几何发展史.docx
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几何发展史
几何发展史
组长：
杨锦波高一13班
组员：
李晓、梁荣华、徐丽敏、林伟文、梁博文、郭碧云
指导老师：
李朗庭
英语摘要
Asamiddleschoolstudent,haslearnedagoodfewyearsofthegeometry.However,wegeometricunderstandingofthehistoricalstatusHavegreatdeficiencies.WedonotknowitscivilizationWhatisthesignificance,Idonotknowwhyweshouldlearnfromthisclass（otherThatistothecollegeentranceexamination!
）,Letuslookintoitshistory!
However,therearereallysomemassiveobject,`Therefore,weonlyresearchpapersoftheguidelines
1、问题提出：
作为一名中学生，已经学了好几年几何了。
可是，我们对几何的历史地位的认识有很大的不足。
我们不知道它对文明的意义是什么，不知道为什么要学习这门课（别说是为了高考！
）那么，就让我们来研究一下它的历史吧！
然而对象确实有些庞大，`因此我们的研究论文只是指引性的。
2、研究目的：
（三个有助于）
（1）有助于对几何的总体的结构认识
（2）有助于认清几何学在人类文明中的地位
（3）有助于文、理科方法的综合（历史和数学）
3、研究方法：
（1）搜集资料，阅读文献，记下心得；
（2）各组员按上述要求研究，最后由组长汇总；
（3）认真分析总结，写成论文.
4、正文
几何史研究
杨锦波
以下的这篇文章，将简要地介绍几何的成长过程，最后作出总结，其中包括研究结论和问题。
在阅读前，最好先看附录。
1欧几里得的乐园
古希腊，一个民主的国度。
在那片土地上，孕育出了理性和智慧的果实。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。
柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。
亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。
到今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。
但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。
真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里得。
欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。
他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。
他非常详尽的搜集了当时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。
它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。
由极少数的几条公理出发，演绎出整个的几何体系，成为万世师表。
之后，古希腊又出现了一位伟大的数学家——阿基米德。
阿基米德在西元前287年生於西西里岛的西那库斯,他在亚力山大城求学.他治学的态度是从一些简单的公理出发,再用无懈可击的逻辑导出其他的定理,把物理及数学联合起来一起叙述,他算是第一人,因此我们也可以称他为物理学之父,他是第一个有科学精神的工程师,他找一般性的原理,然后用到特殊的工程问题上.他最重要的贡献是将"穷尽法"发扬光大,它已经将等於这个观念跨向"任意趋近於"的观念,而这已经跨进近代微积分的领域,他曾用穷尽法算π的近似值,得到:
3.1408<π<3.142858
阿基米德创立了流体静力学（浮力原理是最重要的结果）,同时发现的杠杆原理,所以可以把他视为一个工艺学家（美劳专家）.阿基米德的去世,可代表著希腊数学开始衰退的起点,我们到后面会专门讨论衰败的原因.阿基米德著作的一个缺点是内容非常难懂,不具可读性的特性,所以未能像Element这本书流传这样广.顺便一提的是,在1906年时在土耳其,发现了一本当年阿基米德的著作"TheMethod",在当时引起一阵轰动.
其实，推动几何学发展的数学家，学者，还有许多。
如阿波罗尼阿斯、托勒密、帕布斯等等。
后来，由于罗马人、基督教的兴起、回教徒征服，古希腊的几何学衰退了。
直到文艺复兴时期才得以再次发扬光大。
到这里为止，欧几里得几何学建立了。
她是直观清晰和严谨逻辑的完美结合，代表着人类对空间的一个时代的认识。
世界是有序的，平直的，而这种时空观在上世纪才被打破。
2．美梦该醒了
费马、笛卡儿创立了解析几何，以及画法几何的创始人蒙日的学生彭赛列创立射影几何。
关于平直空间的几何理论日臻完善。
无数人仰望着欧几里得的乐园。
但是，风雨前总是平静的。
门，就是第五公设。
一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？
能不能依靠前四个公设来证明第五公设？
这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？
第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：
逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。
终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。
但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
虽然如此，但人们认为，新几何与我们的现实世界里的空间毫不相干，直到那个时候……
20世纪初，爱因思坦在解决狭义相对论与牛顿万有引力定律的矛盾时，提出了一种新思想。
这就是认为，我们生活在其中的现实空间，由于物质具有质量而被弯曲。
非欧几何中的黎曼几何正是描述它的良好工具。
后来，这种思想发展为一个完备的理论——广义相对论。
由此又可以引出“宇宙大爆炸”模型，彻底改变了我们对时空、宇宙的观念。
霍金说：
“世界在上世纪的变化超过了以往任何世纪。
原因不是新的经济或政治教义，却是由于基础科学的进步引发技术的巨大发展。
还有谁比爱因斯坦更能代表呢？
”
就是这样，那欧几里得的乐园的美梦被打破，但醒来之后就获得了累累硕果。
3．今天
“幾何的發展從一開始只能掌握正規的圖形,到牛頓時代藉由微積分開始去瞭解彎曲的情形,接著高斯與黎曼的時代建立了內在幾何的觀點,最後由愛因斯坦集其大成,提出相對論理論,使人類更進一步瞭解自己所生存的時空.”以上这段文字概括了1、2的内容。
那么，今天的几何学的研究是些什么呢？
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。
适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。
不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。
用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。
从而产生了特征长度。
还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。
如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。
流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？
这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。
由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。
海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。
使用比这更长的尺度是没有意义的。
还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。
在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。
数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。
以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。
这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。
多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。
这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。
电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。
这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。
法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。
他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，开创了新的数学分支——分形几何学。
还有拓扑学、微分几何等，这些几何分支的纯学术研究和应用，构成了当代几何的内容。
有关时空观念，人们对其又有了新的理解。
4．接下来，我们要进行讨论，主要包括2点：
几何学的发展模式
空间、时间观念的更新
从以上的文段中，我们可以知道，整个几何学的历史，大致分为4个时期：
1、欧几里得几何
2、解析几何、画法几何、射影几何
（2、3间相对独立的有微分几何、拓扑学，后来成为重要一支）
3、非欧几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何）、分形几何
4、现代的几何研究
几何学在“公理化”时期后进入4。
在那段时期，数学上有3个派别：
逻辑主义、直觉主义、形式主义。
我们经研究后发现，数学这门逻辑性极强的学科，竟是如此地背离逻辑地发展。
粗略来说，在不同阶段，三者发挥的作用各不相同。
对于基础建立不牢，逻辑化最重要；对于构造性证明，飞跃式发展而言，直觉最重要；对于发挥符号作用，发展数学语言，形式化最重要。
人类一直以来都是认为空间是一个物质运动的舞台，而时间则是像一条河，无止休地流逝。
几何学的对象由直的到曲的，后来竟然连背景也是曲的。
广相更是让我们改变观念。
现今，对时空的理解还是新鲜的问题。
这篇论文到这已经算完了，但还是不足以囊括几何史这个庞大的对象，只能算是从高中生的角度出发的导引性文章。
教师评语：
关于几何发展史的认识，相当部分同学都只是循教材编辑设置有些了解。
现通过网络和阅读文献等手段，主动参与和博览，对几何的总体结构有了较清晰的体会，培养了学生自主探究的科学态度和钻研精神。
有助于文理科方法的互补整合提高，也为同学学好文化科，用发展的观点看知识的发展更新，符合科学发展观。
这是一篇较好的研究报告。
参考文献：
1、〈数学文化〉方延明2、〈数学史辞典〉杜瑞芝3、数学之旅丛书
（在大科普网上有更详细的资料）
6、收获和体会：
这次研究花费的时间比预定的时间3个月要长，但我们小组还是完满地完成任务了。
通过这次研究，我的目光更开阔了。
在研究中，好几次进入死胡同，不知道什么该编进来，什么是作用不大的，还有怎样从浅而明的角度理解。
这些使我学会了怎样研究问题，把握重心。
我知道了对一个学科的历史的研究，其作用并非会立竿见影，但是就知道了人们是怎样从不知到知、从具体到抽象的。
这种作用对几何，乃至数学，是做多少习题都比不上的。
因为这是截然不同的作用。
附录1
公理化方法：
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。
它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
欧氏几何：
几何学的一门分科。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。
按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。
欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。
三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。
高维的情形请参看欧几里德空间。
数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。
数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
黎曼几何：
德国数学家黎曼创立，他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：
在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：
直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
微分几何学：
光滑曲线（曲面）作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。
既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。
比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。
在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。
另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。
对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
拓扑学：
几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些就是拓扑学思考问题的出发点。
拓扑性质有那些呢？
首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。
比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。
左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。
在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。
在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。
一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。
应该指出，环面不具有这个性质。
比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。
所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。
直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。
在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。
我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。
但德国数学家莫比乌斯（1790～1868）在1858年发现了莫比乌斯曲面。
这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。
拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。
射影几何：
研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。
曾经也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
以上摘自BAIDU百科
附录2：
大事纪年表
公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：
“古者，陲（注：
传说为黄帝或尧时人）为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。
这相当于在已有“圆，方、平、直”等形的概念。
公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。
美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。
公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。
并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。
公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。
公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。
古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。
证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。
印度人求出=1.4142156。
公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理（古希腊巴门尼德、芝诺等）。
公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。
开始把几何命题按科学方式排列。
公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。
开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。
古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。
提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。
古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。
公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。
公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。
公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。
古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。
古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组
公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。
公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。
战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。
公元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。
公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。
公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。
公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。
一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。
古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。
在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。
三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。
中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。
四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。
约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。
六世纪，中国六朝时，中国的祖（日恒）提出祖氏定律：
若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。
西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。
1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。
1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》（1533年出版）中，系统地总结了三角学。
1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。
1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。
1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。
1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。
1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。
1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。
意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书
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