全等三角形压轴题及其详解.docx
《全等三角形压轴题及其详解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形压轴题及其详解.docx(49页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全等三角形压轴题及其详解
全等三角形压轴题
1.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
【分析】
(1)求出∠ABC的度数,即可求出答案;
(2)连接AD,CD,ED,根据旋转性质得出BC=BD,∠DBC=60°,求出∠ABD=∠EBC=30°﹣
α,且△BCD为等边三角形,证△ABD≌△ACD,推出∠BAD=∠CAD=
∠BAC=
α,求出∠BEC=
α=∠BAD,证△ABD≌△EBC,推出AB=BE即可;
(3)求出∠DCE=90°,△DEC为等腰直角三角形,推出DC=CE=BC,求出∠EBC=15°,得出方程30°﹣
α=15°,求出即可.
【解答】
(1)解:
∵AB=AC,∠A=α,
∴∠ABC=∠ACB=
(180°﹣∠A)=90°﹣
α,
∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC,∠DBC=60°,
即∠ABD=30°﹣
α;
(2)△ABE是等边三角形,
证明:
连接AD,CD,ED,
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD,
则BC=BD,∠DBC=60°,
∵∠ABE=60°,
∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣
α,且△BCD为等边三角形,
在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD=
∠BAC=
α,
∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°﹣(30°﹣
α)﹣150°=
α=∠BAD,
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC(AAS),
∴AB=BE,
∴△ABE是等边三角形;
(3)解:
∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,
∴∠DCE=150°﹣60°=90°,
∵∠DEC=45°,
∴△DEC为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC,
∵∠BCE=150°,
∴∠EBC=
(180°﹣150°)=15°,
∵∠EBC=30°﹣
α=15°,
∴α=30°.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰直角三角形的判定和性质的应用,注意:
全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2.已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,向三角形外作等边△ABD和等边△ACE.
(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:
BE=CD;
(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:
F为DE中点.
【解答】证明:
(1)∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴DC=BE;
(2)如图,作DG∥AE,交AB于点G,
由∠EAC=60°,∠CAB=30°得:
∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°,
∴∠DGF=∠FAE=90°,
又∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
又∵△ABD为等边三角形,∠DBG=60°,DB=AB,
∴∠DBG=∠ABC=60°,
在△DGB和△ACB中,
,
∴△DGB≌△ACB(AAS),
∴DG=AC,
又∵△AEC为等边三角形,∴AE=AC,
∴DG=AE,
在△DGF和△EAF中,
,
∴△DGF≌△EAF(AAS),
∴DF=EF,即F为DE中点.
3.在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:
如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:
过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:
我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60度.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
请写出你的猜想并加以证明.
【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解.先根据直角三角形的性质,等边三角形的性质得到一些隐含的条件,然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等;再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想.
【解答】解:
(1)DF=EF.
(2)猜想:
DF=FE.
证明:
过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90度.
∵DA=DB,∠ADB=60度.
∴AG=BG,△DBA是等边三角形.
∴DB=BA.
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴AC=
AB=BG.
在Rt△DBG和Rt△BAC中
∴Rt△DBG≌Rt△BAC(HL).
∴DG=BC.
∵BE=EC,∠BEC=60°,
∴△EBC是等边三角形.
∴BC=BE,∠CBE=60度.
∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF,
在△DFG和△EFB中
∴△DFG≌△EFB(AAS).
∴DF=EF.
(3)猜想:
DF=FE.
证法一:
过点D作DH⊥AB于H,连接HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90度.
∵DA=DB,
∴AH=BH,∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90°,
∴HC=HB.
在△HBE和△HCE中
∴△HBE≌△HCE(SSS).
∴∠2=∠3,∠4=∠BEH.
∴HK⊥BC.
∴∠BKE=90°.∴∠3+∠ABC=90°
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°,
∴∠3=∠DBH
∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB
又∵HB是公共边,所以△DBH≌△EHB
∴DH=BE
同理可以证明△DHF≌△EBF
∴DF=EF.
4.已知,点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A、B重合),分别过A、B向直线CP作垂线,垂足分别为E、F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系是 QE=QF ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论是否成立?
请画出图形并给予证明.
【分析】
(1)根据AAS推出△AEQ≌△BFQ,推出AE=BF即可;
(2)延长EQ交BF于D,求出△AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出EQ=QD,根据直角三角形斜边上中点性质得出即可;
(3)延长EQ交FB于D,求出△AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出EQ=QD,根据直角三角形斜边上中点性质得出即可.
【解答】解:
(1)如图1,
当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是AE∥BF,QE与QF的数量关系是AE=BF,
理由是:
∵Q为AB的中点,
∴AQ=BQ,
∵AE⊥CQ,BF⊥CQ,
∴AE∥BF,∠AEQ=∠BFQ=90°,
在△AEQ和△BFQ中
∴△AEQ≌△BFQ,
∴QE=QF,
故答案为:
AE∥BF,QE=QF;
(2)
QE=QF,
证明:
延长EQ交BF于D,
∵由
(1)知:
AE∥BF,
∴∠AEQ=∠BDQ,
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ,
∴EQ=DQ,
∵∠BFE=90°,
∴QE=QF;,
(3)当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时
(2)中的结论成立,
证明:
延长EQ交FB于D,如图3,
∵由
(1)知:
AE∥BF,
∴∠AEQ=∠BDQ,
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ,
∴EQ=DQ,
∵∠BFE=90°,
∴QE=QF.
5.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,点E为直线AC上一点,D为直线BC上的一点,且DA=DE.
当点D在线段BC上时,如图①,易证:
BD+AB=AE;
当点D在线段CB的延长线上时,如图②、图③,猜想线段BD,AB和AE之间又有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
【分析】图②中,论:
BD+AE=AB,作EM∥AB交BC于M,先证明△EMC是等边三角形得CE=CM,AE=BM,再证明△ABD≌△DEM,得DB=EM=MC由此可以对称结论.图③中,结论:
BD﹣AE=AB,证明方法类似.
【解答】解;如图②中,结论:
BD+AE=AB.
理由:
作EM∥AB交BC于M,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∴∠CEM=∠CAB=60°,∠CME=∠CBA=60°,
∴△CME是等边三角形,
∴CE=CM=EM,∠EMC=60°,
∴AE=BM,
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠DEA,
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM,
∴∠DAB=∠EDM,
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°,∠EMD=180°﹣∠EMC=120°,
∴∠ABD=∠DME,
在△ABD和△DEM中,
,
∴△ABD≌△DEM,
∴DB=EM=CM,
∴DB+AE=CM+BM=BC=AB.
如图③中,结论:
BD﹣AE=AB.
理由:
作EM∥AB交BC于M,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∴∠CEM=∠CAB=60°,∠CME=∠CBA=60°,
∴△CME是等边三角形,
∴CE=CM=EM,∠EMC=∠MEC=60°,
∴AE=BM,
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠DEA,
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM,
∴∠ADB=∠DEM,
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°,∠EMD=180°﹣∠EMC=120°,
∴∠ABD=∠DME,
在△ABD和△DEM中,
,
∴△ABD≌△DME,
∴DB=EM=CM,
∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB.
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,注意形变证明方法基本不变,属于中考常考题型.
6.如图1,我们定义:
在四边形ABCD中,若AD=BC,且∠ADB+∠BCA=180°,则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形.
(1)如图2,在等腰△ABE中,AE=BE,四边形ABCD是互补等对边四边形,求证:
∠ABD=∠BAC=
∠AEB.
(2)如图3,在非等腰△ABE中,若四边形ABCD仍是互补等对边四边形,试问∠ABD=∠BAC=
∠AEB是否仍然成立?
若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
【分析】
(1)根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA,根据四边形ABCD是互补等对边四边形,可得AD=BC,根据SAS可证△ABD≌△BAC,根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC,再根据等腰三角形的性质即可证明;
(2)仍然成立;理由如下:
如图所示:
过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线,垂足分别为G、F,证明△AGD≌△BFC,得到AG=BF,又AB=BA,所以△ABC≌△BAF,得到∠ABD=∠BAC,根据∠ADB+∠BCA=180°,得到∠EDB+∠ECA=180°,进而得到∠AEB+∠DHC=180°,由∠DHC+∠BHC=180°,所以∠AEB=∠BHC.因为∠BHC=∠BAC+∠ABD,∠ABD=∠BAC,所以∠ABD=∠BAC=
∠AEB.
【解答】解:
(1)∵AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,
∵四边形ABCD是互补等对边四边形,
∴AD=BC,
在△ABD和△BAC中,
,
∴△ABD≌△BAC(SAS),
∴∠ADB=∠BCA,
又∵∠ADB+∠BCA=180°,
∴∠ADB=∠BCA=90°,
在△ABE中,∵∠EAB=∠EBA=
=90°﹣
∠AEB,
∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣(90°﹣
∠AEB)=
∠AEB,
同理:
∠BAC=
∠AEB,
∴∠ABD=∠BAC=
∠AEB;
(2)仍然成立;
理由如下:
如图③所示:
过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线,垂足分别为G、F,
∵四边形ABCD是互补等对边四边形,
∴AD=BC,∠ADB+∠BCA=180°,
又∠ADB+ADG=180°,
∴∠BCA=∠ADC,
又∵AG⊥BD,BF⊥AC,
∴∠AGD=∠BFC=90°,
在△AGD和△BFC中,
∴△AGD≌△BFC,
∴AG=BF,
在△ABG和△BAF中,
∴△ABG≌△BAF,
∴∠ABD=∠BAC,
∵∠ADB+∠BCA=180°,
∴∠EDB+∠ECA=180°,
∴∠AEB+∠DHC=180°,
∵∠DHC+∠BHC=180°,
∴∠AEB=∠BHC.
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD,∠ABD=∠BAC,
∴∠ABD=∠BAC=
∠AEB.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC.
7.已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CE,②AC=CE+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CE+CD是否成立?
若不成立,请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系.
【分析】
(1)根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE,从而得出结论;
(2)根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE,就可以得出BD=CE,就可以得出AC=CE﹣CD;
(3)先根据条件画出图形,根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE,就可以得出BD=CE,就可以得出AC=CD﹣CE.
【解答】解:
(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
∵BC=BD+CD,AC=BC,
∴AC=CE+CD;
(2)AC=CE+CD不成立,
AC、CE、CD之间存在的数量关系是:
AC=CE﹣CD.
理由:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,
∴AC=CE﹣CD;
(3)补全图形(如图)
AC、CE、CD之间存在的数量关系是:
AC=CD﹣CE.
理由:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE.
∵BC=CD﹣BD,
∴BC=CD﹣CE,
∴AC=CD﹣CE.
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用,等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
8.如图,已知△ABC,分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE.G、F分别是DC与BE的中点.
(1)求证:
DC=BE;
(2)当∠DAB=80°,求∠AFG的度数;
(3)若∠DAB=α,则∠AFG与α的数量关系是 .
【分析】
(1)根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE.就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE;
(2)连接AG,根据条件就可以得出△ADG≌△ABF,就可以求出AG=AF,∠GAF=∠DAB,由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值,
(3)连接AG,根据条件就可以得出△ADG≌△ABF,就可以求出AG=AF,∠GAF=∠DAB,由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系.
【解答】解:
(1)∵∠DAB=∠CAE,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE.
在△ADC和△ABE中
,
∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴DC=BE;
(2)连接AG.
∵△ADC≌△ABE,
∴∠ADC=∠ABE.AD=AB.
∵G、F分别是DC与BE的中点,
∴DG=
DC,BF=
BE,
∴DG=BF.
在△ADG和△ABF中
,
∴△ADG≌△ABF(SAS),
∴AG=AF,∠DAG=∠BAF,
∴∠AGF=∠AFG,∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG,
∴∠DAB=∠GAF.
∵∠DAB=80°,
∴∠GAF=80°.
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°,
∴∠AFG=50°.
答:
∠AFG=50°;
(3)∵∠DAB=α,
∴∠GAF=α.
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°,
∴α+2∠AFG=180°,
∴∠AFG=90°﹣
α.
故答案为:
∠AFG=50°,90°﹣
α.
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用,等式的性质的运用,等腰三角形的性质的运用,三角形内角和定理的运用,解答时证明三角形全等是关键.
9.△ABC是等边三角形,点D、E分别在边AB、BC上,CD、AE交于点F,∠AFD=60°.
(1)如图1,求证:
BD=CE;
(2)如图2,FG为△AFC的角平分线,点H在FG的延长线上,HG=CD,连接HA、HC,求证:
∠AHC=60°;
(3)在
(2)的条件下,若AD=2BD,FH=9,求AF长.
【分析】
(1)根据等边三角形的性质得出AB=BC,∠BAC=∠C=∠ABE=60°,根据SAS推出△ABE≌△BCD,即可证得结论;
(2)根据角平分线的性质定理证得CM=CN,利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE,∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE,得出∠CEM=∠CGN,然后根据AAS证得△ECM≌△GCN,得出CG=CE,EM=GN,∠ECM=∠GCN,进而证得△AMC≌△HNC,得出∠ACM=∠HCN,AC=HC,从而证得△ACH是等边三角形,证得∠AHC=60°;
(3)在FH上截取FK=FC,得出△FCK是等边三角形,进一步得出FC=KC=FK,∠ACF=∠HCK,证得△AFC≌△HKC得出AF=HK,从而得到HF=AF+FC=9,由AD=2BD可知AG=2CG,再由
=
,根据等高三角形面积比等于底的比得出
=
=
=2,再由AF+FC=9求得.
【解答】解:
(1)如图1,∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠ACE=60°BC=AC,
∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠BCD=∠CAE,
在△ABE和△BCD中,
∴△ABE≌△BCD(ASA),
∴BD=CE;
(2)如图2,作CM⊥AE交AE的延长线于M,作CN⊥HF于N,
∵∠EFC=∠AFD=60°
∴∠AFC=120°,
∵FG为△AFC的角平分线,
∴∠CFH=∠AFH=60°,
∴∠CFH=∠CFE=60°,
∵CM⊥AE,CN⊥HF,
∴CM=CN,
∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE,∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE,
∴∠CEM=∠CGN,
在△ECM和△GCN中
∴△ECM≌△GCN(AAS),
∴CE=CG,EM=GN,∠ECM=∠GCN,
∴∠MCN=∠ECG=60°,
∵△ABE≌△BCD,
∵AE=CD,
∵HG=CD,
∴AE=HG,
∴AE+EM=HG+GN,即AM=HN,
在△AMC和△HNC中
∴△AMC≌△HNC(SAS),
∴∠ACM=∠HCN,AC=HC,
∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN,即∠ACE=∠HCG=60°,
∴△ACH是等边三角形,
∴∠AHC=60°;
(3)如图3,在FH上截取FK=FC,
∵∠HFC=60°,
∴△FCK是等边三角形,
∴∠FKC=60°,FC=KC=FK,
∵∠ACH=60°,
∴∠ACF=∠HCK,
在△AFC和△HKC中
∴△AFC≌△HKC(SAS),
∴AF=HK,
∴HF=AF+FC=9,
∵AD=2BD,BD=CE=CG,AB=AC,
∴AG=2CG,
∴
=
=
,
作GW⊥AE于W,GQ⊥DC于Q,
∵FG为△AFC的角平分线,
∴GW=GQ,
∵
=
=
=
,
∴AF=2CF,
∴AF=6.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,角平分线的性质,找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键.
10.如图1,△ABE是等腰三角形,AB=AE,∠BAE=45°,过点B作BC⊥AE于点C,在BC上截取CD=CE,连接AD、DE并延长AD交BE于点P;
(1)求证:
AD=BE;
(2)试说明AD平分∠BAE;
(3)如图2,将△CDE绕着点C旋转一定的角度,那么AD与BE的位置关系是否发生变化,说明理由.
【分析】
(1)利用SAS证明△BCE≌△ACD,根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE.
(2)根据△BCE≌△ACD,得到∠EBC=∠DAC,由∠BDP=∠ADC,得到∠BPD=∠DCA=90°,利用等腰三角形的三线合一,即可得到AD平分∠BAE;
(3)AD⊥BE不发生变化.由△BCE≌△ACD,得到∠EBC=∠DAC,由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF,根据三角形内角和为180°,所以∠BPF=∠ACF=90°,即AD⊥BE.
【解答】解:
(1)∵BC⊥AE,∠BAE=45°,
∴∠CBA=∠CAB,
∴BC=CA,
在△BCE和△ACD中,
∴△BCE≌△ACD,
∴AD=BE.