一元二次方程的解法大全.docx
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一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全
【直接开平方法解一元二次方程】
2
把方程ax+c=0（a工0）,
化成卍=-二当SUC异号时，两边同时开平方彳鬆=土a
这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例：
用直接开平方法解方程：
2
1.9x-25=0;
2.（3x+2）-4=0;
玄V3）3=473k
2
4.（2x+3）=3（4x+3）.
解：
1.9x-25=0
9x2=25
55
v—■—
33
2
2.（3x+2）-4=0
2
（3x+2）=4
3x+2=±2
3x=-2±2
-2±2
3.Gi十占层
/+2苗+3=4辰x2-273k+3=0
xi=X2=3.
2
4.（2x+3）=3（4x+3）
2
4x+12x+9=12x+9
4x2=0
【配方法解一元二次方程】
方程的两边都除
如疋+-H
a
将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c=0（a丰0）;把常数项移到方程的右边，如ax2+bx=-c;
-x=--*方程的两边都加上一次项系数一半的平方,
以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+'
十^=-2+（£）3把方程的左边变形为一次二项式的完
2aa2a
匕1b'亠4a■匚
全平方，右边合并或一个常数，如心斗丁）亠一「方程的两边同
2a-4a
吋廿半方.得釧阴-广一兀一丸方常初十上=-土二!
竺；处刖鮮该
2a
2a2a
两个一元一次方程.求出两个札apx=-^"-4^
例：
用配方法解下列方程：
22
1.x-4x-3=0;2.6x+x=35;
22
3.4x+4x+1=7;4.2x-3x-3=0.
解：
1.x〔4x-3=0
x2-4x=3
2
x-4x+4=3+4
（x-2）2=7
耳_2=±7?
耳=2士V?
j
…X]=2+TKj=2-JK
2
2.6x+x=35
135
X*产石
工】『「艾1
x十一范十（—）=一■+——
6f6144
伍+A
_841
144
129
X+—+
12'12
1
29
12-
12
.7
5
*-Hi_匕
=——
2'
2
3.4x+4x+1=7
4
=—
6
X3+k+〔壬）3
61
=―十——
44
Cx+i）a
_7
-4
2
4.2x-3x-3=0
4-4
【公式法解一元二次方程】
丹）-用配方法所求出的两个根孔二土史土和心二
-b+-4遑亡
2a.
广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a,b,c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法
称为公式法’而把敢=
（b"一却ac〉O）叫做曲‘+血+c
=0（a丰0）的求根公式。
例：
用公式法解一元二次方程:
1.J+2=2屁
2
2.2x+7x-4=0;
22
4.x-a（3x-2a+b）-b=0（a-2b>0,求x）.
解小J+2=2屈
2屈富+2=0
1a=1jb=—：
1c=2x
ba-4ac=（-2V2）3-4XlX2=0
2
2.2x+7x-4=0
•/a=2,b=7,c=-4.
22
b-4ac=7-4X2X（-4）=49+32=81
3.J+2（柘+1）k+2^3=0
Ta~11b=21）*匚=2V3・
b2-4ac=（2（73+1））2—国浓M2费.
=4（4+273）—8柘
=16+8,^-873=16
-2（73+1）±^15
2
-2^3-214
2
-275-2+4
2
22
4.x-a（3x-2a+b）-b=0（a-2b>0）
x2-3ax+2a2-ab-b2=0
■/a=1,b=-3a,c=2a2-ab-b2
2222
b-4ac=（-3a）-4x1X（2a+ab-b）
222
=9a-8a-4ab+4b
2
=a-4ab+4b
=（a-2b）
当（a-2b>0）时，得
2x1
3a+（a-2b）
"2
3a-（a2b）
3a±（a-2b）
2
2a—t，
a+b・
【不完全的一元二次方程的解法】
这类项方程从形式与解法上比一
-是因式分解，二是直接开平方法:
在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，
般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：
例：
解下列一元二次方法：
714
1.一@=山2*—+—x=Os
」-ur
222
3.（m+1）x=0;4.16x-25=0.
解匚L75k2-6k=0
xCV3x—6）—0
呂二。
我V3x—=0.
/-£=0,
2*l?
2+fex=0
.7,14.
£七）=°
a^7,14厂
用=0或-x4-—0
14198
"7^='25*5="i25
22
3.（m+1）x=0;
其中m+1>0,
2c
x=0.
.••x1=X2=0.
4.16x2-25=0
6x2=25
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