第 3 章 按近似概率理论的极限状态设计法.docx

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第3章按近似概率理论的极限状态设计法

 第3章混凝土结构设计法

本章提要

我国现行的建筑结构设计方法是：

以概率理论为基础的极限状态设计方法，以可靠指标度量结构构件的可靠度，采用以分项系数的设计表达式进行设计。

因此，本章内容围绕结构设计的总目标，对结构的功能要求、结构的极限状态、结构上的作用、荷载的代表值、各种作用的效应及结构的抗力和满足结构设计可靠度要求的材料强度分项系数及荷载分项系数等均提出了明确的要求，最终使读者明确以概率理论为基础的各种极限状态表达方法，并以此作为结构设计的依据。

3.1极限状态

3.1.1结构上的作用、作用效应和结构抗力

1.结构上的作用

使结构产生内力或变形的原因称为“作用”，分直接作用和间接作用两种。

（1）直接作用：

荷载

（2）间接作用：

混凝土的收缩、温度变化、基础的差异沉降、地震等。

间接作用不仅与外界因素有关，还与结构本身的特性有关。

例如，地震对结构物的作用，不仅与地震加速度有关，还与结构自身的动力特性有关，所以不能把地震作用称为“地震荷载”。

2.作用效应

结构上的作用使结构产生的内力（如弯矩、剪力、轴向力、扭矩等）、变形、裂缝等统称为作用效应或荷载效应。

荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。

S＝C×Q

││└─荷载

│└───荷载效应系数

└────荷载效应

3.荷载的分类

按作用时间的长短和性质，荷载可分为三类：

1）永久荷载在结构设计使用期间，其值不随时间而变化，或其变化与平均值相比可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载。

例如，结构的自身重力、土压力、预应力等荷载，永久荷载又称恒荷载。

2）可变荷载在结构设计使用期内其值随时间而变化，其变化与平均值相比不可忽略的荷载。

例如，楼面活荷载、吊车荷载、风荷载、雪荷载等，可变荷载又称活荷载。

3）偶然荷载在结构设计使用期内不一定出现，一旦出现，其值很大且持续时间很短的荷载。

例如，爆炸力、撞击力等。

4.荷载的标准值

具有一定概率（一般为95%）的最大荷载值称为荷载标准值。

荷载标准值是荷载的基本代表值。

对于结构自重可以根据结构的设计尺寸和材料的重力密度确定；可变荷载标准值由设计使用年限内最大荷载概率分布的某个分位值确定。

3.1.2结构的功能要求

1.结构的安全等级

我国根据建筑结构破坏时可能产生的后果严重与否，分为三个安全等级：

一级——破坏后果很严重、重要的建筑物；

二级——破坏后果严重、一般的建筑物；

三级——破坏后果不严重、次要建筑物。

对人员比较集中使用频繁的影剧院、体育馆等，安全等级宜按一级设计；建筑物中梁、柱等各类构件的安全等级一般应与整个建筑物的安全等级相同。

2.结构的设计使用年限

结构的设计使用年限，是指设计的结构或结构构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。

一般建筑结构的设计使用年限可为50年。

各类工程结构的设计使用年限是不应统一的。

例如，桥梁应比房屋的设计使用年限长，大坝的设计使用年限更长。

注意：

结构的设计使用年限虽与其使用寿命有联系，但不等同。

超过设计使用年限的结构并不是不能使用，而是指它的可靠度降低了。

3.建筑结构的功能

设计的结构和结构构件在规定的设计使用年限内，在正常维护条件下，应能保持其使用功能，而不需进行大修加固。

应该满足的功能要求可概括为：

（1）安全性建筑结构应能承受正常施工和正常使用时可能出现的各种荷载和变形，在偶然事件（如地震、爆炸等）发生时和发生后保持必需的整体稳定性，不致发生倒塌。

（2）适用性结构在正常使用过程中应具有良好的工作性。

例如，不产生影响使用的过大变形或振幅，不发生足以让使用者不安的过宽的裂缝等。

（3）耐久性结构在正常维护条件下应有足够的耐久性，完好使用到设计规定的年限，即设计使用年限。

例如，混凝土不发生严重风化、腐蚀、脱落，钢筋不发生锈蚀等。

3.1.3结构功能的极限状态

能完成预定的各项功能时，结构处于有效状态；反之，则处于失效状态，有效状态和失效状态的分界，称为极限状态，是结构开始失效的标志。

极限状态可分为二类。

1.承载能力极限状态

结构或构件达到最大承载能力或者达到不适于继续承载的变形状态，称为承载能力极限状态。

超过承载能力极限状态后，结构或构件就不能满足安全性的要求。

如：

（1）材料强度不够而破坏；

（2）因疲劳而破坏；

（3）产生过大的塑性变形而不能继续承载；

（4）结构或构件丧失稳定；

（5）结构转变为机动体系。

2.正常使用极限状态

结构或构件达到正常使用或耐久性能中某项规定限度的状态称为正常使用极限状态。

超过了正常使用极限状态，结构或构件就不能保证适用性和耐久性的功能要求。

例如：

结构或构件出现影响正常使用的过大变形、过宽裂缝、局部损坏和振动。

结构或构件按承载能力极限状态进行计算后，还应该按正常使用极限状态进行验算。

3.1.4极限状态方程

1.承载能力极限状态函数

结构的极限状态可以用极限状态函数来表达。

承载能力极限状态函数可表示为Z=R–S（3-1）

式中S——表示荷载效应，它代表由各种荷载分别产生的荷载效应的总和；R——表示结构构件抗力。

2.结构状态

根据S、R的取值不同，Z值可能出现三种情况：

Z=R-S＞0时,结构处于可靠状态；

Z=R-S＝0时,结构处于极限状态。

Z=R-S＜0时,结构处于失效状态；

图3-1极限状态方程取值示意图

3．功能函数

结构设计中经常考虑的不仅是结构的承载能力，多数场合还需要考虑结构对变形或开裂等的抵抗能力，也就是说要考虑结构的适用性和耐久性的要求。

由此，上述的极限状态方程可推广为

Z=g（x1，x2，…，xn）（3-2）

式中，g（…）是函数记号，在这里称为功能函数。

g（…）由所研究的结构功能而定，可以是承载能力，也可以是变形或裂缝宽度等。

x1，x2，…，xn为影响该结构功能的各种荷载效应以及材料强度、构件的几何尺寸等。

3.2按近似概率的极限状态设计法

3.2.1结构的可靠度

结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的能力称为结构的可靠性（规定时间是指结构的设计使用年限，规定条件，是指正常设计、正常施工、正常使用和维护的条件，不包括非正常的，例如人为的错误等）。

结构的可靠度是结构可靠性的概率度量，即结构在设计工作寿命内，在正常条件下，完成预定功能的概率。

因此，结构的可靠度是用可靠概率Ps来描述的。

3.2.2可靠指标与失效概率

1.结构的失效概率

结构在规定的时间和条件下不能完成预定功能的概率Pf,Pf为失效概率。

Ps+Pf=1.0

2.失效概率Pf的计算方法

（1）S和R的概率密度曲线

设构件的荷载效应S、抗力R，都是服从正态分布的随机变量且二者为线性关系。

S、R的平均值分别为μS、μR，标准差分别为σS、σR，S和R的概率密度曲线如图3一2所示。

图3-2R，S的概率密度分布曲线

按照结构设计的要求，显然μR应该大于μS。

从图中的概率密度曲线可以看到，在多数情况下构件的抗力R大于荷载效应S。

但是，由于离散性，在S、R的概率密度曲线的重叠区（阴影部分），仍有可能出现构件的抗力R小于荷载效应S的情况。

重叠区的大小与μS、μR以及σS、σR有关。

所以，加大平均值之差μR-μS，减小标准差σS和σR可以使重叠的范围减小，失效概率降低。

（2）Z的概率密度分布曲线

同前，若令Z=R–S，Z也应该是服从正态分布的随机变量。

图3一3表示Z的概率密度分布曲线。

图3-3可靠指标与失效概率关系示意图

图中的阴影部分表示出现Z＜0事件的概率，也就是构件失效的概率Pf，计算失效概率Pf比较麻烦，故改用一种可靠指标的计算方法。

（3）可靠指标β

从图3-3可以看到，阴影部分的面积与μZ和σZ的大小有关：

增大μZ，曲线右移，阴影面积将减少；减小σZ，曲线变得高而窄，阴影面积也将减少。

如果将曲线对称轴至纵轴的距离表示成σZ的倍数，取

μZ=βσZ（3-6）则β=μZ/σZ=（μR-μS）/（3-7）

可以看出β大，则失效概率小。

所以，β和失效概率一样可作为衡量结构可靠度的一个指标，称为可靠指标。

（4）β与失效概率Pf的对应关系

3.目标可靠指标[β]

《建筑结构可靠度设计统一标准》根据结构的安全等级和破坏类型，规定了按承载能力极限状态设计时的目标可靠指标[β]，见表3-3。

β≥[β]结构和结构构件的破坏类型分为延性破坏和脆性破坏两类。

延性破坏有明显的预兆，可及时采取补救措施，所以目标可靠指标可定得稍低些。

脆性破坏常常是突发性破坏，破坏前没有明显的预兆，所以目标可靠指标就应该定得高一些。

用可靠指标β进行结构设计和可靠度校核，可以较全面地考虑可靠度影响因素的客观变异性，使结构满足预期的可靠度要求。

3.3实用设计表达式

3.3.1分项系数

对于一般常见的工程结构，采用可靠指标进行设计工作量大，有时会遇到统计资料不足而无法进行的困难。

考虑到多年来的设计习惯和实用上的简便，《建筑结构设计统一标准》提出了便于实际使用的设计表达式，称为实用设计表达式。

例如，永久荷载和可变荷载组合下的设计表达式为

μR/γR≥γGμG+γQμQ（3-8）

（1）抗力分项系数——γR

（2）永久荷载分项系数——γG

（3）可变荷载分项系数——γQ

3.3.2承载能力极限状态设计表达式

1.承载能力极限状态设计简单表达式

γ0S≤R（3-22）

Sk─→γsSk─→γ0S≤R←─Rk/γR←─Rk

荷载效应荷载效应荷载效应承载能力结构抗力结构抗力

标准值设计值组合值设计值设计值标准值

式中γ0——结构构件的重要性系数。

2.荷载效应组合的设计值S

实际上荷载效应中的荷载有永久荷载和可变荷载，并且可变荷载不止一个，多个可变荷载也不一定会同时发生，例如，高层建筑各楼层可变荷载全部满载且遇到最大风荷载的可能性就不大。

为此，考虑到两个或两个以上可变荷载同时出现的可能性较小，引入荷载组合值系数对其标准值折减。

按承载能力极限状态设计时，应考虑作用效应的基本组合，必要时尚应考虑作用效应的偶然组合。

对于基本组合，荷载效应组合的设计值S应从由可变荷载效应控制的组合和由永久

荷载效应控制的两组组合中取最不利值确定:

（1）对由可变荷载效应控制的组合，其承载能力极限状态设计表达式一般形式为

（3-24）

（2）对由永久荷载效应控制的组合，其承载能力极限状态设计表达式的一般形式为（3-25）

式中γ0——结构构件的重要性系数，与安全等级对应。

对安全等级为一级或设计使用年限为100年及以上的结构构件不应小于1.1；对二级或设计使用年限为50年的结构构件不应小于1.0；对三级或设计使用年限为5年及以下的结构构件不应小于0.9；在抗震设计中，不考虑结构构件的重要性系数；

γG——永久荷载的分项系数。

当永久荷载效应对结构不利时，对由可变荷载效应控制的组合γG=1.2；由永久荷载效应控制的组合γG=1.35。

当永久荷载效应对结构有利时，取γG=1.0；

γQ1、γQi——可变荷载的分项系数。

γQ1、γQi一般取1.4；

SGk、SQ1k、SQik—分别为永久荷载、第一种可变荷载、其他可变荷载效应的标准值，如荷载引起的弯矩、剪力、轴力和变形等；

ψci——可变荷载的组合值系数。

以上不等式右侧为结构承载力，用承载力函数R（…）表示，表明其为混凝土和钢筋强度标准值（fck、fsk）、分项系数（γc、γs）、几何尺寸标准值（ak）以及其他参数的函数。

3.一般排架和框架结构的简化表达式

对于一般常遇的排架结构和框架结构，为了计算方便，可变荷载的影响大小可不予区分，并采用相同的组合值系数。

对由可变荷载效应控制的组合，其设计表达式可以简化表达为

（3-28）

对由永久荷载效应控制的组合，其承载力极限状态设计表达式仍为（3-25）。

3.3.3正常使用极限状态设计表达式

按正常使用极限状态设计，主要是验算构件的变形和抗裂度或裂缝宽度。

按正常使用极限状态设计时，变形过大或裂缝过宽虽影响正常使用，但危害程度不及承载力引起的结构破坏造成的损失那么大，所以可适当降低对可靠度的要求。

计算时取荷载标准值，不需乘分项系数，也不考虑结构重要性系数γ0。

1.正常使用极限状态设计简单表达式

Sk≤Rk

2.可变荷载的准永久值系数和频遇值系数

在正常使用状态下，可变荷载作用时间的长短对于变形和裂缝的大小显然是有影响的。

可变荷载的最大值并非长期作用于结构之上，所以应按其在设计基准期内作用时间的长短和可变荷载超越总时间或超越次数，对其标准值进行折减。

《建筑结构可靠度设计统一标准》采用一个小于1的准永久值系数和频遇值系数来考虑这种折减。

（1）准永久值系数，是根据在设计基准期内荷载达到和超过该值的总持续时间与设计基准期内总持续时间的比值而确定。

（2）频遇值系数，是根据在设计基准期间可变荷载超越的总时间或超越的次数来确定的。

3.可变荷载的准永久值和频遇值

准永久值=可变荷载标准值×准永久值系数（ψq）

频遇值=可变荷载标准值×频遇值系数（ψf）

4.可变荷载的代表值

可变荷载有四种代表值，即标准值、组合值、准永久值和频遇值。

其中标准值称为基本代表值，其他代表值可由基本代表值乘以相应的系数得到。

各类可变荷载和相应的组合值系数、准永久值系数、频遇值系数可在荷载规范中查到。

2.荷载效应组合的标准值Sk

根据实际设计的需要，常须区分荷载的短期作用（标准组合、频遇组合）和荷载的长期作用（准永久组合）下构件的变形大小和裂缝宽度验算。

所以，《建筑结构可靠度设计统一标准》规定按不同的设计目的，分别选用荷载的标准组合、频遇组合和荷载的准永久组合。

（1）荷载的标准组合

标准组合主要用于当一个极限状态被超越时将产生严重的永久性损害的情况。

按荷载的标准组合时，荷载效应组合的标准值Sk应按下式计算

（3一26）

（2）荷载的频遇组合

频遇组合主要用于当一个极限状态被超越时将产生局部损害、较大变形或短暂振动的情况。

按荷载的频遇组合时，荷载效应组合的标准值Sk应按下式计算

（3一27）

（3）荷载的准永久组合

准永久组合主要用于当长期效应是决定性因素的情况。

按荷载的准永久组合时，

荷载效应组合的标准值Sk应按下式计算

（3一26a）

3.3.4按极限状态设计时材料强度和荷载的取值

1．钢筋抗拉强度标准值

对于钢材，国家标准中已规定了每一种钢材的废品限值。

抽样检查中如发现某炉钢材的屈服强度达不到此限值，即作为废品处理。

例如，HPB235（Q235）钢筋，其废品限值为235N/mm2。

确定的这个废品限值大体能满足保证率为97.73％，即平均值减去二倍的标准差。

这一保证率已高于《建筑结构设计统一标准》规定的保证率95％的要求，因而《混凝土结构设计规范》中取国家冶金局标准规定的废品限值作为钢筋强度的标准值。

热轧钢筋抗拉强度标准值用fyk表示，取等于国家标准颁布的屈服强度的废品限值；预应力钢绞线、钢丝和热处理钢筋的强度标准值用fPtk表示,系根据极限抗拉强度确定（条件屈服点0.85σb）。

图3-5钢筋屈服强度频率分布图

2.混凝土立方体抗压强度标准值

混凝土立方体抗压强度标准值用fcu,k表示。

根据《建筑结构设计统一标准》规定的保证率95％的要求，混凝土强度标准值取平均值减1.645倍的标准差。

fcu,k＝μfcu－1.645σfcu

式中fcu,k——混凝土立方体抗压强度的平均值，（N/mm2）；

μfcu——混凝土立方体抗压强度的平均值，（N/mm2）；

σf——混凝土立方体抗压强度的标准差。

图3-6混凝土立方体强度频率分布图

3．分项系数和设计值

（1）材料强度的分项系数和设计值

钢筋强度的分项系数γs根据钢筋种类不同，取值范围在1.1～1.5；混凝土强度的分项系数γC规定为1.4。

材料的强度设计值=材料强度标准值/材料的分项系数。

《混凝土结构设计规范》中同时给出了钢筋和混凝土强度的标准值和设计值。

附表2-1附表2-2附表2-6附表2-7附表2-8附表2-9

（2）荷载分项系数和设计值

永久荷载的分项系数，根据其效应对结构不利和有利分别取1.2（或1.35）和1.0，可变荷载的分项系数一般取1.4。

设计中为了使得结构达到规定的可靠指标，在计算中应采用荷载设计值进行计算。

荷载设计值＝荷载的标准值×荷载分项系数

思考题

3.1结构可靠性的含义是什么？

它包含哪些功能要求？

结构超过极限状态会产生什么后果？

建筑结构安全等级是按什么原则划分的？

答：

结构可靠性是指结构在规定时间（设计基准期）内，在规定条件下（正常设计、正常施工、正常使用和维护）完成预定功能的能力。

它的功能要求为:

（1）安全性；

（2）适用性；（3）耐久性。

当结构或构件超过承载能力极限状态，就可能产生以下后果：

由于材料强度不够而破坏，或因疲劳而破坏，或产生过大的塑性变形而不能继续承载，结构或构件丧失稳定；结构转变为机动体系。

超过这一极限状态，结构或其构件就不能满足其预定的安全性要求。

当结构或构件超过了正常使用极限状态，就可能产生以下后果：

结构或构件出现影响正常使用的过大变形、过宽裂缝、局部损坏和振动。

超过这一极限状态，结构或其构件就不能满足其预定的适用性或耐久性要求。

我国是根据建筑结构破坏时可能产生的后果严重与否，分为三个安全等级。

见下表：

安全等级

破坏后的影响程度

建筑物的类型

一级

很严重

重要的建筑物

二级

严重

一般的建筑物

三级

不严重

次要的建筑物

3.2“作用”和“荷载”有什么区别？

为什么说构件的抗力是一个随机变量？

答：

使结构产生内力或变形的原因称为“作用”，分直接作用和间接作用两种。

荷载是直接作用，混凝土的收缩、温度变化、基础的差异沉降、地震等引起结构外形或约束的原因称为间接作用。

构件的抗力可能随时间和空间发生变化，且这种变化在大多数情况下都是随机的，只能用随机变量或随机过程来描述。

3.3什么是结构的极限状态？

结构的极限状态分为几类，其含义各是什么？

答：

整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。

极限状态的分类：

1）承载力极限状态：

结构或结构构件达到最大承载力，出现疲劳破坏或不适于继续承载的变形。

2）正常使用极限状态：

结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。

3.4建筑结构应该满足哪些功能要求？

结构的设计工作寿命如何确定？

结构超过其设计工作寿命是否意味着不能再使用？

为什么？

答：

建筑结构应该满足的功能要求概括为：

安全性、适用性、耐久性。

结构的设计使用年限，是指设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。

设计使用年限可按《建筑结构可靠度设计统一标准》确定，业主可提出要求，经主管部门批准，也可按业主的要求确定。

结构的设计使用年限虽与其使用寿命有联系，但不等同。

超过设计使用年限并不是不能使用，而是指它的可靠度降低了。

3.5正态分布概率密度曲线有哪些数字特征？

这些数字特征各表示什么意义？

正态分布概率密度曲线有何特点？

答：

正态分布概率密度曲线有三个数字特征：

1）平均值，它为随机变量取值的水平，它表示随机变量取值的集中位置。

平均值愈大，则分布曲线的高峰点离开纵坐标轴的水平距离愈远。

2）标准差，它是随机变量方差的正二次方根，它表示随机变量的离散程度。

标准差愈大时，分布曲线愈扁平，说明变量分布的离散性愈大

3）变异系数，它为随机变量标准差除以其平均值的绝对值的商，它表示随机变量取值的相对离散程度。

如果有两批数据，它们的标准差相同，但平均值不相同，则平均值较小的这组数据中，各观测值的相对离散程度较大。

正态分布概率密度曲线特点:

1）曲线上有且只有一个高峰；

2）有一根对称轴；

3）当x趋于+或-时，曲线的纵坐标均趋于零；

4）对称轴左、右两边各有一个反弯点，反弯点也对称于对称轴。

3.6材料强度是服从正态分布的随机变量x，其概率密度为f（x），怎样计算材料强度大于某一取值x。

的概率P（x>x。

）？

3.7什么叫结构的可靠度和可靠指标？

我国《建筑结构设计统一标准》对结构可靠度是如何定义的？

答：

结构可靠性是指结构在规定时间（设计基准期）内，规定条件下（正常设计、正常使用和正常维修）能完成预定功能的能力，可靠度是其完成预定功能的概率。

可靠指标为标准正态坐标系中，原点至极限状态曲面的最短距离。

在抗力和作用效应相互独立，且都服从正态分布的简单情况下：

3.8什么是结构的功能函数？

什么是结构的极限状态？

功能函数Z＞0、Z＜O和Z=0时各表示结构处于什么样的状态？

答：

设R为结构构件抗力，S为荷载效应，则Z=R–S就是结构的功能函数。

Z＝0是结构的极限状态。

功能函数Z>0表示结构处于可靠状态，Z<0表示结构处于失效（破坏）状态，Z＝0时表示结构处于极限状态。

3.9什么是结构可靠概率Ps和失效概率pf?

什么是目标可靠指标？

可靠指标与结构失效概率有何定性关系？

怎样确定可靠指标？

为什么说我国“规范”采用的极限状态设计法是近似概率设计方法？

其主要特点是什么？

3.10我国“规范”承载力极限状态设计表达式采用何种形式？

说明式中各符号的物理意义及荷载效应基本组合的取值原则。

式中可靠指标体现在何处？

答：

对于承载力能力极限状态，结构构件应按荷载效应的基本组合或偶然组合，采用下列极限状态设计表达式：

式中——结构重要性系数；

S——荷载效应组合的设计值；

R——结构构件的承载力设计值；

R（·）——结构构件的承载力函数；

fc、fs——混凝土、钢筋的强度设计值；

ak——几何参数的标准值；

上式中的0S，在《规范》各章中用内力设计值（N、M、V、T等）表示；对预应力混凝土结构，除应根据使用条件进行承载力计算及变形、抗裂、裂缝宽度和应力验算外，尚应按具体情况对制作、运输及安装等施工阶段进行验算。

《建筑结构荷载规范》规定：

对于基本组合，荷载效应组合的设计值应从由可变荷载效应控制的组合和由永久荷载效应控制的两组组合中取最不利值确定。

3.11什么是荷载标准值？

什么是活荷载的频遇值和准永久值？

什么是荷载的组合值？

对正常使用极限状态验算，为什么要区分荷载的标准组合和荷载的准永久组合？

如何考虑荷载的标准组合和荷载的准永久组合？

Ø什么是荷载标准值?

什么是可变荷载的频遇值和准永久值?

从理论上讲，某一荷载的标准值应按其具有一定保证率的条件反推得出。

例如，假定其服从正态分布，如果要求95%的保证率，则：

荷载标准值=荷载平均值+1.645荷载标准差。

但由于历史的原因和荷载的复杂性，现行荷载规范中的荷载标准值基本沿用原规范的标准值。

　　可变荷载的频遇值系数，是根据在设计基准期内可变荷载超越的总时间或超越的次数来确定的。

荷载的频遇值系数乘以可变荷载标准值所的乘积称为荷载的频遇值。

　　荷载的准永久值为可变荷载标准值与其准永久值系数的乘积，荷载的准永久值系数是根据在设计基准期内荷载达到和超过该值的总持续时间与设计基准期内总持续时间的比值而确定。

什么是荷载的组合值？

对正常使用极限状态验算，为什么要区分荷载的标准组合和荷载的