东北三校一模 东北三省三校届高三第一次高考模拟考试 数学理 Word版含答案.docx

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东北三校一模东北三省三校届高三第一次高考模拟考试数学理Word版含答案

哈尔滨师大附中

2015年高三第一次联合模拟考试

理科数学试卷

东北师大附中

辽宁省实验中学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．已知集合，，则等于

A．

B．

C．

D．

2．复数

A．

B．1+i

C．i

D．-i

3．点到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为

A．

B．

C．或

D．或

4．设Sn是公差不为零的等差数列的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当Sn最大时，n=

A．6

B．7

C．8

D．9

5．执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的

A．2012

B．2013

C．2014

D．2015

6．下列命题中正确命题的个数是

①对于命题p：

，使得，则：

，均有；

②p是q的必要不充分条件，则是的充分不必要条件；

③命题“若，则”的逆否命题为真命题；

④“”是“直线l1：

与直线l2：

垂直”的充要条件。

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为

A．6

B．8

C．10

D．12

8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

9．不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则的概率为

A．

B．

C．

D．

10．设二项式展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn，则

A．

B．

C．

D．1

11．已知数列满足：

，若数列的最小项为1，则m的值为

A．

B．

C．

D．

12．已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为

A．

B．

C．

D．

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．向量a，b满足，，，则向量a与b的夹角为__________。

14．三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=，AA1=4，则这个球的表面积为__________。

15．某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有__________种不同选课方案（用数字作答）。

16．已知函数的图象关于直线x=1对称，则__________。

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知ΔABC的面积为2，且满足，则和的夹角为θ。

（1）求θ的取值范围；

（2）求函数的取值范围。

18．（本小题满分12分）

为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2。

频率分布表1频率分布直方图2

分组（岁）

频数

频率

5

0.050

20

0.200

①

0.350

30

②

10

0.100

合计

100

1.000

（1）频率分布表中的①②位置应填什么数？

并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者的平均年龄；

（2）在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点。

（1）求证：

EF∥平面PAD；

（2）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q-AP-D的余弦值为？

若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且AF2与x轴垂直。

（1）求椭圆的方程；

（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求ΔAOB面积的最大值。

21．（本小题满分12分）

已知a是实常数，函数，

（1）若曲线在x=1处的切线过点，求实数a的值；

（2）若有两个极值点x1，x2（x1

①求证：

；

②求证：

。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）

选修4-1：

几何证明选讲

如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M。

（1）求证：

DE是圆O的切线；

（2）求证：

DE·BC=DM·AC+DM·AB。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：

坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）设点，若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值。

24．（本小题满分10分）

选修4-5：

不等式选讲

设函数。

（1）解不等式；

（2）若，使得，求实数m的取值范围。

2015年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

C

B

A

B

C

A

A

C

B

C

二、填空题

13．90°

14．64π

15．84

16．

三、解答题

17．解：

（1）设ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

则由已知：

，，……4分

可得，，所以：

……6分

（2）

……8分

∵，∴，∴

即当时，；当时，

所以：

函数的取值范围是……12分

18．解：

（1）由表知：

①，②分别填35、0.300补全频率分布直方图如下：

……2分

……3分

平均年龄估值为：

岁……6分

（2）由表知：

抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，X的可能取值为0，1，2

，，……9分

X的分布列为

X

0

1

2

P

……10分

期望（人）……12分

19．证明：

（1）取PD中点M，连接MF，MA在ΔCPD中，F为PC的中点，

∴MF平行且等于，正方形ABCD中E为AB中点，AE平行且等于，

∴AE平行且等于MF，故：

EFMA为平行四边形，∴EF∥AM……2分

又∵EF平面PAD，AM平面PAD

∴EF∥平面PAD……4分

（2）如图：

以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：

，，，，

由题易知平面PAD的法向量为，……6分

假设存在Q满足条件：

设，，

，，，

设平面PAQ的法向量为，

……10分

∴，由已知：

解得：

，所以：

满足条件的Q存在，是EF中点。

……12分

20．解：

（1）有已知：

c=2，，∴，

故椭圆方程为……4分

（2）当AB斜率不存在时：

……6分

当AB斜率存在时：

设其方程为：

由，得

由已知：

即：

……8分

O到直线AB的距离：

∴……10分

∵，∴，∴，∴

此时

综上所求：

当AB斜率不存在或斜率为零时，ΔAOB面积取最大值为……12分

21．解：

（1）由已知：

，切点……1分

切线方程：

，把代入得：

a=1……3分

（2）（I）依题意：

有两个不等实根

设，则：

①当时：

，所以是增函数，不符合题意；……5分

②当时：

由得：

列表如下：

x

+

0

-

↗

极大值

↘

依题意：

，解得：

综上所求：

，得证；……8分

（II）由（I）知：

，变化如下：

x

x1

x2

-

0

+

0

-

↘

↗

↘

由表可知：

在上为增函数，所以：

……10分

又，故

由（I）知：

，

设，则成立，所以单调递减，

故：

，也就是

综上所证：

成立。

……12分

22．选修4-1：

几何证明选讲

证明：

（1）连结OE，∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，

∴OD平行且等于，∴∠A=∠BOD，

∠AEO=∠EOD，

∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∴∠BOD=∠EOD……3分

在ΔEOD和ΔBOD中，∵OE=OB，∠BOD=∠EOD，OD=OD，

∴ΔEOD≌ΔBOD，∴∠OED=∠OBD=90°，即OE⊥BD

∵是圆O上一点，∴DE是圆O的切线……5分

（II）延长DO交圆O于点F

∵ΔEOD≌ΔBOD，∴DE=DB，∵点D是BC的中点，∴BC=2DB，

∵DE、DB是圆O的切线，∴DE=DB，∴DE·BC=DE·2DB=2DE2……7分

∵AC=2OD，AB=2OF

∴DM·AC+DM·AB=DM·（AC+AB）=DM·（2OD+2OF）=2DM·DF

∵DE是圆O的切线，DF是圆O的割线，

∴DE2=DM·DF，∴DE·BC=DM·AC+DM·AB……10分

23．选修4-4：

坐标系与参数方程

解：

（1）由，得：

，∴，即，

∴曲线C的直角坐标方程为……3分

由，得，即，

∴直线l的普通方程为……5分

（2）将代入，得：

，

整理得：

，

由，即，解得：

-1

设t1、t2是上述方程的两实根，则，……8分

又直线l过点，由上式及t的几何意义得

，解得：

或，都符合-1

因此实数m的值为1或或……10分

24．选修4-5：

不等式选讲

解：

（1）当x<-2时，，

，即，解得，又，∴；

当时，，

，即，解得，又，∴；

当时，，

，即，解得，又，∴.……3分

综上，不等式的解集为.……5分