青岛版初中数学角的比较.docx

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青岛版初中数学角的比较

9.1角的表示单秀娟

教学目标

1使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法。

2使学生通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算。

3使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式。

4培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力。

教学重点和难点

重点是角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义。

难点是角平分线定义的各种数学表达式。

教学过程设计

一、类比联想，提出问题，探索解决问题的方法

1类比联想，提出问题

前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题。

上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，

以及角的和、差、倍、分的画法问题。

（板书课题）

2类比联想，探索解决问题的方法

（1）师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法。

（2）分组讨论，发现方法。

提出问题：

如图1-26（a），试比较∠AOB和∠COD的大小并画出∠AOB+∠COD。

教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：

（a）角大小比较的方法：

重叠法和度量法。

（b）角的和、差、倍、分的画法。

3角的大小可以有两种比较方法：

重叠比较法和度量法。

（1）重叠比较法：

由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置。

角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，

要让角的顶点和角的一条边都重合，

看另一条边落在角内还是角外。

（让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形，如图1-26（b.）

记作：

∠AOB=∠COD 记作：

∠AOB＞∠COD   记作：

∠AOB＜∠COD

（2）度量法：

因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小。

（注意写法）

例1 如图1-27，比较∠AOB与∠CDE的大小。

因为 量得∠AOB=35°，∠CDE=65°。

所以 ∠CDE＞∠AOB。

4角的和、差、倍、分也可以有两种方法：

作图法和度量计算法。

（1）作图法：

在图中作出两个角的和、差、倍、分。

例2 已知∠AOB，∠CED且∠AOB＞∠CED，如图1-28。

求作（i）∠AOB与∠CED的和；

（ii）∠AOB与∠CED的差；

（iii）∠CED的二倍。

教师在黑板上以草图的形式为学生演示，依照线段的和、差、倍、分的作法，从而发现作图中的问题，

怎样做一个角等于已知角。

由于这个基本作图没学，因此作图法暂时不能具体操作，所以目前切实可行的方法

只有度量计算法。

（2）度量计算法。

依然选用例2，解法如下

解：

量得∠AOB=50°，∠CED=20°，

∠AOB与∠CED的和是70°。

∠AOB与∠CED的差是30°。

∠CED的二倍是40°。

练习

（1） 如图1-29，∠AOB=130°，∠AOE=50°，∠OEA=60°，求∠BOE，∠OEB。

（2）如图1-30，量出∠BAC，∠ABD，∠BDC，∠ACD的度数，

并求出四个角的和，∠BAC与∠ACD的和。

（3）如图1-31，已知∠A=∠B=25°，若∠A+∠B+∠BCA=180°，求∠ACE。

二、角平分线的概念

教师提问：

1回忆怎样求线段的中点。

         2怎样平分一个角。

总结：

在现阶段只能用度量法解决这两个问题，由于在求一个角的几分之几的情况中，

最特殊的就是求一个角的二分之一，它的地位相当于求线段的中点，

因此我们下面重点研究角的二等分。

将线段二等分的点，叫做线段的中点，

由此，我们得一个新的概念——角平分线。

角平分线定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，

这条射线叫做这个角的平分线。

对这个定义的理解要注意以下几点：

1角平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段。

如图1-32，

它是由角的顶点出发的一条射线，

这一点也很好理解，因为角的两边都是射线。

2当一个角有角平分线时，可以产生几个数学表达式。

如图1-32，可写成

因为 OC是∠AOB的角平分线，

所以 ∠AOB=2∠AOC=2∠COB，

     ∠AOC=∠COB，                     

     ∠AOC=

∠AO，

     ∠COB=

∠AOB。

反过来，只要具备上述

（1）、

（2）、（3）、（4）中的式子之一，

就能得到OC为∠AOB的角平分线。

这一点学生要给以充分的注意。

练习：

1画一个三角形ABC，然后作出这三个角的平分线。

观察它们是否交于一点，

如果交于一点，则交点的位置在哪里?

2如图1-33，若∠AOB=∠COB=∠DOC，进行下列填空。

（1）∠AOD=（ ）+（ ）+（ ）；

（2）∠AOB=（ ）∠AOD；

（3）∠AOD=（ ）∠COB；

（4）∠DOB=（ ）=（ ）+（ ）。

三、总结

教师提问：

这节课我们都学习了哪些内容和主要的思维方法?

学生的回答可能不够全面，或者比较零散，教师最后给以归纳。

1学习的内容有三个：

（1）比较角的大小。

（2）角的和、差、倍、分。

（3）角平分线的概念。

2学习了类比联想的思维方法。

四、作业

教学目标

1使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法。

2使学生通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算。

3使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式。

4培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力。

教学重点和难点

重点是角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义。

难点是角平分线定义的各种数学表达式。

教学过程设计

一、类比联想，提出问题，探索解决问题的方法

1类比联想，提出问题

前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题。

上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，

以及角的和、差、倍、分的画法问题。

（板书课题）

2类比联想，探索解决问题的方法

（1）师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法。

（2）分组讨论，发现方法。

提出问题：

如图1-26（a），试比较∠AOB和∠COD的大小并画出∠AOB+∠COD。

教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：

（a）角大小比较的方法：

重叠法和度量法。

（b）角的和、差、倍、分的画法。

3角的大小可以有两种比较方法：

重叠比较法和度量法。

（1）重叠比较法：

由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置。

角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，

要让角的顶点和角的一条边都重合，

看另一条边落在角内还是角外。

（让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形，如图1-26（b.）

记作：

∠AOB=∠COD 记作：

∠AOB＞∠COD   记作：

∠AOB＜∠COD

（2）度量法：

因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小。

（注意写法）

例1 如图1-27，比较∠AOB与∠CDE的大小。

因为 量得∠AOB=35°，∠CDE=65°。

所以 ∠CDE＞∠AOB。

4角的和、差、倍、分也可以有两种方法：

作图法和度量计算法。

（1）作图法：

在图中作出两个角的和、差、倍、分。

例2 已知∠AOB，∠CED且∠AOB＞∠CED，如图1-28。

求作（i）∠AOB与∠CED的和；

（ii）∠AOB与∠CED的差；

（iii）∠CED的二倍。

教师在黑板上以草图的形式为学生演示，依照线段的和、差、倍、分的作法，从而发现作图中的问题，

怎样做一个角等于已知角。

由于这个基本作图没学，因此作图法暂时不能具体操作，所以目前切实可行的方法

只有度量计算法。

（2）度量计算法。

依然选用例2，解法如下

解：

量得∠AOB=50°，∠CED=20°，

∠AOB与∠CED的和是70°。

∠AOB与∠CED的差是30°。

∠CED的二倍是40°。

练习

（1） 如图1-29，∠AOB=130°，∠AOE=50°，∠OEA=60°，求∠BOE，∠OEB。

（2）如图1-30，量出∠BAC，∠ABD，∠BDC，∠ACD的度数，

并求出四个角的和，∠BAC与∠ACD的和。

（3）如图1-31，已知∠A=∠B=25°，若∠A+∠B+∠BCA=180°，求∠ACE。

二、角平分线的概念

教师提问：

1回忆怎样求线段的中点。

         2怎样平分一个角。

总结：

在现阶段只能用度量法解决这两个问题，由于在求一个角的几分之几的情况中，

最特殊的就是求一个角的二分之一，它的地位相当于求线段的中点，

因此我们下面重点研究角的二等分。

将线段二等分的点，叫做线段的中点，

由此，我们得一个新的概念——角平分线。

角平分线定义：

一条射线把一个角分成两个相等的角，

这条射线叫做这个角的平分线。

对这个定义的理解要注意以下几点：

1角平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段。

如图1-32，

它是由角的顶点出发的一条射线，

这一点也很好理解，因为角的两边都是射线。

2当一个角有角平分线时，可以产生几个数学表达式。

如图1-32，可写成

因为 OC是∠AOB的角平分线，

所以 ∠AOB=2∠AOC=2∠COB，

     ∠AOC=∠COB，                     

     ∠AOC=

∠AO，

     ∠COB=

∠AOB。

反过来，只要具备上述

（1）、

（2）、（3）、（4）中的式子之一，

就能得到OC为∠AOB的角平分线。

这一点学生要给以充分的注意。

练习：

1画一个三角形ABC，然后作出这三个角的平分线。

观察它们是否交于一点，

如果交于一点，则交点的位置在哪里?

2如图1-33，若∠AOB=∠COB=∠DOC，进行下列填空。

（1）∠AOD=（ ）+（ ）+（ ）；

（2）∠AOB=（ ）∠AOD；

（3）∠AOD=（ ）∠COB；

（4）∠DOB=（ ）=（ ）+（ ）。

三、总结

教师提问：

这节课我们都学习了哪些内容和主要的思维方法?

学生的回答可能不够全面，或者比较零散，教师最后给以归纳。

1学习的内容有三个：

（1）比较角的大小。

（2）角的和、差、倍、分。

（3）角平分线的概念。

2学习了类比联想的思维方法。

四、作业

1用量角器量出图1-34中各角的度数，并比较∠B与∠CAE，∠ACD与∠BAC的大小。

2如图1-35，1-36，∠AOD=∠BOC=90°，∠COD=42°，求∠AOC，∠AOB。

3如图1-37，OC是∠AOB的角平分线，∠CAO=90°，∠CBO=90°，比较∠ACO与∠BCO的大小。

板书设计

角的比较

一、角的大小比较               三、角平分线的概念

二、角的和、差、倍的画法       三、小结

练习：

略                       四、作业

课堂教学设计说明

1本教案的教学时间为1课时45分钟。

2由于前面学过线段的大小比较和线段的和、差、倍、分。

本课教学的指导思想就是运用类比联想的思维方法，引导学生利用旧知识，解决新问题。

3在本课的练习中，在可能的情况下，将以后经常遇到的图形，提前让学生见到，为以后的学习遵守了基础。

4在角的和、差、倍、分的计算中，由于度、分、秒的四则运算还没有讲到，因此只进行度的加、减。