当x<0时，y>1
（6）在（－∞，＋∞）上是增函数
（7）在（－∞，＋∞）上是减函数
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）（）4＝－4.（ × ）
（2）（－1）＝（－1）＝.（ × ）
（3）函数y＝a－x是R上的增函数．（ × ）
（4）函数y＝（a>1）的值域是（0，＋∞）．（ × ）
（5）函数y＝2x－1是指数函数．（ × ）
（6）函数y＝（）1－x的值域是（0，＋∞）．（ √ ）
1．若a＝（2＋）－1，b＝（2－）－1，则（a＋1）－2＋（b＋1）－2的值是（ ）
A．1B.
C.D.
答案 D
【详细分析】a＝（2＋）－1＝2－，b＝（2－）－1＝2＋，
∴（a＋1）－2＋（b＋1）－2＝（3－）－2＋（3＋）－2
＝＋＝.
2．设函数f（x）＝a－|x|（a>0，且a≠1），f
（2）＝4，则（ ）
A．f（－2）>f（－1）B．f（－1）>f（－2）
C．f
（1）>f
（2）D．f（－2）>f
（2）
答案 A
【详细分析】∵f（x）＝a－|x|（a>0，且a≠1），f
（2）＝4，
∴a－2＝4，∴a＝，
∴f（x）＝－|x|＝2|x|，
∴f（－2）>f（－1）．
3．函数f（x）＝ax－（a>0，a≠1）的图象可能是（ ）
答案 D
【详细分析】函数f（x）的图象恒过（－1,0）点，只有图象D适合．
4．已知0≤x≤2，则y＝－3·2x＋5的最大值为________．
答案
【详细分析】令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5
＝（t－3）2＋，
∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝.
题型一 指数幂的运算
例1 化简：
（1）（a>0，b>0）；
（2）（－）＋（0.002）－10（－2）－1＋（－）0.
思维点拨 可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算．
解
（1）原式＝
＝ab－1.
（2）原式＝－＋1
＝－10（＋2）＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
思维升华
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
（1）化简（x<0，y<0）得（ ）
A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y
（2）＝________.
答案
（1）D
（2）
【详细分析】
（1）＝
＝
＝＝2（－x）2（－y）
＝－2x2y.
（2）原式＝
题型二 指数函数的图象和性质
例2
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0（2）已知函数f（x）＝2|2x－m|（m为常数），若f（x）在区间[2，＋∞）上是增函数，则m的取值范围是________．
答案
（1）D
（2）（－∞，4]
【详细分析】
（1）由f（x）＝ax－b的图象可以观察出函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0（2）令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f（x）＝2|2x－m|在[2，＋∞）上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是（－∞，4]．
思维升华
（1）对与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
（2）对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究．
（1）若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．
（2）若函数f（x）＝ax－1（a>0且a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
答案
（1）（－∞，－2]
（2）
【详细分析】
（1）∵y＝2－x＋1的图象过点（0,2），∴y＝2－x＋1＋m的图象过点（0,2＋m），令2＋m≤0得m≤－2.
（2）当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]，
∴a2－1＝2，即a＝.
当0综上，a＝.
题型三 指数函数的应用
例3
（1）k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？
有一解？
有两解？
（2）已知定义在R上的函数f（x）＝2x－.
①若f（x）＝，求x的值；
②若2tf（2t）＋mf（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解
（1）函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0（2）①当x<0时，f（x）＝0，无解；
当x≥0时，f（x）＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，
∵2x>0，∴2x＝2，即x＝1.
②当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m（22t－1）≥－（24t－1），
∵22t－1>0，∴m≥－（22t＋1），
∵t∈[1,2]，∴－（22t＋1）∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞）．
思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f（x）＝g（x）解的个数即为函数y＝f（x）和y＝g（x）图象交点的个数；解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．
（1）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a>0，a≠1）在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A.B．1
C．3D.或3
（2）若关于x的方程|ax－1|＝2a（a>0且a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是（ ）
A．（0,1）∪（1，＋∞）B．（0,1）
C．（1，＋∞）D.
答案
（1）D
（2）D
【详细分析】
（1）令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（负值舍去）．
当0又函数y＝（t＋1）2－2在[a，]上单调递增，
则ymax＝（＋1）2－2＝14，解得a＝（负值舍去）．
综上知a＝3或a＝.
（2）方程|ax－1|＝2a（a>0且a≠1）有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0（1），则0<2a<1，即0②当a>1时，如图
（2），而y＝2a>1不符合要求．
综上，0忽略对底数的讨论致误
典例：
（12分）已知函数y＝（a，b是常数且a>0，a≠1）在区间[－，0]上有ymax＝3，ymin＝，试求a、b的值．
易错分析
（1）误认为a>1，只按一种情况求解，而忽略了0（2）搞错或忽视x2＋2x的范围造成失误．
解 令t＝x2＋2x＝（x＋1）2－1，
∵x∈[－，0]，∴t∈[－1,0]．[2分]
（1）若a>1，函数f（x）＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈[，1]，则b＋a∈[b＋，b＋1]，[4分]
依题意得解得[6分]
（2）若0∴at∈[1，]，
则b＋a∈[b＋1，b＋]，[8分]
依题意得解得[10分]
综上，所求a，b的值为或[12分]
温馨提醒
（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围.
方法与技巧
1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
2．指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与03．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
失误与防范
1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．
2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0（≤0）形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
A组 专项基础训练
（时间：
30分钟）
1．函数f（x）＝ax－2＋1（a>0且a≠1）的图象必经过点（ ）
A．（0,1）B．（1,1）
C．（2,0）D．（2,2）
答案 D
【详细分析】∵a0＝1，∴f
（2）＝2，
故f（x）的图象必过点（2,2）．
2．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝（）2.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>c>bB．c>a>b
C．b>a>cD．a>b>c
答案 D
【详细分析】a>20＝1，b＝1，c<（）0＝1，
∴a>b>c.
3．若函数f（x）＝a|2x－4|（a>0，a≠1），满足f
（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，2]B．[2，＋∞）
C．[－2，＋∞）D．（－∞，－2]
答案 B
【详细分析】由f
（1）＝得a2＝，
∴a＝（a＝－舍去），即f（x）＝（）|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增，
所以f（x）在（－∞，2]上递增，在[2，＋∞）上递减．故选B.
4．已知函数f（x）＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，）B．（，]
C．[，）D．（，]
答案 B
【详细分析】由题意得
∴5．已知实数a，b满足等式2015a＝2016b，下列五个关系式：
①0A．1个B．2个C．3个D．4个
答案
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