中点模型复习.docx

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中点模型复习

中点模型

模型一：

中位线

中位线：

在三角形中，如果有中点，可以构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质：

DE∥BC，且

，△ADE∽△ABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题.

1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

2．如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）

A．12B．14C．16D．18

3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点；

（1）求证：

MN与PQ互相垂直平分；．

（2）连结MP、MQ、NP、NQ，若PQ＝6，MN＝10，求四边形MPNQ的面积和AB的长．

模型二：

斜边中线

直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得

来解题，有时有直角无中点，要找中点，可简记为“直角+中点，等腰必呈现”.

此模型作用：

①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.

4．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使

，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长为（　　）

A．6B．7C．8D．10

5．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．

（1）求证：

BD平分∠ABC；

（2）连接EC，若∠A＝30°，

，求EC的长．

6．已知：

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．

求证：

EF⊥BD．

7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．

（1）若EF＝4，BC＝10，求△EFM的周长；

（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求△EMF三内角的度数．

模型三：

三线合一

等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到:

∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.

8．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，E是AC上一点，且AE＝AD，若∠AED＝75°，则∠EDC的度数是（　　）

A．10°B．15°C．20°D．25°

9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）

A．1.5B．2.4C．2.5D．3.5

模型四：

垂直平分线

当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到：

，证明线段间的数量关系.

10．如图，在△ABC中，点O是边BC，AC的垂直平分线的交点，若AB＝8，OB＝5，则△AOB的周长是（　　）

A．13B．15C．18D．21

11．如图，

的周长为20cm，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，求△ABE的周长．

12．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．

（1）求证：

DC＝BE；

（2）若∠AEC＝69°，求∠EDG的度数．

13．如图，△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝60°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，

，AE⊥BC于点E，求CE的长．

模型五：

中线等分面积

若AD是△ABC的中线，则

14．如图，在△ABC中，已知点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且

，则S阴影＝　　．

15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且

，则S△DEF＝　　．

16．如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是AB的中点，DE交AC于点F，则△CDF的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

模型六：

弦中点与弧中点

（1）圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题．

（2）圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题．

（3）圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题.

17．如图，AB是半圆⊙O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝（　　）

A．55°B．60°C．65°D．70°

18．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为　　．

19．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是　　．

20．如图，半径为6的⊙O中，弦CD垂直平分半径OB，则CD的长为　　．

21．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．

（1）求证：

∠ABD＝2∠C．

（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

22．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．

（1）求证：

AC平分∠DAB；

（2）若点E为

的中点，

，AC＝8，求AB和CE的长．

模型七：

倍长中线

当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用.

23．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　）

A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8

24．已知：

在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：

AF＝EF．