AE2+BC2.
14.(2011•宿迁)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,则AB的长度是 _________ m(可利用的围墙长度超过6m).
15.(2010•鞍山)有一块长30cm,宽20cm的纸板,要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔,并且四周宽度相等,则这个框的宽应为 _________ cm.
16.(2007•宁夏)一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条,剩下的面积是54cm2,则原来这块钢板的面积是 _________ cm2.
17.(2006•泉州)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为 _________ .
18.(2000•海南)某初三一班学生上军训课,把全班人数
的排成一列,这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看,此班有学生 _________ 人.
19.(1999•西安)用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子,框子的面积是625cm2,则这个框子的长为 _________ cm,宽为 _________ cm.
20.一个QQ群里有若干个好友,每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息,这样共有870条消息,则这个QQ群里有 _________ 个好友.
21.一个凸多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数是 _________ .
三.解答题(共9小题)
22.(2012•湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
23.(2012•山西)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
24.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:
方案一:
打九折销售;
方案二:
不打折,每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.
25.(2012•河池)随着人们环保意识的不断增强,我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆,2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆?
(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?
试写出所有可能的方案.
26.(2012•绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时,对课本“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真的探索.
【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:
解:
设点B将向外移动x米,即BB1=x,
则B1C=x+0.7,A1C=AC﹣AA1=
﹣0.4=2
而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由
+
=
得方程 _________ ,
解方程得x1= _________ ,x2= _________ ,
∴点B将向外移动 _________ 米.
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:
【问题一】在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?
为什么?
【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?
为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题.
27.(2012•南京)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:
若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为 _________ 万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
(盈利=销售利润+返利)
28.(2012•广元)某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)房产销售经理向开发商建议:
先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?
为什么?
29.(2011•新疆)某商场推销一种书包,进价为30元,在试销中发现这种书包每天的销售量P(个)与每个书包销售价x(元)满足一次函数关系式.当定价为35元时,每天销售30个;定价为37元时,每天销售26个.问:
如果要保证商场每天销售这种书包获利200元,求书包的销售单价应定为多少元?
30.(2011•贵港)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆.
(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2012•南宁)某单位要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,则参加比赛的球队应有( )
A.
7队
B.
6队
C.
5队
D.
4队
解答:
解:
设邀请x个球队参加比赛,
依题意得1+2+3+…+x﹣1=10,
即
=10,
∴x2﹣x﹣20=0,
∴x=5或x=﹣4(不合题意,舍去).
故选C.
2.(2011•黄石)平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定3条直线,若平面上不同的n个点最多可确定21条直线.则n的值为( )
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
解答:
解:
设有n个点时,
=21
n=7或n=﹣6(舍去).
故选C.
3.(2010•毕节地区)有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了( )个人.
A.
12
B.
11
C.
10
D.
9
解答:
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,依题意得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121
解方程得x1=10,x2=﹣12(舍去)
故选C.
4.(2010•本溪)为执行“两免一补”政策,丹东地区2007年投入教育经费2500万元,预计2009年投入3600万元,则这两年投入教育经费的平均增长率为( )
A.
10%
B.
20%
C.
30%
D.
15%
解答:
解:
根据题意2008年为2500(1+x),2009年为2500(1+x)(1+x).
则2500(1+x)(1+x)=3600
解得x=0.2
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%.
故选B.
5.(2009•恩施州)某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是( )
A.
20%
B.
27%
C.
28%
D.
32%
解答:
解:
设平均每次降价的百分率为x,
则可以得到关系式:
150×(1﹣x)2=96
x=0.2或1.8
x=1.8不符合题意,舍去,
故x=0.2
答:
平均每次降价的百分率是20%.
故选A.
6.(2008•遵义)如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是( )
A.
21cm2
B.
16cm2
C.
24cm2
D.
9cm2
解答:
解:
设AB=xcm,AD=(10﹣x)cm,则正方形ABEF的面积为x2cm2,正方形ADGH的面积为(10﹣x)2cm2,
根据题意得x2+(10﹣x)2=68
整理得x2﹣10x+16=0
解之得x1=2,x2=8
所以AB=2cm,AD=8cm或AB=8cm,AD=2cm,
综上可求矩形ABCD的面积是16cm2.
故选B
7.从正方形的铁片上,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )
A.
96cm2
B.
64cm2
C.
54cm2
D.
52cm2
解答:
解:
设正方形的边长是xcm,根据题意得x(x﹣2)=48,
解得x1=﹣6(舍去),x2=8,
那么原正方形铁片的面积是8×8=64cm2.
故选B.
8.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加了39cm2,这个正方形的边长为( )
A.
5cm
B.
6cm
C.
8cm
D.
10cm
解答:
解:
设这个正方形原来的边长为x,则x2+39=(x+3)2
解得x=5,故选A.
9.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2.则花边的宽是( )
A.
2m
B.
1m
C.
1.5m
D.
0.5m
解答:
解:
设花边的宽为x,则地毯的长为8﹣2x,宽为5﹣2x,根据题意列方程得
(8﹣2x)(5﹣2x)=18
解得x1=1,x2=5.5(不符合题意,舍去).
所以,花边的宽为1m.故选B.
10.有一块长32cm,宽24cm的长方形纸片,在每个角上截去相同的正方形,再折起来做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸片面积的一半,则盒子的高是( )
A.
3cm
B.
2cm
C.
5cm
D.
4cm
解答:
解:
设盒子的高为xcm,
则其底面长为(32﹣2x)cm,宽为(24﹣2x)cm,
底面面积为(32﹣2x)(24﹣2x)cm2.
则(32﹣2x)(24﹣2x)=
×32×24
整理,得x2﹣28x+96=0
解之,得x1=4,x2=24.
当x=24时不合题意,应舍去.
故选D.
二.填空题(共11小题)
11.(2012•大连)如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根,那么k的值为 ±6 .
解答:
解:
∵方程有两相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=k2﹣36=0,
解得k=±6.
故答案为±6.
12.(2011•潍坊)已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF丄CD,垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为
.
解答:
解:
设AE的长为x,则BE的长为a﹣x
根据题意得:
x2=(a﹣x)•a,
∴x2+ax﹣a2=0,
x=
=
,
解得:
x=
故答案为:
.
13.(2011•綦江县)一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE=
米时,有DC2=AE2+BC2.
解答:
解:
如图,连接CD,
假设AE=x,可得EC=12﹣x,
∵坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米,
∴AC=12米,
∵正方形DEFH的边长为2米,即DE=2米,
∴DC2=DE2+EC2=4+(12﹣x)2,
AE2+BC2=x2+36,
∵DC2=AE2+BC2,
∴4+(12﹣x)2=x2+36,
解得:
x=
米.
故答案为:
.
14.(2011•宿迁)如图,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,则AB的长度是 1 m(可利用的围墙长度超过6m).
解答:
解:
设AB长为x米,则BC长为(6﹣2x)米.
依题意,得x(6﹣2x)=4.
整理,得x2﹣3x+2=0.
解方程,得x1=1,x2=2.(3分)
所以当x=1时,6﹣2x=4;
当x=2时,6﹣2x=2(不符合题意,舍去).
答:
AB的长为1米.
故答案为:
1.
15.(2010•鞍山)有一块长30cm,宽20cm的纸板,要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔,并且四周宽度相等,则这个框的宽应为 5 cm.
解答:
解:
设这个框的宽应为xcm.
依题意有(30﹣2x)(20﹣2x)=200
即x2﹣25x+100=0.
解得x1=5,x2=20(不合题意舍去).
故这个框的宽应为5cm.
16.(2007•宁夏)一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条,剩下的面积是54cm2,则原来这块钢板的面积是 81 cm2.
解答:
解:
设正方形的边长为x,
根据题意得:
x2﹣3x=54,
解得x=9或﹣6(不合题意,舍去).
故这块钢板的面积是x2=9×9=81cm2.
17.(2006•泉州)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为 16 .
解答:
解:
∵解方程x2﹣7x+12=0
得:
x=3或4
∵对角线长为6,3+3=6,不能构成三角形;
∴菱形的边长为4.
∴菱形ABCD的周长为4×4=16.
18.(2000•海南)某初三一班学生上军训课,把全班人数
的排成一列,这样排成一个正方形的方队后还有7人站在一旁观看,此班有学生 56 人.
解答:
解:
设班级学生x人,依题意,得
(
x)2+7=x,
整理,得x2﹣64x+448=0,
解得x1=56,x2=8,
当x=8时,
x=1,1人不能成为方阵,舍去,
答:
此班有学生56人.
19.(1999•西安)用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子,框子的面积是625cm2,则这个框子的长为 25 cm,宽为 25 cm.
解答:
解:
设这个框子的长为xcm,宽为(50﹣x)cm,则
x(50﹣x)=625
x2﹣50x+625=0
解得
x1=x2=25
答:
这个框子的长为25cm,宽为25cm.
20.一个QQ群里有若干个好友,每个好友都分别给群里其它好友发送一条消息,这样共有870条消息,则这个QQ群里有 30 个好友.
解答:
解:
设有x个好友,依题意,
x(x﹣1)=870,
整理,得x2﹣x﹣870=0,(x﹣30)(x+29)=0
解得:
x1=30,x2=﹣29(舍去)
答:
QQ群里共有30个好友.
21.一个凸多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数是 6 .
解答:
解:
设多边形有n条边,
则
=9,
解得n1=6,n2=﹣3(舍去),
故这个多边形的边数为6.
三.解答题(共9小题)
22.(2012•湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
解答:
解:
设AB=xm,则BC=(50﹣2x)m.
根据题意可得,x(50﹣2x)=300,
解得:
x1=10,x2=15,
当x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25,
故x1=10(不合题意舍去),
答:
可以围成AB的长为15米,BC为20米的矩形.
23.(2012•山西)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
解答:
(1)解:
设每千克核桃应降价x元.…1分
根据题意,得(60﹣x﹣40)(100+
×20)=2240.…4分
化简,得x2﹣10x+24=0解得x1=4,x2=6.…6分
答:
每千克核桃应降价4元或6元.…7分
(2)解:
由
(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.…8分
此时,售价为:
60﹣6=54(元),
.…9分
答:
该店应按原售价的九折出售.…10分
24.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:
方案一:
打九折销售;
方案二:
不打折,每吨优惠现金200元.
试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.
解答:
解
(1)设平均每次下调的百分率为x.
由题意,得5(1﹣x)2=3.2.
解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.
因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,
符合题目要求的是x1=0.2=20%.
答:
平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠.
理由:
方案一所需费用为:
3.2×0.9×5000=14400(元),
方案二所需费用为:
3.2×5000﹣200×5=15000(元).
∵14400<15000