矩形的判定专项练习30题.docx
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矩形的判定专项练习30题
矩形的判定专项练习30题(有答案)
1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E、F为AB上两点,且△DAF≌△CBE.
求证:
(1)∠A=90°;
(2)四边形ABCD是矩形.
2.如图,已知平行四边形ABCD,∠ABC,∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F,BE、CF交于点G,点H为BC的中点,GH的延长线交GB的平行线CM于点M.
(1)试说明:
∠BGC=90°;
(2)连接BM,判断四边形GBMC的形状并说明理由.
3.如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE交于点E.
(1)四边形OCDE是矩形吗?
说说你的理由;
(2)请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形,其它条件都不变,你能得出什么结论?
根据改编后的题目画出图形,并说明理由.
4.△ABC中,AD⊥BC于D,点E、F分别是△ABC中AB、AC中点,当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是矩形?
说明理由.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
(1)用尺规作图的方法,作出△AOB平移后的△DEC,其中平移的方向为射线AD的方向,平移的距离为线段AD的长;(要求:
用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.)
(2)观察图形,判断四边形DOCE是什么特殊四边形,并证明.
6.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,延长OA到N,ON=OB,再延长OC至M,使CM=AN,求证:
四边形NDMB为矩形.
7.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作BD的平行线CE,过点D作AC的平行线DE,CE与DE相交于点E,试说明四边形OCED是矩形.
8.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E、F分别是边BC、CD的中点,直线EF交边AD的延长线于点M,连接BD.
(1)求证:
四边形DBEM是平行四边形;
(2)若BD=DC,连接CM,求证:
四边形ABCM为矩形.
9.如图,在△ABC中,点O是AC边上的中点,过点O的直线MN∥BC,且MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,点P是BC延长线上一点.求证:
四边形AECF是矩形.
10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,点E是BC的中点,连接AC、DE相交于点O.
(1)试说明:
△AOD≌△COE;
(2)若∠B=
∠AOE,试说明四边形AECD是矩形的理由.
11.如图,以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE,若∠BAC=150°,求证:
四边形AEFD为矩形.
12.
(1)在等腰三角形ABC中AB=BC,∠ABC=90°,BD⊥AC,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AE=4,FC=3,求EF长.
(2)如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
①求证:
△ABF≌△ECF;
②若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:
四边形ABEC是矩形.
13.如图,AD是△ABC的中线,过点A作AE∥BC,过点B作BE∥AD交AE于点E,
(1)求证:
AE=CD;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADBE是矩形?
请说明理由.
14.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,点G在边BC上,且CG=
(AD+BC).
(1)求证:
四边形DEGF是平行四边形;
(2)连接DG,若∠ADG=2∠ADE,求证:
四边形DEGF是矩形.
15.已知,如图在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,直线AE∥BC,过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F,求证:
四边形AECF是矩形.
16.已知:
如图,在△ABC中,D、E、F分别是AC、AB、BC的中点,且CE=
AB.
求证:
四边形CFED是矩形.
17.如图,平行四边形ABCD中,EF过AC的中点O,与边AD、BC分别相交于点E、F;
(1)试说明四边形AECF是平行四边形.
(2)若EF过AC的中点,且与AC垂直时,试说明四边形AECF是菱形.
(3)当EF与AC有怎样的关系时,四边形AECF是矩形.
18.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC上一点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F.
(1)说明四边形AEDF是矩形.
(2)试问:
当点D位于BC边的什么位置时,四边形AEDF是正方形?
并说明你的理由.
19.如图,△ABC中,D为边AC的中点,过点D作MN∥BC,CE平分∠ACB交MN于E,CF平分∠ACG交MN于F,求证:
(1)ED=DF;
(2)四边形AECF为矩形.
20.如图,菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:
四边形OBEC是矩形.
21.如图,在△ABC中,O是AC上的任意一点,(不与点A,C重合),过点O作直线l∥BC,直线l与∠BCA的平分线相交于点E,与∠DCA的平分线相交于点F.
(1)OE与OF相等吗?
为什么?
(2)探索:
当点O在何处时,四边形AECF为矩形?
为什么?
22.(2013•沙湾区模拟)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且
AF=BD,连接BF.
(1)求证:
D是BC的中点.
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
23.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,∠OBC=∠OCB,求证:
四边形ABCD是矩形.
24.如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点,且AD=2AB,AN,BM相交于P,DN,CM相交于Q.求证:
PMQN为矩形.
25.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且AF⊥BC,求证:
四边形AFCE是矩形.
26.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上的一点,过点A作AF∥BE,交ED的延长线于点F,连接AE,CF.
(1)求证:
AF=CE;
(2)如果AC=EF,则四边形AFCE是矩形.
27.如图,DB∥AC,且DB=
AC,E是AC的中点,
(1)求证:
BC=DE;
(2)连接AD、BE,探究:
当△ABC满足什么条件时,四边形DBEA是矩形?
并说明理由.
28.如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE交于点E,四边形OCED是矩形吗?
说说你的理由.
29.已知:
如图,BC是等腰△BED底边ED上的高,四边形ABEC是平行四边形.
求证:
四边形ABCD是矩形.
30.如图,已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE.
求证:
四边形BCED为矩形.
矩形的判定专项练习30题参考答案:
1.
(1)∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵△DAF≌△CBE,
∴∠A=∠B,
∴2∠A=180°,
∴∠A=90°;
(2)∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
又∵∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形
2.
(1)∵∠ABC+∠BCD=180°,BE、CF平分∠ABC,∠BCD,
∴∠GBC+∠GCB=90°,∴∠BGC=90°;
(2)∵点H为BC的中点,∴BH=CH=GH,
∵GB∥CM,∴∠BGH=∠CMH,
∵∠HBG=∠HGB,∴∠HCM=∠HMC,
∴MH=BH=CH=GH,
∴四边形GBMC为矩形
3.
(1)四边形OCDE是矩形.
证明:
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴∠DOC=90°,
∴四边形OCED是矩形.
(2)任意改变四边形ABCD的形状,四边形OCED都是平行四边形(答案不唯一).
理由如下:
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
4.满足△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
∴BD=CD,
∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点,
∴DF∥AB,ED∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∵∠BAC=90°
∴AEDF是矩形.
5.
(1)所作图形如图所示:
(2)四边形DOCE是矩形.
∵△DCE是由△AOB平移后的图形,
∴DE∥AC,CE∥BD.
∴四边形DOCE是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.即∠DOC=90°
∴四边形DOCE为矩形.
6.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=OC,OD=OB,
∵AN=CMON=OB,
∴ON=OM=OD=OB,
∴四边形NDMB为平行四边形,
∵MN=BD,
∴平行四边形NDMB为矩形
7.∵DE∥AC,CE∥BD,
∴DE∥OC,CE∥OD
∴四边形OCED是平行四边形,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形
8.
(1)证明:
∵梯形ABCD中,AD∥BC,即DM∥BE,
∵E、F分别是边BC、CD的中点
∴EF∥BD,
∴四边形DBEM是平行四边形.
(2)证明:
连接DE,
∵DB=DC,且E是BC中点,∴DE⊥BC,
∴DE∥AB.
又∵AB⊥BC,
∴AB∥DE
∵由
(1)知四边形DBEM是平行四边形,
∴DM∥BE且DM=BE,
∴DM∥EC且DM=EC,
∴四边形DMCE是平行四边形,
∴CM∥DE,
∴AB∥CM.
又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形,
∵AB⊥BC,∴四边形ABCM是矩形.
9.∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理,OC=OF,
∴OE=OF.
∵AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=
∠ACB,
同理,∠ACF=
∠ACP,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=
(∠ACB+∠ACP)=
×180°=90°,
∴四边形AECF是矩形.
10.
(1)∵BC=2AD,点E是BC的中点,
∴EC=AD.
∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CEO,∠DAO=∠ECO.
在△AOD和△COE中
,
∴△AOD≌△COE(ASA);
(2)∵AD=BE,AD∥BE,
∴四边形ABED是平行四边形;
同理可得:
四边形AECD是平行四边形.
∴∠ADO=∠B.
∵∠B=
∠AOE,
∴∠AOE=2∠B.
∴∠AOE=2∠ADO.
∵∠AOE=∠ADO+∠DAO,
∴∠OAD=∠ODA.
∴OA=OD.
∴AC=DE.
∴四边形AECD是矩形.
11.:
∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,
∴∠DBF=∠ABC.
又∵BD=BA,BF=BC,
∴△ABC≌△DBF,
∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EFC,
∴AB=EF=AD,
∴四边形DAFEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
∵∠BAC=150°,
∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°,
∴四边形AEFD为矩形.
12.1)解:
∵ABC中AB=BC,∠ABC=90°,BD⊥AC,
∴∠A=∠C=45°,CD=AD,
∴BD=CD=AD,BD平分∠ABC,
∴∠EBD=45°=∠C,
∵BD⊥AC,DE⊥DF,
∴∠BDC=∠EDF=90°,
∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF,
∴∠EDB=∠FDC,
∵在△EDB和△FDC中
∴△EDB≌△FDC(ASA),
∴FC=DE=3,
同理△AED≌△BFD,
∴DF=AE=4,
在Rt△EDF中,由勾股定理得:
EF=
=5;
(2)①证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵CD=CE,
∴AB∥CE,AB=CE,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AF=FE,BF=FC,
∵在△ABF和△ECF中
∴△ABF≌△ECF(SSS);
②证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D,
∵∠AFC=2∠D,
∴∠AFC=2∠ABC,
∵∠AFC=∠ABC+∠FAB,
∵∠ABC=∠FAB,
∴AF=FB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE=2AF,BC=2BF,
∴AE=BC,
∵四边形ABEC是平行四边形,
∴四边形ABEC是矩形.
13.
(1)∵AE∥BC,BE∥AD,
∴四边形ADBE是平行四边形,
∴AE=BD,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∴AE=CD.
(2)当AB=AC时,四边形ADBE是矩形,理由是:
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
又∵四边形ADBE是平行四边形,
∴四边形ADBE是矩形
14.1)证明:
如图,连接EF.
∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,
∴
,EF∥AD∥BC.
∵
,
∴EF=CG.
∴四边形EGCF是平行四边形.
∴EG=FC且EG∥FC.
∵F是CD的中点,
∴FC=DF.
∴EG=DF且EG∥DF.
∴四边形DEGF是平行四边形.
(2)证明:
连接EF,将EF与DG的交点记为点O.
∵∠ADG=2∠ADE,
∴∠ADE=∠EDG.
∵EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEO.
∴∠EDG=∠DEO.
∴EO=DO.
∵四边形DEGF是平行四边形,
∴
,
.
∴EF=DG,
∴平行四边形DEGF是矩形.即四边形DEGF是矩形.
15.∵点D是AC的中点,
∴DA=DC,
∵AE∥BC,
∴∠AED=∠CFD,
在△ADE和△CDF中,
,
∴△ADE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,
又∵AE∥BC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AE∥BC,EF∥AB,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴AB=EF,
∵AB=AC,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
16.∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点,
∴DE∥BC,且DE=
BC,DF=
AB,CF=
BC,
∴DE=CF,
∴四边形CFED平行四边形,
又∵CE=
AB,
∴CE=DF,
∴平行四边形CFED是矩形,
故四边形CFED是矩形.
17.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴△AEO∽△CFO,
∴
=
,
∵OA=CO,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)证明:
∵四边形AECF是平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴平行四边形AECF是菱形;
(3)解:
当EF=AC时,四边形AECF是矩形,
理由是:
由
(1)知:
四边形AECF是平行四边形,
∵AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形
18.
(1)∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠AFD=∠AED=∠A=90°,
∴四边形AEDF是矩形;
(2)当D时BC的中点时,四边形AEDF是正方形;JU
理由:
∵D是BC的中点,
∴BD=DC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
又∵DF⊥AB,DE⊥AC,
∴∠BDF=∠DEC
∴△BFD≌△DCE,
∴DF=DE,
∴矩形AEDF是正方形.
19.
(1)∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACG,
∴∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCG,
又∵MN∥BG,
∴∠DEC=∠ECB,∠DFC=∠FCG,
∴∠DEC=∠DCE,∠DFC=∠DCF,
∴DE=DC,DF=DC,
∴DE=DF.
(2)∵D为AC的中点,
∴AD=DC,
又DE=DF,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCG,
∴∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF为矩形
20.∵BE∥AC,CE∥DB,
∴四边形OBEC是平行四边形,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴平行四边形OBEC是矩形
21.
(1)解:
OE=OE,
理由是:
∵直线l∥BC,
∴∠OEC=∠ECB,
∵CE平分∠ACB,
∴∠OCE=∠BCE,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理OF=OC,
∴OE=OF.
(2)解:
O在AC的中点上时,四边形AECF是矩形,
理由是:
∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵OE=OF=OC=OA,
∴AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形
22.
(1)证明:
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE(1分)
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.(2分)
∵∠AEF=∠DEC,
∴△AEF≌△DEC.(3分)
∴AF=DC,
∵AF=BD
∴BD=CD,
∴D是BC的中点;(4分)
(2)四边形AFBD是矩形,(5分)
证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,(6分)
∵AF=BD,AF∥BC,
∴四边形AFBD是平行四边形,(7分)
∴四边形AFBD是矩形.
23.∵∠OBC=∠OCB,
∴OB=OC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OC=OA=
AC,OB=OD=
BD,
∴AC=BD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
即四边形ABCD是矩形
24.∵ABCD为平行四边形,
∴AD平行且等于BC,
又∵M为AD的中点,N为BC的中点,
∴MD平行且等于BN,
∴BNDM为平行四边形,
∴BM∥ND,
同理AN∥MC,
∴四边形PMQN为平行四边形,(5分)
连接MN,
∵AM平行且等于BN,
∴四边形ABNM为平行四边形,
又∵AD=2AB,M为AD中点,
∴BN=AB,
∴四边形ABNM为菱形,
∴AN⊥BM,
∴平行四边形PMQN为矩形.(10分)
25.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,AE∥FC,
∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵AF⊥BC,
∴∠AFC=90°,
则四边形AECF为矩形.
26.
(1)证明:
∵AF∥BE,
∴∠AFD=∠CED,∠FAD=∠DCE,
∵D是AC的中点,
∴AD=DC,
在△FAD和△ECD中
,
∴△FAD≌△ECD(AAS),
∴AF=CE;
(2)证明:
∵△FAD≌△ECD,
∴FD=DE,
∵AD=DC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∵AC=EF,
∴平行四边形AFCE是矩形
27.
(1)证明:
∵E是AC的中点,
∴EC=
AC,
∵DB=
AC,
∴DB=EC,
又∵DB∥AC,
∴四边形BCED是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
∴BC=DE;
(2)解:
△ABC满足AB=BC时,四边形DBEA是矩形.
理由如下:
∵E是AC的中点,
∴AE=
AC,
∵DB=
AC,
∴DB=AE,
又∵DB∥AC,
∴四边形DBEA是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
∵AB=BC,E为AC中点,
∴∠AEB=90°,
∴平行四边形DBEA是矩形,
即△ABC满足AB=BC时,四边形DBEA是矩形.
28.是矩形.(1分)
理由:
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴DE⊥CE,
∴∠E=90°,
∴平行四边形OCED是矩形
29.∵BC是等腰△BED底边ED上的高,
∴EC=CD,
∵四边形ABEC是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CE=CD,AC=BE,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BE,BE=BD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形
30.在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE又DE=BC.
∴四边形BCED为平行四边形.在△ACD和△ABE中,
∵AC=AB,AD=AE,∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE,
∴△ADC≌△AEB(SAS),∴CD=BE.
∴四边形BCED为矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形)