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FIR数字滤波器的设计与仿真

郑州大学

本科毕业设计（论文）

题目FIR数字滤波器的设计与仿真

指导老师职称硕士

学生姓名学号20081522142

专业通信工程班级1班

院（系）电子信息工程学院电子工程系

完成时间2012年04月25日

FIR数字滤波器的设计与仿真

摘要

论文针对窗函数法、频率采样法和最优化设计法三种设计方法，采用MATLAB进行FIR滤波器的设计与仿真，并比较了三种方法的特点。

结果表明，在同样的设计指标下，利用等波纹切比雪夫逼近法则的设计可以获得最佳的频率特性和衰耗特性，具有通带和阻带平坦，过渡带窄等优点。

数字滤波器可以利用软件和数字处理硬件两种方式实现，本文在matlab基础上采用了窗函数设计法、波纹逼近设计法、频率采样分别设计了通带和阻带FIR数字滤波器，比较了不同方法设计出滤波器的通带、阻带、过渡带以及阶数，通过分析大量的设计仿真指出了不同设计方法的特点：

窗函数设计法设计方法简便，通带内稳定性高，过渡带宽度随滤波器的阶数变化而变化；波纹逼近法设计出的滤波器阶数较低，计算量较小；最小乘方法误差较低，通带内平稳度高并且最小阻带衰减高。

关键词FIR滤波器/MATLAB/窗函数法/频率采样法/等波纹切比雪夫逼近

THEDESIGNANDSIMUlLATIONOFFIRDIGITALFILTER

ABSTRACT

PaperforWindowsfunctionmethod,thefrequencysamplingmethodanddesignmethodofoptimizationdesignmethodforthree,FIRfilterdesignusingMATLABandsimulation,andcomparesthecharacteristicsofthethreemethods.Resultsindicatethat,underthesamedesignindex,wave-cutthansnowandapproximationrulesofdesigncanachievetheoptimumfrequencyandattenuationcharacteristic,withflatpassbandandstopband,transitionwithnarrowerandsoon.Digitalfilterdevicecanusingsoftwareanddigitalprocessinghardwaretwospecieswayimplementation,thisinMATLABFoundationShangusedhaswindowfunctiondesignmethod,andcorrugatedapproximationdesignmethod,andfrequencysamplingrespectivelydesignhaspasswithandresistancewithFIRdigitalfilterdevice,comparisonhasdifferentmethoddesignoutfilterofpasswith,andresistancewith,andtransitionwithandordernumber,byanalysislargeofdesignsimulationpointedoutthathasdifferentdesignmethodoffeatures:

windowfunctiondesignmethoddesignmethodeasy,passwithwithinstabilityhigh,Transitionwidthchangesdependingonfilterorderchanges;ripplelowerorderapproximationmethodfordesignoffilter,compute-smaller;methodofleastsquareserrorislow,highstabilityandminimuminthepassbandhigherstopbandattenuation.

KEYWORDSFIRfilter，MATLAB，Windowfunction，frequencysamplingmethod，ripplecutthanthesnow，suchasapproximation

目录

摘要I

ABSTRACTII

1绪论1

1.1数字滤波器的研究背景和意义1

1.2数字滤波器的应用及现状1

1.3数字滤波器的设计方法1

2FIR滤波器3

2.1FIR滤波器的基本概念3

2.2FIR滤波器的特点3

2.3FIR滤波器的种类4

3FIR数字滤波器设计5

3.1窗函数法5

3.2频率采样法6

3.3最优化设计6

3.3.1等波纹切比雪夫逼近准则7

3.3.2仿真函数7

4结果分析9

4.1窗函数法仿真结果9

4.2频率采样法10

4.3最优化设计11

总结14

致谢15

参考文献16

附录17

1绪论

1.1数字滤波器的研究背景和意义

当今，数字信号处理技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科；它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。

数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号等等。

上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。

模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。

大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化（采样）和幅度上的离散化（量化），这类模拟信号便成为一维数字信号。

因此，数字信号实际上是数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号的经采样和量化后，得到的是数字信号是一个二维离散空间序列。

数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。

无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输时至关重要的。

在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。

数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。

1.2数字滤波器的应用及现状

数字滤波器精确度高、使用灵活、可靠性高，具有模拟设备所没有的许多优点，已广泛应用于各个学科技术领域，例如数字电视、语音、通信、雷达、声纳、遥感、图像、生物医学以及许多工程应用领域。

随着信息时代数字时代的到来，数字滤波技术已经成为一门极其重要的学科和技术领域。

以往的滤波器大多采用模拟电路技术，但是，模拟电路技术存在很多难以解决的问题，例如，模拟电路元件对温度的敏感性，等等。

而采用数字技术则避免很多类似的难题，当然数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。

现代滤波理论研究的主要内容是从含有噪声的数据记录（又称为时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。

一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。

现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱函数等等）导出一套最佳的估值算法，然后用硬件和软件实现。

目前现代滤波器主要有：

维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器等，很多专家将基于特征分解的频率估计及奇异值分解算法都归入现代滤波器的范畴。

GR雷达信号处理分析系统中的信号分析中的滑动平均谱和常规处理中的反褶积运算采用了现代处理的部分功能。

MATLAB是一套用于工程计算的可视化高性能语言与软件环境。

它集成了数值计算、符号计算、可视化建模、仿真和图形处理等功能。

MATLAB语言运算符丰富，既具有结构化的控制语言，又能面向对象编程，语法限制不严格，具又强大的图形功能和功能强大的工具箱。

它为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。

它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。

MATLAB推出的工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究、工程应用，其中的信号处理（signalprocessing）、图像处理（imageprocessing）、小波（wavelet）等工具箱为数字滤波研究的蓬勃发展提供了有力的工具。

其中MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。

工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。

只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，所以使用非常方便。

MATLAB也是大量的计算机仿真软件中的优秀代表，它在科学研究特别是电子信息科学中有着极为广泛的应用。

MATLAB现已被广泛应用于数学、通信、信号处理、自动控制、神经网络、图形处理等许多不同学科的研究中。

1.3数字滤波器的设计方法

数字滤波器按照单位取样响应

的时域特性可以分为无限脉冲响应（IIR）系统和有限脉冲响应（FIR）系统。

FIR数字滤波器的优点在于它可以做成具有严格线性相位,而同时可以具有任意的幅度特性;它的传递函数没有极点;这保证了设计出的FIR数字滤波器一定是平稳的。

所谓数字滤波器设计，简单地说，就是要找到一组能满足特定滤波要求的系数向量a和b。

而滤波器设计完成后还需要进一步考虑如何将其实现，即选择什么样的滤波器结构来完成滤波运算。

FIR数字滤波器的设计方法很多，其中较为常用的是窗函数设计法、频率采样设计法和最优化设计法。

本文讨论利用窗函数法、频率采样法和等波纹切比雪夫逼近法（调用remez函数）来分别实现各种FIR滤波器的设计。

窗函数法设计的基本思想是把给定的频率响应通过IDTFT（InverseDiscreteTimeFourierTransform），求得脉冲响应，然后利用加窗函数对它进行截断和平滑，以实现一个物理可实现且具有线性相位的FIR数字滤波器的设计目的。

其核心是从给定的频率特性，通过加窗确定有限长单位取样响应

；频率采样法设计的基本思想是把给出的理想频率响应进行取样，通过IDFT从频谱样点直接求得有限脉冲响应；最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法，在FIRDF的最优化设计中,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近（也称最大误差最小化）准则两种。

IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。

IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。

其设计步骤是；先设计模拟滤波器得到传输函数

，然后将

按某种方法转换成数字滤波器的系统函数

。

这一类方法相对容易一些，这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外，还有一些典型的滤波器类型可供我们使用。

另一类是直接在频域或者时域中进行设计的，由于要解连立问题方程，设计时需要计算机作辅助设计。

FIR滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换得方法，经常用的是窗函数法和频率采样法。

还有一种比较有效的方法是切毕雪夫等波纹逼近法，需通过计算机辅助设计完成。

对于线性相位滤波器，通常采用FIR滤波器，其单位脉冲响应应满足一定条件，可以证明其相位特性在整个频带中是严格线性的，这是模拟滤波器无法达到的。

当然，也可以采用IIR滤波器，但必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正，这样增加了设计与实现的复杂性。

一般情况下，数字滤波器是一个线性移不变离散系统，利用有限精度算法来实现。

数字滤波器的设计一般包括：

（1）按照任务的要求，确定滤波器的性能要求；

（2）用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近这一性能要求。

系统函数有无限长单位冲激响应（IIR）系统函数及有限长单位冲激响应（FIR）系统函数两种；

（3）利用有限精度算法来实现这个系统函数。

这里包括选择运算结构、选择合适的字长（包括系数量化及输入变量、中间变量和输出变量的量化）以及有效数字的处理方法（舍入、截尾）等；

（4）实际的技术实现，包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或是用专用的或通用的数字信号处理器来实现。

一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。

数字滤波器的频响特性函数

一般为复函数，所以通常表示为:

（4）

其中

称为幅频特性函数；

称为相频函数。

幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况，而相频特性反映各频率通过滤波器后在时间上的延时情况。

2FIR滤波器

2.1FIR滤波器的基本概念

FIR滤波器：

有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。

因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。

滤波器设计是根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。

2.2FIR滤波器的特点

有限长单位冲激响应（FIR）滤波器有以下特点：

（1）系统的单位冲激响应

在有限个n值处不为零；

（2）系统函数

在

处收敛，极点全部在z=0处（因果系统）；

　　（3）结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。

　　设FIR滤波器的单位冲激响应

为一个N点序列，

，则滤波器的系统函数为

（2-1）

就是说，它有（N—1）阶极点在z=0处，有（N—1）个零点位于有限z平面的任何位置。

FIR数字滤波器可设计得具有严格的线性相位，而且其幅度特性可以随意设计。

FIR滤波器的单位冲激响应h（n）是有限长序列，其系统函数的极点位于Z平面原点，因此FIR滤波器不存在稳定问题。

另外，FIR滤波器还可以采用FFT方法实现其功能，从而大大提高了效率，因此，FIR数字滤波器日益引起人们的注意

对于线性相位的滤波器而言，通过滤波器的信号不存在相位失真，只存在固定单位的延迟，而这一点在数字通信、图象处理、语音合成等诸多应用中都极其重要。

FIR数字滤波器具有线性相位特征的条件是它的单位冲激响应h（n）满足偶对称或者奇对称。

若h（n）满足偶对称，则其相位特性

为：

（1）

若h（n）满足奇对称，则其相位特性

为：

（2）

从频域上看h（n）是长度为N的实序列，所以h（n）的N点DFT满足共轭对称性，即：

H（k）=H*（N-k）而幅度函数则一定呈偶对称特性，即：

（3）

当h（n）为偶对称，信号通过该滤波器时，其通带就产生（N-1）/2点群延迟，滤波器的相频特性是相位过原点的一条直线，其斜率为[-（N-1）/2]，其幅频特性相当于对信号低通滤波；当h（n）为奇对称，信号通过该滤波器时，其通带不但产生（N-1）/2点群延迟，还对所有通带内各种频率的信号都有一个90°移相，这相当于信号先经过一个90°移相器，然后再作带通滤波。

优点：

（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；

（2）可得到多带幅频特性；

（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；

（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；

（5）无反馈运算，运算误差小。

缺点：

（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；

（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。

2.3FIR滤波器的种类

（1）数字集成电路FIR滤波器

一种是使用单片通用数字滤波器集成电路，这种电路使用简单，但是由于字长和阶数的规格较少，不易完全满足实际需要。

虽然可采用多片扩展来满足要求，但会增加体积和功耗，因而在实际应用中受到限制。

设计数字滤波器的任务就是寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H（z）具有指定的频率特性。

（2）DSP芯片FIR滤波器

另一种是使用DSP芯片。

DSP芯片有专用的数字信号处理函数可调用，实现FIR滤波器相对简单，但是由于程序顺序执行，速度受到限制。

而且，就是同一公司的不同系统的DSP芯片，其编程指令也会有所不同，开发周期较长。

图1DSPFIR滤波器

（3）可编程FIR滤波器

还有一种是使用可编程逻辑器件，FPGA／CPLD。

FPGA有着规整的内部逻辑块整列和丰富的连线资源，特别适合用于细粒度和高并行度结构的FIR滤波器的实现，相对于串行运算主导的通用DSP芯片来说，并行性和可扩展性都更好。

3FIR数字滤波器设计

FIR滤波器设计的任务是选择有限长度的

，使传输函数

满足一定的幅度特性和线性相位要求。

由于FIR滤波器很容易实现严格的线性相位，所以FIR数字滤波器设计的核心思想是求出有限的脉冲响应来逼近给定的频率响应。

设计过程一般包括以下三个基本问题：

（1）根据实际要求确定数字滤波器性能指标；

（2）用一个因果稳定的系统函数去逼近这个理想性能指标；

（3）用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。

3.1窗函数法

设计FIR数字滤波器的最简单的方法是窗函数法，通常也称之为傅立叶级数法。

FIR数字滤波器的设计首先给出要求的理想滤波器的频率响应

设计一个FIR数字滤波器频率响应

，去逼近理想的滤波响应

。

然而，窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的，因而必须由理想的频率响应

推导出对应的单位取样响应

，再设计一个FIR数字滤波器的单位取样响应

去逼近

。

设计过程如下：

（3-1）

加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应

乘以窗函数

来产生一个被截断的脉冲响应，即

并且对频率响应进行平滑。

MATLAB工具箱提供的窗函数有：

矩形窗（Rectangularwindow）、三角窗（Triangularwindow）、布拉克曼窗（Blackmanwindow）、汉宁窗（Hanningwindow）、海明窗（Hammingwindow）、凯塞窗（Kaiserwindow）、切比雪夫窗（Chebyshevwindow）。

窗函数主要用来减少序列因截断而产生的Gibbs效应。

但当这个窗函数为矩形时，得到的FIR滤波器幅频响应会有明显的Gibbs效应，并且任意增加窗函数的长度（即FIR滤波器的抽头数）Gibbs效应也不能得到改善。

为了克服这种现象,窗函数应该使设计的滤波器：

（1）频率特性的主瓣宽度应尽量窄,且尽可能将能量集中在主瓣内；

（2）窗函数频率特性的旁瓣ω趋于π的过程中，其能量迅速减小为零。

3.2频率采样法

频率采样法是从频域出发,根据频域采样定理，对给定的理想滤波器的频率响应

加以等间隔的抽样，得到

：

k=0,1,…,N-1（3-2）

再利用

可求得FIR滤波器的系统函数

及频率响应

。

而在各采样点间的频率响应则是其的加权内插函数延伸叠加的结果。

但对于一个

无限长的序列，用频率采样法必然有一定的逼近误差,误差的大小取决于理想频响曲线的形状,理想频响特性变换越平缓,则内插函数值越接近理想值,误差越小。

为了提高逼近的质量，可以通过在频率相应的过渡带内插入比较连续的采样点，扩展过渡带使其比较连续，从而使得通带和阻带之间变换比较缓慢，以达到减少逼近误差的目的。

选取w∈[0,2π]内N个采样点的约束条件为：

（3-3）

增大阻带衰减三种方法：

1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。

2）过渡带的优化设计

利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。

3）增大N。

如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。

代价是滤波器阶数增加，运算量增加。

直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值，但是截止频率难以控制。

典型应用：

用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；

3.3最优化设计

最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法。

在FIRDF的最优化设计中,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近（也称最大误差最小化）准则两种。

实际设计中,只有采用窗函数法中的矩形窗才能满足前一种最优化准则,但由于吉布斯（Gibbs）效应的存在，使其根本不能满足设计的要求。

为了满足设计的要求,可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应,但此时的设计已经不能满足该最优化准则了。

因此,要完成FIRDF的最优化设计,只能采用后一种优化准则来实现。

3.3.1等波纹切比雪夫逼近准则

在滤波器的设计中,通常情况下通带和阻带的误差要求是不一样的。

等波纹切比雪夫逼近准则就是通过对通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段（通常指的是通带和阻带）的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值。

尽管窗函数法与频率采样法在FIR数滤波器的设计中有着广泛的应用,但两者不是最优化的设计。

通常线性相位滤波在不同的频带内逼近的最大容许误差要求不同。

等波纹切比雪夫逼近准则就是通过通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段（通常指的是通带和阻带）的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值，即使得

和

之间的最大绝对误差最小。

等波纹切比雪夫逼近是采用加权逼近误差

，它可以表示为：

（3-4）

其中，

为逼近误差加权函数在误差要求高的频段上，可以取较大的加权值，否则，应当取较小的加权值。

尽管按照FIR数字滤波器单位取样响应h（n）的对称性和N的奇、偶性，FIR数字滤波器可以分为4种类型，但滤波器的频率响应可以写成统一的形式：

（3-5）

其中，k∈{0,1},H（ω）为幅度函数，且是一个纯实数，表达式也可以写成统一的形式：

（3-6）

其中，

为ω的固定函数，

为M个余弦函数的线性组合。

3.3.2仿真函数

利用数字信号处理工具箱中的remezord和remez函数可以实现FIRDF的最优化设计。

在此先介绍这两个函数:

（1）n,fo,ao,weights=remezordf,a,dev

功能:

利用remezord函数可以通过估算得到滤波器的近似阶数n,归一化频率带边界fo,频带内幅值ao及各个频带内的加权系数weights。

输入参数f为频带边缘频率,a为各个频带所期望的幅度值,dev是各个频带允许的最大波动。

（2）