三．（本题满分50分）对于整数n≥4，求出最小的整数f（n），使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f（n）元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为（）
A．B．或C．或D．
【答案】B
【解析】由方程有重根，故∆=4cos
2θ－cotθ=0，
∵0<θ<，⇒2sin2θ=1，⇒θ=或．选B．
3．不等式+logx3+2>0的解集为
A．[2，3）B．（2，3]C．[2，4）D．（2，4]
【答案】C
【解析】令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2），⇒x∈[2，4），选C．
4．设点O在∆ABC的内部，且有+2+3=，则∆ABC的面积与∆AOC的面积的比为（）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解析】如图，设∆AOC=S，则∆OC1D=3S，∆OB1D=∆OB1C1=3S，∆AOB=∆OBD=1.5S．∆OBC=0.5S，⇒∆ABC=3S．选C．
5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（）
A．45个B．81个C．165个D．216个
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为（）
A．B．C．D．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．在平面直角坐标
系xOy中，函数f（x）=asinax+cosax（a>0）在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g（x）=的图像所围成的封闭图形的面积是；
【答案】．
【解析】f（x）=sin（ax+ϕ），周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．
又解：
∫[1－sin（ax+ϕ）]dx=∫（1－sint）dt=．
8．设函
数f：
R→R，满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）－f（y）－x+2，则f（x）=；
【答案】x+1
【解析】令x=y=0，得，f
（1）=1－1－0+2
，⇒f
（1）=2．
令y=1，得f（x+1）=2f（x）－2－x+2，即f（x+1）=2f（x）－x．①
又，f（yx+1）=f（y）f（x）－f（x）－y+2，令y=1代入，得f（x+1）=2f（x）－f（x）－1+2，即f（x+1）=f（x）+1．②
比较①、②得，f（x）=x+1．
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；
【答案】（p+1）2．
【解析】设=n，则（k－）2－n2=，⇒（2k－p+2n）（2k
－p－2n）=p2，⇒k=（p+1）2．
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式（3－an+1）（6+an）=18，且a0=3，则的值是；
【答案】（2n+2－n－3）．
【解析】=+，⇒令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，⇒bn=⨯2n．即=，⇒=（2n+2－n－3）．
12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；
【答案】1
【解析】当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P（否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P'使∠MP'N更大）．于是，延长NM交x轴于K（－3，0），有KM·KN=KP2，⇒KP=4．P（1，0），（－7，0），但（1，0）处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．
三．解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．一项“过关游戏”规则规定：
在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
⑴某人在这项游戏中最多能过几关？
⑵他连过前三关的概率是多少？
14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A（0，），B（－1，0），C（1，0），点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴求点P的轨迹方程；
⑵若直线L经过∆ABC的内心（设为D），且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
【解析】⑴设点P的坐标为（x，y），
（b）k=0时，直线y=与圆④切于点（0，），与双曲线⑤交于（±，），即k=0满足要求．
（c）k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．
（c）k≠0时，k≠时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：
（8－17k2）x2－5kx－=0．
当8－17k2=0或（5k）2－25（8－17k2）=0，即得k=±与k=±．
∴所求k值的取值范围为{0，±，±}．
15．已知α，β是方程4x2－4tx－1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]．
⑴求g（t）=maxf（x）－minf（x）；
⑵证明：
对于ui∈（0，）（i=1，2，3），若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++<．
【解析】⑴α+β=t，αβ=－．故α<0，β>0．当x1，x2∈[α，β]时，
∴f'（x）==．而当x∈[α，β]时，x2－xt<0，于是f'（x）>0，即f（x）在[α，β]上单调增．
∴g（t）
=－==
==
二试题
一．（本题满分50分）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
二．（本题满分50分）在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=（x≥0）上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
⑴证明an>an+1>4，n∈N*；
⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++【解析】⑴点An（0，），Bn（bn，）⇒由|OAn|=|OBn|，⇒bn2+2bn=（）2，⇒bn=－1（bn>0）．
∴0∴0且tn单调减．
由截距式方程知，+=1，（1－2n2bn=n2bn2）
∴an====（）2+（）=tn2+tn=（tn+）2－≥（+）2－=4．
且由于tn单调减，知an单调减，即an>an+1>4成立．
亦可由=bn+2．=，得an=bn+2+，．
∴由bn递减知an递减，且an>0+2+⨯=4．
三．（本题满分50分）对于整数n≥4，求出最小的整数f（n），使得对于任何正整数m，集合{m
，m+1，…，m+n－1}的任一个f（n）元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
【解析】⑴当n≥4
时，对集合M（m，n）={m，m+1，…，m+n－1}，
当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f（n）存在且f（n）≤n．①
取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M（2，n）={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f（n）≥card（T）+1．
但card（T）=[]+[]－[]．故f（n）≥[]+[]－[]+1．②
由①与②得，f（4）=4，f（5）=5．5≤f（6）≤6，6≤f（7）≤7，7≤f（8）≤8，8≤f（9）≤9．
现计算f（6），取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4（k≡0（mod2））时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个
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