分题型讲解一次函数应用.docx
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分题型讲解一次函数应用
一次函数的实际应用练习与讲解
一方案分析题
1.某交组织三好学生旅游，由两名教师带队．现有甲乙两家旅行社报价均为2000元/人．但甲社表示，两名教师免费，学生打7折；乙社由表示，所有人均按6折优惠．
（1）写出甲乙两社所需支付的费用与学生旅游人数（x）人的关系式．
（2）如果你是领队，应选择哪家旅行社更合算？
2.罗汉中学由于教师人数增多，需要到普安购买12张办公桌和一批椅子（椅子数多于桌子数），学校领导到甲、乙两家公司了解价格情况后得知，相同规格和质量的桌子、椅子，甲公司售价是每张桌子200元，每把椅子50元，但买一张桌子送一把椅子，其余的椅子按售价付钱，乙公司售价与甲公司相同，但乙公司桌子、椅子均按售价的8.5折出售．
（1）写出购买椅子数x与到甲公司购买桌子、椅子所需费用y甲（元）的函数关系式．
（2）写出购买椅子数x与到乙公司购买桌子、椅子所需费用y乙（元）的函数关系式．
（3）如果学校派你去甲、乙两公司采购，你会怎样选择公司？
请说明理由．
3.近期，武山县城关初中准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：
每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：
每册收材料费8元，不收设计费．
（1）请分别写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1（元）和乙公司的收费y2（元）的函数关系式．
（2）用图象或计算的方法（任选一种）说明毕业学生人数在什么范围内时：
①选择甲公司合算；
②甲、乙两公司费用一样；
③选择乙公司合算．
4.甲、乙两家灯具店销售同一种灯具，甲商店说：
“购买一只以上，一只按原价付费，其余按原价的五折优惠”．乙商店说：
“一律按原价的六折优惠”．已知原价为120元/只
（1）设购买灯具数为x（x≥1），甲收费为y甲元，乙收费为y乙元，分别写出y甲、y乙与x的函数关系式．
（2）当灯具数为多少时，两商店的收费一样？
（3）当灯具数为18时，选择哪家商店更优惠？
5.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有优惠．甲商场的优惠条件是：
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：
每台优惠20%，
（1）试写出甲、乙两商场的收费y1、y2 （元）与购买台数x之间的关系式；
（2）请你判断何时到那家商场购买更优惠些？
6.为了促进销售，惠及顾客，2014年春节期间，乐普生对某品牌的黄金首饰进行打折销售，具体方法是该品牌的首饰首先一律打九折销售，并且标价满1000元再送100元现金，满2000元送200元现金，依此类推；鼓楼商厦对同一种品牌的首饰打折方式为小于2000元一律打八五折，大于或等于2000元则打八折，这种品牌的黄金首饰在两个商厦的售价都是400元/克，设购买该品牌首饰的实际付费y元．
（1）请你分别写出在这两个商厦购买该品牌的首饰的实际付费y元与购买数量x克（0＜x＜6）之间的关系式；
（2）某女士甲准备在元旦当天购买5克该品牌的首饰，那么她在哪一家商厦购买比较合算？
（3）某女士乙准备在元旦当天花费2000元购买一件该品牌的首饰，那么她在哪一家商厦购买比较合算？
7某服务厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
（I）买一套西装送一条领带；
（II）西装和领带均按定价的90%付款．某超市经理现要到该服务厂购买西装20套，领带若干条（不少于20条）．
（1）设购买领带为x（条），采用方案I购买时付款数为y1（元），采用方案II购买时付款数为yn（元）．分别写出采用两种方案购买时付款数与领带条数x之间的函数关系式；
（2）就领带条数x讨论在上述方案中采用哪种方案购买合算．
二．表格分析题
1.某公司在甲、乙两仓库分别库存水泥12吨和6吨，现需要调往A县10吨，调往B县8吨．两库到A、B两县的路程与运费如表所示（“元/吨．千米”表示每吨水泥运送1千米所需费用）．
路程（千米）
运费（元/吨．千米）
A地
B地
A地
B地
甲库
5
8
8
10
乙库
6
5
5
10
（1）设从乙仓库调往A县的水泥为x吨，求总运费y与x的函数解析式；
（2）若要求总运费不超过900元，问有几种调运方案？
（3）求出
（2）中总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
2.为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．
人均住房面积（平方米）
单价（万元/平方米）
不超过30（平方米）
0.3
超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤60）
0.5
超过m平方米部分
0.7
根据这个购房方案：
（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；
（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．
3.漳州三宝之一“水仙花”畅销全球，某花农要将规格相同的800件水仙花运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的3倍，各地的运费如下表所示：
A地
B地
C地
运费（元/件）
20
10
15
（1）设运往A地的水仙花x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式；
（2）若总运费不超过12000元，最多可运往A地的水仙花多少件？
4.某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．
（l）根据表中提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，l吨水生产出的饮料所获的利润是多少？
1吨水价格x（元）
4
6
用1吨水生产的饮料所获利润y（元）
200
198
（2）为节约用水，这个市规定：
该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元．求W与t的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．
5.小明家为某公司生产蘑菇，他家五月份收获干平菇42.5kg，干香菇35.5kg，按公司收购要求，需将两种蘑菇包装成简装型和精装型两种型号的盒装蘑菇共60盒卖给公司，设简装型的盒数为x（盒），两种型号的盒装蘑菇可获得总利润为y（元），包装要求及每盒获得的利润如下表：
品种型号
装入干平菇
重量（kg）
装入干香菇
重量（kg）
每盒重量
（kg）
每盒利润
（元）
简装型（每盒）
0.9
0.3
1.2
14
精装型（每盒）
0.4
1
1.4
24
（1）用含x的式子表示y；
（2）为满足公司的收购要求，问有哪几种包装方案可供选择？
说明理由．
（3）请计算60盒的蘑菇最大利润是多少？
6.前不久在台湾抗震救灾中，某地将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到A、B两个仓库．甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨．从甲、乙两库到A，B两库的路程和运费如下表：
（1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）函数关系式．
（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
路程（km）
运费（元/吨•km）
甲库
乙库
甲库
乙库
A库
20
15
12
12
B库
25
20
10
8
7.“五一”前夕，某经销商计划花23500元购买A、B、C三种新款时装共50套进行试销，并且购进的C种时装套数不少于B种时装套数，且不超过A种时装套数，设购进A种时装x套，B种时装y套，三种时装的进价和售价如右表所示．
型号
A
B
C
进价（元/套）
400
550
500
售价（元/套）
500
700
650
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）满足条件的进货方案有哪几种？
写出解答过程；
（3）假设所购进的这三种时装能全部卖出，且在购销这批时装的过程中需要另外支出各种费用1000元．通过计算判断哪种进货方案利润最大．
8.县中美水果行准备从北方A市进一批水果，现北方A市有甲、乙、丙三家运输公司欲承担这批水果的运输任务，但只可选择其中一家运输公司，这三家运输公司给中美水果行提供了如下信息：
（如下表）
运输公司
途中速度（km/h）
途中费用（元/千米）
装卸费用（元）
装卸时间（小时）
甲
100
12
1000
2
乙
50
10
2000
4
丙
80
11
1500
3
若这批水果在运输（包括装卸）过程中损耗为200元/小时，记我县到北方A市的距离为X千米．
（1）如果用W1，W2，W3分别表示甲、乙、丙三家运输公司运输时的总费用（包括损耗），求W1，W2，W3与X之间的函数关系式．
（2）应采用哪家运输公司，才能使运输时的总支出费用最少？
三．图像分析题
1.某县一家小型放映厅的盈利额y（元）与销售票数x（张）之间的关系如图所示，其
中保险部门规定：
超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图，回答下利问题；
（1）试求0≤x≤150和150＜x≤200，分别写出盈利额（y）元与x（张）之间的函数关系式；
（2）当售出的票数x为何值时，此放影厅不赔不赚？
当售出的票数x满足何值时，此放影厅要赔本？
当售出的票数x为何值时，此放影厅能赚钱？
（3）当售出的票数x为何值时，此时所获得的利润比x=150时多？
2.甲、乙两人分别以骑摩托车和步行的方式从A地前往B地．甲骑车的速度为30千米/小时，甲到达B地立即返回．乙步行的速度为15千米/小时．已知A，B两地的距离为60千米，甲、乙行驶过程中与A地的距离y（千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．
（1）求甲在行驶的整个过程中，y与x之间的函数关系式；
（2）甲、乙两人同时出发后，经过多长时间相遇？
3.对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息），在甲提供的材料中有：
①这种消费品的进价每件14元
；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图；③每月需各种开支2000元．
（1）为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为多少？
（2）当商品的价格每件多少元时，月利润和除职工最低生活费的余额最大并求出最大值．
（3）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
4.如图是我们耳熟能详的“龟兔赛跑”的情景，兔子的速度为1km/分，
（1）请直接回答：
兔子睡了多长时间？
S1，S2的值分别是多少？
乌龟的速度是多少？
（2）请写出兔子醒来后离起点的距离S和经过的时间t的函数关系式．
（3）乌龟出发几分钟后和兔子相距4千米？
（4）当乌龟和兔子之间的距离小于2千米时，求t的取值范围？
5.水管是圆柱形的物体，在施工中，常常如下图那样堆放，随着的增加，水管的总数
是如何变化的？
如果假设层数为n，物体总数为y．
（1）请你观察图形填写下表，
n
1
2
3
4
…
y
…
（2）请你写出y与n的函数解析式．
6.如图，甲、丙两地相距500km，一列快车从甲地驶往丙地且途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发同向而行，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行以下探究．
（1）甲乙两地之间的距离为多少？
（2）求慢车和快车的速度；
（3）求线段CD所表示的y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
7.城区某环城河道进行整理，如图，在C段和D段河岸需要土方数分别为1025方和1390方，现离河道不远有两建筑工地A和B分别需运走土方数是781方和1584方，利用这些土先填满河岸C段，余下的土填入河岸D段．已知每方土运费：
从A处运到C和D段分别是1元和3元；从B处运到C段D和段，分别是0.6元和2.4元．问怎样安排运土，才能使总费用最少，并求出总运费的值．
8.某农户有一水池，容量为10立方米，中午12时打开进水管向水池注水，注满水后关闭水管同时打开出水管灌溉农作物，当水池中的水量减少到1立方米时，再次打开进水管向水池注水（此时出水管继续放水），直到再次注满水池后停止注水，并继续放水灌溉，直到水池中无水，水池中的水量y（单位：
立方米）随时间x（从中午12时开始计时，单位：
分钟）变化的图象如图所示，其中线段CD所在直线的表达式为y=-0.25x+33，线段OA所在直线的表达式为y=0.5x，假设进水管和出水管每分钟的进水量和出水量都是固定的．
（1）求进水管每分钟的进水量；
（2）求出水管每分钟的出水量；
（3）求线段AB所在直线的表达式．
9.某军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为Q2吨，加油时间
为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数关系如图．回答问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油？
将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟？
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
（3）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？
请通过计算说明理由．
10.某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：
（1）根据图中信息，请你写出一个结论；
（2）写出锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数关系式．
11.
（1999•山西）如图，公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米．
（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式；
（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站．汽车若按原速能否按时到达？
若能，是在几点几分到达；若不能，车速最少应提高到多少？
12.早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与自行车向相反方向的两地上学与上班，如图是他们离家的路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，立即以原来的速度返回并前往学校，若已知小欣步行的速度为50米/分钟，并且妈妈与小欣同时到达学校．完成下列问题：
（1）求小欣早晨上学需要的时间；
（2）求出直线AB的解析式；
（3）求出点C的坐标，并解释点C的实际意义
．
13.如图，直线l1反映了某服装店销售收入y1（元）与销售件数x之间的关系，直线l2反映了该店的销售成本y2（元）与销售件数x之间的关系．
（1）观察图象回答：
①当销售件数x为20的时候，成本是多少元？
这时，该店是否有盈利？
（2）分别求l1、l2对应的函数解析式；
（3）当销售量达到多少件的时候服装店才开始盈利？
14.晚饭后，小伟的爸爸和妈妈去滨海路散步，小伟骑自行车一起去．小伟骑车到达海滨路上的瞭望台后即以原速原路返回，遇到爸爸妈妈后再调头以原速奔向瞭望台．如下图所示是他们离家的路程y（米）与时间x（分）的函
数图象．已知爸爸妈妈散步的速度为每分钟40米．
（1）小伟出发多长时间后第一次与爸爸妈妈相遇？
相遇时离家的距离是多少？
（2）小伟第二次到达瞭望台时已经骑了多少时间？
15.一个安装了两个进水管和一个出水管的容器，每分钟的进水量和出水量是两个常数，且两个进水管的进水速度相同．进水管和出水管的进出水速度如图1所示，某时刻开始到6分钟（至少打开一个水管），该容器的水量y（单位：
升）与时间x（单位：
分）如图2所示．
（1）试判断0到1分、1分到4分、4分到6分这三个时间段的进水管和出水管打开的情况．
（2）求4≤x≤6时，y随x变化的函数关系式．
（3）6分钟后，若同时打开两个水管，则10分钟时容器的水量是多少升？
16.一方有难，八方支援．雅安地震后，全国各地纷纷为雅安捐款捐物．如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150km，甲车满载救援物资从B地驶往C地，乙车卸完救援物资从C地返回B地，两车同时出发，沿公路匀速相向而行．因车流量较大，为防止交通拥塞，特在A地设有交通指挥中心．甲、乙两车到A地的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）的函数图象如图②所示．根据图象进行以下探究：
图象理解：
（1）请在图①中标出A地的大致位置．
（2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．
（3）在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A的距离y1与行驶时间x的函数关系式．
问题解决：
（4）若指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在20km之内（含20km）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．
四．几何图形题
1.如图，新城小区计划用铁栅栏围建一个矩形的车棚ABCD，为了方便存车，在CD边上开了一个lm宽的门，在BC边上开了一个2m宽的门（门不是用铁栅栏做成的）．设AB边长为x（m），AD边长为y（m），且AB＜AD．
（1）若用37m的铁栅栏围建车棚，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）根据新城小区的规划要求，所围建的矩形车棚面积是91m2，在满足
（1）的条件下，求车棚长和宽．
2.如图，在一幅矩形地毯ABCD的四周镶有宽度都是1米的花边．设矩形地毯AB边长为x米．镶有花边后，整个地毯EFGH中FG边长为y米．
（1）若原地毯ABCD的周长为l8米，求y与x的函数关系式不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在
（1）的条件下，当整个地毯EFGH的面积是40平方米，且AB＜BC时，AB的长为多少米？
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P为BC上的一点，且P点不与B、C重合，设CP=x，S△APB=y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
4.如图，△ABC是等边三角形，D为AB边上的一个动点，DE∥BC，延长BC到F，使CF=AD，连接DF交AC于P．
（1）求证：
EP=CP；
（2）若△ABC的边长为a，CF长为b，且a、b满足（a-5）2+
√b-3
=0，求CP长；
（3）若△ABC的边长为5，设CF=x，CP=y，求y与x间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果AD=BF，求证：
△AEF∽△DEA；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？
如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．
6.小华利用院子里一面足够长的墙作为一边，修建一个形状为直角梯形的花园ABCD（如图所示），已知AD∥BC，∠B=90°
，设AB=AD=x米，BC=y米，且x＜y．
（1）其余三边用10米长的建筑材料来修建，恰好全部用完．求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）现在根椐实际情况，所修建的花园面积必须是8平方米，在满足
（1）的条件下，问梯形的两底长各为多少米？
7.（2008•朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm/s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为xs，四边形EBFD的面积为ycm2，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
8.如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC长10cm，设DG=xcm，DE=ycm，求y关于x的函数关系式．
9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分线DE分别交BC、AC边于点D、E，BE与AD相交于点F．设∠C=x，∠AFB=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域
．
10.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．
（1）求边AD的长；
（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
11.（2002•海淀区）如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式
．
12.如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）．设BP为x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
五．动点题型
1.直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O⇒B⇒A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
2.如图所示，在等腰三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC=4米，点P以1米/分的速度从A点出发移动到B点，同时点Q以2米/分的速度从点B移动到C点（当一个点到达后全部停止移动）．
（1）设经过x分钟后，△PCB的面积为y1，△QAB的面积为y2，求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）同时移动多少分钟，这两个三角形的面积相等？
．
3.（2014•新疆）如图，直线y=
x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
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