12.2 解析令f(x)=0,g(x)=0,得5x=-x+2,log5x=-x+2.
作出函数y=5x,y=log5x,y=-x+2的图象,如图所示.
因为函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,所以x1是函数y=5x的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标,x2是函数y=log5x的图象与直线y=-x+2交点B的横坐标.
因为y=5x与y=log5x的图象关于y=x对称,直线y=-x+2也关于y=x对称,且直线y=-x+2与它们都只有一个交点,故这两个交点关于y=x对称.
又线段AB的中点是y=x与y=-x+2的交点,即(1,1),故x1+x2=2.
13.C 解析令t=g(x),x∈[0,1],
则g'(x)=2xln2-2x.
可知存在x0∈(0,1),使g'(x0)=0,则函数g(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,1]上单调递减.
故g(x)在x∈[0,1]上的值域为[1,g(x0)],且g(x0)=
故f(g(x))≥0可转化为f(t)≥0,即a≥t2-3t.
又当x0∈[0,1]时,g(x0)=<2,
因为φ(t)=t2-3t在[1,2]上的最大值为φ
(1)=φ
(2),所以φ(t)在[1,g(x0)]上的最大值为φ
(1).
所以φmax(t)=φ
(1)=1-3=-2.
所以a≥-2.故选C.
14.B 解析∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),
∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.
∴函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.
∵f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)在[-2,0]上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.
由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.
15.A 解析由题意,知f'(x)=ex+1>0在x∈R上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.而f(0)=e0+0-2=-1<0,f
(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);
由题意,知g'(x)=+1>0在x∈(0,+∞)内恒成立,故函数g(x)在(0,+∞)内单调递增.
又g
(1)=ln1+1-2=-1<0,g
(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).
综上,可得0因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)(1)16 解析作出函数y1=和y2=k(x-2)+3的图象如图所示,函数y1的图象是圆心在原点,半径为2且在x轴上方的半圆(包括端点),函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线.因为点A(-2,0),则kPA=
设直线PB是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径,得=2,得kPB=由图可知,当kPB17.8 解析∵f(x+1)=-f(x),
∴f(x+2)=f(x).
又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,∴f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.
18 解析因为对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x).
所以函数f(x)的周期为2.
由f(x)-x-a=0,得f(x)=x+a.
又当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是定义在R上的偶函数,故可画出f(x)的示意图如图所示.
设直线y=x+a与抛物线f(x)=x2在[0,1]之间相切于点P(x0,y0),由f'(x)=2x,可得2x0=1,解得x0=
故y0=,即P,将点P代入y=x+a,得a=-
当直线经过点O,A时,a=0.
若函数y=f(x)-x-a在[0,2]上有三个不同的零点,即直线y=x+a与曲线y=f(x)在[0,2]上恰有三个不同的公共点,则-