第3章练习答案讲解.docx

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第3章练习答案讲解

概率论与数理统计第三章习题

1.一射手对某目标进行了三次独立射击，现将观察这些次射击是否命中作为试验，试写出此试验的样本空间；试在样本空间上定义一个函数以指示射手在这三次独立射击中命中目标的次数；设已知射手每次射击目标的命中率为0.7，试写出命中次数的概率分布。

解：

设A“第i次射中”，i=1,2,3

则门二{（A,A2,A3）,（A,A2,A0，（几,入2,乓）,（瓦,人2,人）,（几,入,入）,

（Ai,A?

A3）,（Ai,A2,A3）,（Ai,A2,A3）}

'1/'2/'3/'4/'5^''6/'7/'8}

令■代表击中目标的次数，则

（l）=3，（'2）=（'3）=（'4）=2，（'5）=（'6）=（，7）=1

（8）=0

P（F：

=3）=P（r）n（0.7）3=0.343

P（=2）=P（JPC3）P（4）=3巳几人2入3）

=30.70.7（1-0.7）=0.441

P（=1）55）P（6）P（7）=3卩冶入2入3）

=30.7（1-0.7）（1-0.7）=0.189

P（=0）=P（8=0）=P（AA2A3）=（1_0.7）3=0.027

所以，•的分布列为

*0123

卫.0270.1890.4410.343；

•服从~B（3,0.7），在Excel依次输入：

=binomdist（0，3，0.7，0），

=binomdist（1，3，0.7，0），

=binomdist（2，3，0.7，0），

=binomdist（3，3，0.7，0），

2.一批零件中有9个合格品、3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个

来使用，若取得废品就不再放回而再取1个，求在取得合格品之前已取

出的废品数的概率分布。

解：

令•代表废品数，则•可能取值为:

0,1,2,3

p（=3）=cl牟gg」2丄9宀

c；2CnC；0c9121110911880

所以，■的分布列为

「012

92754

<121321320

3.

设在10个同类型的一堆产品内混有2个废品，现从中任取3件，每次取1个，试分别就

（1）取后不放回；

（2）取后放回两种不同情况，求出取得废品数的概率分布。

4•自动生产线经调整后出次品的概率是p,若在生产过程中出现次品就立

即要进行调整，试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。

解：

令合格品数为•，则

p（f：

=0）=戸｛两次调整之间生产的是一件次品｝=p

P（F：

^1）^P｛W次调整之间生产一件正品，再是一件次品｝=pq

npq

概率

P（=n）=戸｛两次调整之间前n次生产正品，第（n1）件是次品｝=

所以，芒的分布列为

01

2

3…

n…\廿出

2

3

n，其中q=1_P.

ipPq

pq

pq…

pq…丿

5甲、乙两人分别独立的对同一目标各射击1次，甲、乙击中目标的分别为p1,p2，试求击中目标次数的概率分布。

解：

甲、乙二人分别独立对同一目标各射击一次，令•为击中目标次数,

则•的取值为0,1,2

P（=0）=（1-Pi）（1-P2）

P（=1）=（1-Pl）P2Pl（1-P2）

P（=2^P1P2

所以，•的分布列为

012"

^1—P1）（1—P2）（1—P1）P2+P1（1—P2）P1P2」

已知随机变量折有的可能值是1,2,|l|,N,且已知

P（二k）=a,k=1,2,|l|,N

N

试确定a的值；

（2）试问下式的c取何值能使

（2十

P（m=k）=c—J,k=1,2」ll

13丿

为分布律。

解：

（）1由概率的规范性，可知

NNaaNa

送P（E=k）=1，贝—=—瓦1=—N=a=1,从而a=1;k4k4NNk4N

（2）由概率的规范性，可知

弗&k

k43

:

:

:

:

2k

、P（=k）=1,贝Vvc\-k4k43

所以，•的分布列为

tin

'44-44IM

☆

8.—本500页的书，共有100个错别字，设每个错别字等可能的出现在500页的任何一页上，现考察该书某一页上的错别字数，试用n重

贝努利试验描述之。

1499

解：

每个错别字以概率p出现在该页，而以概率q不出现在该页，

500500

由于错别字是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响，故该页上错

别字字数，~B（100,丄）.

500

9■人类的血型可粗分成0、A、B、AB等四型，设已知某地区人群中这

四种血型人数的百分比依次为0.4、0.3、0.25、0.05,要从该地区任意选出10

人，考察带AB型的人数，试用n重贝努利试验描述之。

解：

由于只关心AB血型的人数，其他血型可不予区分，故在此时每个人血型只有两个可能结果：

AB型或者非AB型。

这样p=0.05是任取一人，其血型为AB

型的概率，而问题可说成是成功概率为p的10重贝努利试验，带AB血型的人数

~B（10,0.05）.

10■某建筑物内装有5个同类型的供水设备，设在任一时刻每个设备被使用的概率是0.2,又设各个设备是否被使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率：

（1）恰有2个设备在使用；

（2最多有2个设备在使用；

（3至少有2个设备在使用；

⑷有多数设备在使用。

解：

设代表设备使用的个数，=0,1,2^,5,由题意，显然~B（5,0.2）

（1）P（F=2）=C；p2q3（0.2）2（0.8）3=0.2048

（2）P（乞2）=P（=0）+P（=1）+P（=2）

=C5，（0.2）0（0.8）5C5（0.2）1（0.8）4C；（0.2）2（0.8）3二0.94208

（3）P（一2）=1-P（=0）-P（=1）

=^C0（0.2）0（0.8）^C5（0.2）1（0.8）^0.26272

（4）有多数设备在使用，即超过半数以上的设备在使用，故•应取3,4,5,即-2,从而

P

（2）=1-P（乞2）=1-0.94208二0.05792

11.设事件A在一次试验中发生的概率为0.3，当在进行多次试验时，若A

发生3次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率：

（1）共进行3次试验；

（2）共进行5次试验。

解：

设•代表事件A发生的次数，由题意~B（n,0.3）

⑴P（_3）=P（=3）

因为试验只进行3次，要指示灯发出信号，则事件A只能出现3次

QQQ

P（=3）=C3（0.3）（0.7）=0.027

⑵P（_3）=P（=3）P（=4）P（=5）

因为试验进行5次，要指示灯发出信号，则事件A可发生3次、4次和5次

P（_3）=C；（0.3）3（0.7）2+C：

（0.3）4（0.7）1+C|（0.3）5（0.7）^0.16308

~B（5,0.3），在Excel中输入：

=1-binomdist（2,5,0.3,1）得0.16308

12■某商店有4名售货员，据统计，每名售货员平均在一小时内用秤的时间

为15分钟，各人何时用秤相互独立。

试问：

（1）该店配备几台秤较为合适？

（2若按（1的结果配秤，一天8小时内平均有多少时间秤不够用？

“1

解：

设代表一小时内用秤的售货员数，贝U•~B（4,丄）

4

二0.3164

（1）P（=0）二C：

=0.42佃

P（、2）=P（=0）P（=1）P（=2）=0.9492

故同时用秤的人数不超过2人的概率接近0.95,从而可配2台秤，这样既不使秤过度闲置，也不致常因秤不够用而影响业务；

（2）由题

（1）,每小时，2台秤的平均使用率为0.9492,那么还有（1-0.9492）1的时

间内秤不够用，而在8小时内，秤不够用的时间就为

（1-0.9492）8=0.4064（小时）

13已知某厂产品的次品率是丄，今从其大批产品中任取10件来检验，问

10

其中是否必有1件次品？

为什么？

解：

任取一件产品为次品的概率为丄，任查十件产品的次品率是在这十件

10

产品中次品出现的频率，两者有区别，可算出任取10件产品其中1件是次品的概率为p二C；0（0.1）（0.9）90.3874,可见，如果经常任抽十件检查，约有38.74%的机会会遇到1件次品。

14.进行8次独立的射击，设每次击中目标的概率均为0.3,试问：

（1）击中几次的可能性最大？

并求出相应的概率；

（2求至少击中目标2次的概率。

解：

设代表击中目标的次数，则=0,，,2,3，,8,显然~B（8,0.3）

（1）（n1）p=2.7,由二项分布的Th.2,取k二ent（（n1）p）=2时，B（2;8,0.3）的值最大，故击中2次的可能性最大p二C；（0.3）2（0.7）6=0.2965；

（2）P（©Z2）=1—P（©=0）—P化=1）=1—C0（0.3）0（0.7）8—。

，（。

⑶丫。

*）7=0.7447.

15■某厂产品的次品率为0.005,问在它生产的1000件产品中:

（1只有1件次品的概率；

（2至少有1件次品的概率；

（3）最大可能有几件次品，概率是多少？

解：

设•代表产品为次品的件数，^=0,1,2,…，1000,显然~B（1000,0.0005）

显然n很大，p很小，从而~P（）,=np=5

M55

⑴P（0.0337

50

（2）P（_1）=1-P（=0）=1e』0.9933

一555

（3）最多可能有5件次品，其概率为P（=5）=^e、0.仃55

16.为了保证设备能够正常运转，需配备适当数量的维修人员（配少了

有时会影响设备正常运转，配多了会造成浪费人力资源），根据检验，

每台设备发生故障的概率是0.01，各台设备情况相互独立，试问：

（1）若由1人负责维护20台设备，有设备发生故障而不能得到及时维修的

概率；

（2若有设备100台，每台发生故障时均需1人去处理，则至少要配多少

维护人员，才能使设备发生故障时不能得到及时维修的概率不超过0.01

解:

（1）设代表一人负责的20台设备中，同时发生故障的台数，.=0,1「，20,显然~P（■）,■二np=0.2

-j-□-□0.2020.2_02

P（_2）=1-P（=0）-P（=1）=1e-e0.01755

0!

1!

⑵设代表100台设备中，同时发生故障的台数，.=0,1/,100,显然~P（'），

=np=1

P（=0）P（=1）P（=2）P（=3）P（=4）=0.9963

故在100台设备中，有4台同时发生故障的概率在0.9963，所以应派4个维修人员,

才能使得设备发生故障而不能得到及时维修的概率不超过0.01.

仃.设要对某一物理量进行测量，已知由于各种原因而导致带过大测量误差的概率是0.05,现在独立的进行了100次测量，求误差过大的次数不小于3的概率。

解：

设代表100次测量中，出现过分布大测量误传的次数，=0,1,…，100,

显然~B（100,0.05），由于n较大p较小,故用泊松分布近似计算，np二5P（_3）=1-P（=0）-P（=1）-P（=2）

1-—e—e—e巧=0.8753

0!

1!

2!

18.设随机变量■服从参数为■的泊松分布，问m为何值时，概率P（F=m）最大。

kkJ

解：

P（!

二k）e-,P（二k—1）ek!

（k—1）!

P（二k）

"

P（二k一1厂k

（1）k,P（二k）P（二k-1）,P（二k）;

（2）=k,P（二k）=P（二k—1）,P（二k）达到最大值；

（1）k,P（二k）：

P（二k-1）,P（二k）

从而，当■非整数时，m二[■],使P（m）最大；当■是整数时，m=或m=•-1,同时使得P（m）最大.

佃一产品的次品率为0.1,检验员每天抽检4次，每次随机抽查10件产品进行检验，如发现次品多于1件，就要调整设备，以•表示1天

要调整设备的次数，求E.

解：

•代表1天要调整设备的次数，=0,1,2,3,4

令代表1次抽检中抽出次品的件数，=0,,,10,显然~B（10,0.1）,

令Ai“第i次抽检时，抽出次品多于1件，从而调整设备”，i二1,2,3,4

P（Ai）=1-PC：

-0）-P（'：

=1）=0.2642

P（Ai）=1-P（Aj）二0.7358

P（P（P（

P（P（

从而

则~B（4,P（Ai））=0）二[P（Ai）]4=0.2931

=1）二C4P（Ai）[P（Ai）]3=0.421

22—2

=2）=C4[P（Ai）]2[P（Ai）]2=0.2267=3）=C3[P（Ai）]3P（Aj）=0.0543

-4）=C4[P（Ai）]4=0.0049

芦「01234"

—〜

029310.4210.22670.05430.0049y

所以，E=00.293什10.42什20.2267+30.0543^40.0049=1.0569或直接用E二np=40.2642=1.0569

20.一长途客车沿途可停k各站，规定途中只可下客不能上客，一个站若无人下客可不停。

设始发时车上乘客数是参数为■的泊松分布随机变量，每个乘客在k各车站中哪一站下车

是等可能的，求有2个乘客在终点站下车的概率p。

解：

用X表示终点站下车的人数，则有

□0

P{X=2}='PiX=2|丫二n?

P〈丫二n]

nd

n

e-C；n!

n_2

:

_n

-n=2n!

e_

n!

k-1

2!

n-2!

kn

t-2

=Z

t卫

c』（k-1i

12!

t!

ktk2

21某生产流水线一天出次品件数E为九=5的泊松分布，若采用新工艺，则有

使•称为’=3的泊松分布，但也有

0.25的可能无效。

现采用新工艺生产,

0.75的可能

天出了2

件次品。

问新工艺有效的概率多大？

（令A二“新工艺有效”。

）

解：

设B表示生产两件次品的事件，新工艺有效生产2件次品的概率

P（B|宀

2!

=0.1120

新工艺无效效生产2件次品的概率

由贝叶斯公式

2k

解：

PC二k）e~'

k!

由P（.=1）=P（・=2）得:

二几2.

ee_

2!

解之得：

’=2

p（n）=p（.=o）p（.=1）

222

二e:

:

*2■：

e3■：

e

23已知■的分布列为

-2

-1

01

31

1

11

3a

3aa

-

6

30.

试求:

（）a的值;

⑵E；

（3）=2-1的分布列；

（4）

用两种方法算出E.

☆

24.设已知

匕〜

'"-202"

0.40.30.3丿

试求E,E2,E（325）,D.

3

解：

E二'XP二x「i=（—2）0.400.3+20.3=「0.2

i=1

3

E^2xSC=Xj）=（—2）2江0.4+0^0.3+22汽0.3=2.8

i3

E（325）=3E2-5=2.85=13.4

D二E2-（E）2=2.8-（-0.2）2=2.76

25.设随机变量■的分布列为

门0、

ipq」

试问p取何值时，使D•达到最大值。

解：

E=1p0q二p

E2=12p0q=p

从而，D二E2-（E）2二p-p2=-（p-g）2£

所以，当p^1时，Dma^1.

24

26.

3次取

袋中有8个球，6个黑球、2个白球，每次从袋中取2个球，取出后不放回。

在第

出球时，所得白球数为•，求E

解：

设A表示前两次取球后剩余i（i=0,1,2）的事件

第三次取得0个白球的概率为:

第三次取得1个白球的概率为:

第三次取得2个白球的概率为:

P（=2A）=晋

C4

第三次取得0个白球的概率为:

P（wCCH

第三次取得1个白球的概率为:

第三次取得2个白球的概率为:

P（=2|A）=0

第三次取得0个白球的概率为:

P（=O|Ao）=1

第三次取得1个白球的概率为：

P（=1IA^）=0

第三次取得2个白球的概率为：

P（=2IA0）=0

根据全概率公式

P（=0）=P（B°）P（=0|B°）P（Bi）P（=0|Bi）P（B2）P（=0|B2）31413,15

146721428

P（=1）=P（B°）P（=1|B°）P（BJP（=1|日）P（B2）P（=1|B2）

仝2.41A0=3

14372147

P（=2）二P（B°）P（=2|B°）P（BJP（=2|BJP（B2）P（=2|B2）

31431

00=

14671428

E八iP（—i）=0151-2丄=0.5y28728

27•—台仪器有3个元件，各个元件发生故障与否相互独立，且发生故障的概率分别为0.2,

0.3，0.4。

求发生故障元件总数的E和D

B表示第二个元件发生故障，C表示第三个元件发生

解：

设A表示第一个元件发生故障,故障。

没有故障的概率为

P（=0）=P（ABC）二P（A）P（B）P（C）=0.80.70.6=0.336

P（=1）=P（ABC）P（ABC）P（ABC）

-0.20.70.60.80.30.60.80.70.4=0.452

P（=2）=P（ABC）P（ABC）P（ABC）

=0.20.30.60.80.30.40.20.70.4=0.188

P（=3）=P（ABC）=0.20.30.4=0.024

i2

EiP（二i）=00.33610.45220.18830.024=0.9

i丄

3

D八i_E2p（=j）

i卫

2222

h[0-0.90.3361-0.90.4522-0.90.1883-0.90.024

-0.61

28.设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2,若一周5个工作日无故障

则机器可产生利润10万元，发生1次故障仍可生利5万元，发生2次故障就没有利润了，若发生3次或3次以上的故障就要亏损2万元。

试求一周利润的期望值。

解：

令•代表一周内机器发生故障的次数，=0,1,|||,5,显然~B（5,0.2），

P（©=0）=0.2汉0.85氏0.32768

2丿

f5\

P（©=1）=0.2^0.8^0.4096

<5、

P（©=2）=0.22沢0.83拓0.2048

<2；

P（_3）=1-P（=0）-P（=1）-P（=2）=0.05792

E=100.32768+50.4096+00.2048+（-2）0.05792=5.126（万元）.