中点模型复习.docx
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中点模型复习
中点模型
模型一:
中位线
中位线:
在三角形中,如果有中点,可以构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质:
DE∥BC,且
,△ADE∽△ABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题.
1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连结OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
A.50°B.40°C.30°D.20°
2.如图所示,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8,MN=3,则AC的长是( )
A.12B.14C.16D.18
3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点;
(1)求证:
MN与PQ互相垂直平分;.
(2)连结MP、MQ、NP、NQ,若PQ=6,MN=10,求四边形MPNQ的面积和AB的长.
模型二:
斜边中线
直角三角形中有斜边中点时,常作斜边上的中线,利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得
来解题,有时有直角无中点,要找中点,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”.
此模型作用:
①证明线段相等或求线段长;②构造角相等进行等量代换.
4.如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到E,使
,过点B作BF∥DE,与AE的延长线交于点F,若BF=8,则AB的长为( )
A.6B.7C.8D.10
5.如图,四边形ABCD中,∠C=90°,AD⊥DB,点E为AB的中点,DE∥BC.
(1)求证:
BD平分∠ABC;
(2)连接EC,若∠A=30°,
,求EC的长.
6.已知:
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E,F分别是AC,BD的中点.
求证:
EF⊥BD.
7.如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点.
(1)若EF=4,BC=10,求△EFM的周长;
(2)若∠ABC=50°,∠ACB=60°,求△EMF三内角的度数.
模型三:
三线合一
等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到:
∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD,解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.
8.如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,E是AC上一点,且AE=AD,若∠AED=75°,则∠EDC的度数是( )
A.10°B.15°C.20°D.25°
9.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )
A.1.5B.2.4C.2.5D.3.5
模型四:
垂直平分线
当三角形一边垂线过这边中点时,可以考虑用垂直平分线的性质得到:
,证明线段间的数量关系.
10.如图,在△ABC中,点O是边BC,AC的垂直平分线的交点,若AB=8,OB=5,则△AOB的周长是( )
A.13B.15C.18D.21
11.如图,
的周长为20cm,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,求△ABE的周长.
12.如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足.
(1)求证:
DC=BE;
(2)若∠AEC=69°,求∠EDG的度数.
13.如图,△ABC中,∠B=22.5°,∠C=60°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点F,
,AE⊥BC于点E,求CE的长.
模型五:
中线等分面积
若AD是△ABC的中线,则
14.如图,在△ABC中,已知点D,E,F,分别为BC、AD、CE的中点,且
,则S阴影= .
15.如图,在△ABC中,点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且
,则S△DEF= .
16.如图,在边长为a的正方形ABCD中,E是AB的中点,DE交AC于点F,则△CDF的面积为( )
A.
B.
C.
D.
模型六:
弦中点与弧中点
(1)圆心O是直径的中点,常与已知中点连接,或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题.
(2)圆中遇到弦的中点,联想“垂径定理”,出现“四中点一垂直”解决相应问题.
(3)圆中遇到弧的中点,利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题.
17.如图,AB是半圆⊙O的直径,△ABC的两边AC,BC分别交半圆于D,E,且E为BC的中点,已知∠BAC=50°,则∠C=( )
A.55°B.60°C.65°D.70°
18.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,OD⊥BC于点D,AC=6,则OD的长为 .
19.如图,⊙O的直径为10,A、B、C、D是⊙O上四个动点,且AB=6,CD=8,若点E、F分别是弦AB、CD的中点,则线段EF的长度的取值范围是 .
20.如图,半径为6的⊙O中,弦CD垂直平分半径OB,则CD的长为 .
21.如图,⊙O是△ABD的外接圆,AB为直径,点C是弧AD的中点,连接OC,BC分别交AD于点F,E.
(1)求证:
∠ABD=2∠C.
(2)若AB=10,BC=8,求BD的长.
22.如图,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D.
(1)求证:
AC平分∠DAB;
(2)若点E为
的中点,
,AC=8,求AB和CE的长.
模型七:
倍长中线
当遇见中线或者中点时,可以尝试用倍长中线法构造全等三角形,证明线段间的数量关系,该类型经常会与中位线定理一起综合应用.
23.如图,已知AD是△ABC中BC边上的中线,AB=5,AC=3,则AD的取值范围是( )
A.2<AD<8B.1<AD<4C.2<AD<5D.4≤AD≤8
24.已知:
在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF.