悬链线趣谈.docx
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悬链线趣谈
约翰·伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:
“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?
”
这就是著名的“最速降线”问题(TheBrachistochroneProblem)。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(GuillaumeFrancoisAntoniedel'Hospital1661-1704)、雅可比·伯努利(JacobBernoulli1654-1705)、莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)和牛顿(IsaacNewton1642—1727)都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。
后来欧拉(EulerLonhard,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题
(TheHangingChainProblem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。
在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary)。
伽利略(Galileo,1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
惠更斯(Huygens,1629~1695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。
到1691年,也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程,解此方程并适当选取参数,即得悬链线。
悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!
之所以提到悬链线问题,有两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的几个结论,可以用变分法来证明!
据说牛顿看到题目后花了一个晚上就解出来了,也是第一个引入变分法的,伯努利的说法是:
"我从他的利爪认出了这头狮子"。
神奇的数e出现了,就写在蜘蛛丝上面。
在薄雾的清晨,让我们观察昨夜织成的蜘蛛网,具黏性的丝,负载着小水珠的重量,弯曲成一条条的悬链线,水珠沿着曲线排成美丽的项链。
当晨曦穿透雾气,照射在蜘蛛网上,闪耀着彩虹色的亮光,就像一盘夺目的珍珠,荣耀归功于e。
──法布尔
法布尔(Fabre,1823~1915)是法国著名的昆虫学家,他说:
「在昆虫的世界里,可以激发我所有的思想与灵感。
」这份「热情」(passions)推动着他研究昆虫的生活与行为,并且写出《昆虫记》之不朽名著,因而被后人尊称为「昆虫诗人」或「昆虫学界的荷马(Homer)」。
他观察到的蜘蛛网项链,就是上述那段话的由来。
问题的提出
固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程式是什么?
这就是著名的「悬链线问题」(thehangingchainproblem)。
在1690年由贾可比?
贝努利(JakobBernoulli, 1654~1705)公开提出来,向数学界挑战,征求答案。
在微积分初创时期,它正好可用来考验微积分的威力。
这是一段有趣而又极具启发性的历史,值得我们重温一遍,细细品味。
在大自然中,除了悬垂的项链与蜘蛛网的水珠项链外,我们还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary)。
由大自然引导出来的数学,让我们觉得「有土、有根」,并且沾染、散发着「就在身边的亲切感」。
大家都看过海豚跃水的表演,以及石头(或炮弹)飞过天际的现象,并且知道它们的轨迹都是拋物线(parabola),这是超乎欧氏几何的曲线。
基本上,欧氏几何只研究由直线与圆所交织出来的图形世界。
亚里斯多德的错误
然而古希腊伟大哲学家(百科全书般的人物)亚里斯多德(Aristotle,384~322B.C.),他却认为石头飞过天空的轨道应如图六所示,因为根据他的「有机目的观」的物理学与哲学,地面上的「自然运动」(naturalmotion)是直线,所以石头飞出去是直线,掉下来也是直线并且垂直地面。
这个错误两千年后才由伽利略(Galileo,1564~1643)加以修正,并且得到轨迹的正确方程式为二次函数y=ax2+bx+c,这不必用到微积分就可以求出来。
事实上,伽利略不懂微积分,那时微积分还未真正诞生。
伽利略的错误
伽利略比贝努利更早注意到悬链线,但是「螳螂捕蝉,黄雀在后」,他也犯了错误:
他猜测悬链线为拋物线。
从外表看起来,悬链线的确很像拋物线,然而实际上并不是!
惠更斯(Huygens,1629~1695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但正确的答案这个时候他也求不出来。
这是大自然的一个深刻秘密,只有微积分可以揭开它。
两点启示
首先是,检验错误易,建立真理难,即「理未易明,善未易察」。
其次是,伟大的人物可能犯伟大的错误。
因此,我们要时时警觉到费因曼(Feynman,1918~1988)所说的「科学就是怀疑专家会有错误」,更进一步要如笛卡儿(Descartes,1596~1650)之持「系统地、方法地怀疑」的态度。
科学哲学
这些启示正好就是,在现代科学哲学中,波柏(K.Popper,1902~1995)所提倡的「否证论」(Falsificationtheory)之出发点。
否证论的要旨是:
无论我们观察了多少只的白色天鹅,都没有证明「凡是天鹅都是白色的」这个「理论」,但只要出现一只黑天鹅,就否证了该理论。
换言之,我们虽然无法证明一个科学理论是对的,但是我们可以透过批判讨论(criticaldiscussions)找出理论的错误所在,逼使胡说八道现原形,甚至否证、推翻它,将科学理论不断地推陈出新。
科学的进展是,成功踏着错误前进。
在这个观点之下,科学方法就是「尝试改误」(trialanderror),从错误中学习。
特别地,前人的错误经验,对后人更具有启发性与教育价值。
可惜,这几乎都被我们的教育忽略了,而只讲授成功的典范。
微积分驯服悬链线
伽利略的错误与惠更斯的无能为力,真正的理由是缺乏微积分工具,要驯服悬链线就必须用到微积分!
我们知道,微积分经过两千年的酝酿,到了十七世纪后半叶,才由牛顿(Newton,1642~1727)与莱布尼慈(Leibniz,1646~1716)两人独立地发明。
牛顿在1660年代发明,但直到1711年才发表;莱布尼慈在1670年代发明,在1684年就发表,比牛顿还早公诸于世。
微积分基本上是要探求曲线的切线与曲线所围成的面积这两个问题。
它们的解决都必须经过「无穷步骤」,才能得到答案,落实于取极限或无穷小的演算。
换句话说,微积分是道道地地的「无穷之学」(thescienceofinfinity),这是微积分之所以深刻、困难与迷人的理由。
牛顿与莱布尼慈的微积分,最主要的内涵是:
建立微分法的系统演算规则并且看出微分与积分的互逆性。
微分法的正向演算(即由f(x)求出f'(x)),解决了求切线、求极值、求速度、加速度以及一切变化率的问题。
微分法的反向演算(即由f'(x)求出f(x)),解决了两千年的求积分之难题以及运动现象的里程问题等等。
更要紧的是,面对大自然变化万千的现象,利用「物之理」与微分法,我们可以将一条未知曲线(或一个未知函数),网在一个微分方程式之中,再利用「积分法」(即反微分法),解开网子,求得未知曲线(或未知函数)。
这和我们在中学时代,利用代数方程式网住未知数x,再求解方程式的手法完全一样。
微分法是人类苦练两千余年才得到的宝剑,削金斩铁,锐利无比。
当贾可比·贝努利在1690年提出「悬链线问题」后,隔年(1691年)莱布尼慈、惠更斯(当时他已62岁)与约翰·贝努利(JohannBernoulli,1667~1748,贾可比·贝努利之弟)都利用这一把利器,求得正确的答案:
y=(eax+e-ax)/(2a)
此地我们用了较后来才出现的现代数学术语与记号来表达,下面我们也要按此要领,先建立悬链线所满足的微分方程,然后再求解之。
假设链子的质料是均匀的且单位长度的重量为ρ,且s为AB之间的长度,悬链线AB之中A点的张力为H(水平张力),B点的张力为T(切线方向),而且还有AB受到的重力,于是得
Tcosθ=H而且Tsinθ=ρs
考虑B点:
dy/dx=tanθ=(Tsinθ)/(Tcosθ)=ρs/H...(*)
弧长公式:
(dS)2=(dx)2+(dy)2
对(*)微分,得到
___________
d2y ρds ρ√(dx)2+(dy)2ρ __________
--- =---- =--------------- = √1+(dy/dx)2
dx2 Hdx Hdx
令p=dy/dx化简且两边不定积分得ln(p+√1+p2)=ρx/H+C
由于当x=0时,p=dy/dx=0,将此初始条件代入得C=0。
为方便令a=ρ/H
求得dy/dx=p=(eax-e-ax)/2
最终求出y=(eax+e-ax)/(2a)此即为悬链线的方程式,这里的a与链子的质料有关
它是一个超越函数(transcendentalfunction),而拋物线y=ax2+bx+c只是一个代数函数(algebraicfunction),两者的难易度、深浅度相差非常大。
今日我们定义函数coshx=(ex+e-x)/2
sinhx=(ex-e-x)/2分别称为双曲余弦函数与双曲正弦函数。
因此,(9)式可以改写成
y=1/acosh(ax)(10)
数学发现的狂喜
微积分发明后,在欧陆瑞士的贝努利家族,因为勤于跟德国的莱布尼慈通信,所以是第一批学会微积分的人。
利用微积分工具,约翰解决了悬链线问题,反倒是提问题的哥哥贾可比没有解出来。
为此,约翰尝到发现的狂喜,即使是经过27年后,胜利的甜蜜滋味仍旧跃然纸上。
事情是这样的:
因为约翰一直对外宣称是他而不是贾可比求得答案,有一位同事提出质疑,所以约翰写信说明这件事。
他在1718年(此时贾可比已过世十三年)写道:
你说我的哥哥贾可比提出(悬链线)问题,这是对的,但这并不意谓着他也求得答案,不是吗?
事实上,他根本没有算出答案。
当他在我的建议下,提出这个问题时(我是第一个想到此问题的人),我们两人都不会求解。
对于求解不出这件事,我们同感苦恼、绝望。
直到莱布尼慈先生在1690年经由《莱比锡》(Leipzig)杂志p.360,透露消息说,他已求得答案,但暂时不公布,预留时间给其它分析学家,也有发现的机会。
这鼓舞了我们兄弟两人,重新思考这个难题。
我哥哥的努力并没有成功,而我比较幸运,因为我找到了求解此问题的技巧(这样说并不是「老王卖瓜」,我何必隐藏或歪曲真相呢?
)…第二天早晨,我的内心充满着狂喜,急忙去找哥哥,发现他仍然在跟他的「戈登结」(Gordianknot)苦斗,没有胜利的迹象,因为他总是和伽利略犯同样的错误,把悬链线想成是拋物线。
我对他说:
停!
停!
不要再折磨自己,不要尝试去证明悬链线就是拋物线,因为这根本是错误的。
悬链线问题的解决,有苦有乐,并且标志着新发明的微积分之伟大胜利,它比美于五年后在1696年约翰所提出著名的「最速下降线问题」(thebrachistochroneproblem),这是另一个美丽的数学发现故事(以后有机会再介绍)。
关于数学的苦乐,现代法国布尔巴基(Bourbaki)学派的数学家魏尔(A.Weil)说得更明白,他说:
每位真正的数学家都曾经历过一种清澄的狂喜,阵阵欢欣的情绪一波接着另一波,像奇迹般地产生…,这种感觉可能延续几小时,甚至几天。
一经体验过这种飞扬的纯喜,你就会热切期待再次得到,但这无法随心所欲,除非也许是你必须透过顽强的、辛苦的工作。
大自然按最小原理行事
贝努利兄弟对悬链线的求解,贾可比略居下风。
然而,在1691年贾可比证明了:
悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,要以悬链线的重心最低,并且因而具有最小位能。
这件事使得贾可比扳回一局,两兄弟扯平了。
这个发现深具意义,因为它首度启示我们一个深刻的观点:
在某种神秘运作下,大自然的实际结构是按着最小位能的原理来布局。
贾可比的证法已经查不到,不过,我们现在可以利用变分法(calculusofvariation)加以证明。
如图九,考虑通过A、B两点的各种等长曲线。
令曲线y=f(x)的长度为L,重心坐标为(x,y),则
y=(a)=α,y(b)=β(21)来确定。
(20)式为悬链线。
因此,我们的结论是:
在所有可能的曲线中,悬链线的重心最低。
悬链线还具有另一个美妙的性质,即它的旋转体之表面积最小,这也可以利用变分法加以证明。
详言之,在坐标平面上,通过两点(x1,y1)与(x2,y2)的所有可能曲线,绕x轴旋转得到旋转体,那么以悬链线所产生的旋转体,其表面积为最小。
双曲函数与圆函数的类推
双曲函数(hyperbolicfunctions)最早出现于悬链线的研究之中,例如我们已看过双曲余弦函数
y=coshx=(ex+e-x)/2
为什么要取名「双曲」呢?
它跟双曲线有关系吗?
答案是肯定的。
最早注意到双曲函数及其跟圆函数(即三角函数)的类推关系的人是意大利数学家芮卡蒂(V.Riccati,1707~1775),他在1757年引入记号
coshx=(ex+e-x)/2
sinhx=(ex-e-x)/2这两个函数的图形如图十一。
任何定义在以原点为中心的函数y=f(x)都可以表成偶函数与奇函数之和:
f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]
特别地,指数函数y=ex可以表成双曲正弦函数与双曲余弦函数之和:
ex=1/2(ex+e-x)+1/2(ex-e-x)=coshx+sinhx
芮卡蒂进一步发现cosh2x-sinh2x=1,这类似于三角恒等式cos2x+sin2x=1。
后者与圆x2+y2=1有关,而前者与双曲线x2-y2=1有关。
两者之间的详细类推情形,由德国数学家蓝柏特(Lambert,1728~1777)作了全面的研究,并且在1770年发表。
首先我们看圆与三角函数的关系,这是大家都很熟悉的内容。
在图十二中,我们有下列关系式,这是三角函数,又叫做圆函数(circularfunctions)的理由。
PM=sinθ,OM=cosθ
AB=tanθ,PC=cotθ
OB=secθ,OC=cscθ
在图十二中,θ代表角度,但是这无法类推到双曲线的情形,因为在图十三中,显然θ不代表∠POA,而是代表阴影领域面积之两倍:
=(CoshθSinhθ)/2-θ/2
所以阴影领域的面积=θ/2(22)
另一方面,在图十四中,显然θ/2代表扇形领域的面积。
因此,将θ解释成面积才能抓到圆函数与双曲函数的共通本质。
这是在1757年由芮卡蒂所证明的结果。
进一步,其它四个含曲函数仿三角函数的办法定义如下:
tanhx=sinhx/coshx=(ex-e-x)/(ex+e-x)
cothx=coshx/sinhx=(ex+e-x)/(ex-e-x)
sechx=1/coshx=2/(ex+e-x)
cschx=1/sinhx=2/(ex-e-x)
它们分别称为双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数与双曲余割函数。
每一个三角函数的恒等式、微分公式与积分公式,都可类推到双曲函数,不过,可能会有正负号上的微小差异。
另外,我们也可仿照反三角函数,谈论反双曲函数以及两者之间的平行类推关系。
我们要强调,请注意在类推过程中的「同中之异」与「异中之同」,以求达到「知所异同,方窥全貌」。
下面列出一些对照公式:
(i)毕氏关系式
cos2x+sin2x=1,cosh2x-sinh2x=1
(ii)奇偶关系
cos(-x)=cosx,cosh(-x)=coshx,sin(-x)=-sinx,,sinh(-x)=-sinhx
(iii)和角公式
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny,cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy,sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy
(iv)积分公式
Dcosx=-sinx,Dcoshx=sinhx,Dsinx=cosx,Dsinhx=coshx
(v)积分公式
,
(vi)周期性*
cos(x+2π)=cosx,sin(x+2π)=sinx
*双曲函数没有实值周期
既然圆函数与双曲函数具有这么多的平行类推关系,它们的重要性与地位似应相同。
然而,事实并非如此。
最主要的理由是,圆为封闭曲线,周而复始,导致圆函数为周期函数,适合于研究周期现象,发展出傅立叶(Fourier)分析。
相对地,双曲函数就缺乏这种特性。
不过,从悬链线、反演几何(Inversivegeometry)、非欧几何(双曲几何),到广义相对论,都有双曲函数的应用踪迹。
结语
本文由法布尔对蜘蛛网水珠项链的赞美切入,引出悬链线问题的探寻。
从伽利略的错误,直到微积分出现后,莱布尼慈、惠更斯、贝努利兄弟才真正把问题解决。
接着,芮卡蒂与蓝柏特以悬链线作为一个胚芽,并且平行类推于圆函数,进一步展开双曲函数的研究。
图十五是位于美国圣路易的拱形大门(theGatewayArch),它是按悬链线来设计的,在1965年建造完成。
它的方程式如下:
y=693.8597-68.7672cosh(0.0100333x)
-299.2239≦x≦299.2239
其中x,y的单位为呎。
这是结合数学、艺术与工程技术,三合一的作品,横跨密西西比河的两岸。
我们顺便也可以利用悬链线的拱门图形来表达微积分最基本的架构:
一个概念、两个定义与一个定理。
地基是极限概念;拱门的两个脚是两个定义,即微分与积分;最高点会合处是一个定理,即微积分根本定理,包括微分与积分的互逆性以及Newton-Leibniz公式。
从历史的长河来看,西方文明发源于古希腊,经过大约两千年的发展,到了十七世纪,在西欧才结合古希腊的「逻辑演绎」与文艺复兴的「实证精神」,完成伟大的「科学革命」,最主要的成果是微积分、牛顿力学与万有引力定律的创立。
接着是十八世纪法国的「启蒙运动」(theEnlightenment),导致民智大开,各支学问蓬勃发展,产生政治革命(1776年美国独立革命,1789年法国大革命),以及十八至十九世纪的工业革命,逐步开展出现代的人类文明。
在这个过程中,无可置疑地,微积分扮演着关键性的角色。
「看似寻常,最奇绝;成如容易,却艰辛。
」
蔡聪明任教于台湾大学数学系
参考资料
1.法布尔,《昆虫记》共八册,奥本大三郎改编,台北东方出版社,1993。
2.Maor,E.,ethestoryofaNumber,PrincetonUniversitypress,NewJersey,1994.
3.Marks,J.,ScienceandtheMakingoftheModernWorld,Heinemann,London,1983.
4.Simmons,G.F.,CalculuswithAnalyticGeometry,McGraw-Hill,1996.
5.Simmons,G.F.,CalculusGems,BriefLivesandMemorableMathematics,McGraw-Hill,1992.
6.Simmons,G.F.,DifferentialEquationswithApplicationsandHistoricalNotes,2ndEd.,McGraw-Hill,1991.
7.Boyer,C.B.,AHistoryofMathematics,RevisedbyU.C.Merzbach,JohnWiley&Sons,Inc.,1991.