第二十讲多边形与平行四边形.docx
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第二十讲多边形与平行四边形
第二十讲多边形与平行四边形
基础知识
一、多边形：
1、定义：
在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等、也相等的多边形叫做正多边形
2、多边形的内外角和：
n（n≥3）的内角和是外角和是正n边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是。
3、多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线
【注：
1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】
二、平面图形的密铺：
1、定义：
用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间、地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的。
2、密铺的方法：
⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或
⑵用两种正多边形密铺，组合方式
有：
和、和、和等几种
【注：
能密铺的图形在一个拼接处的特点：
几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】
三、平行四边形
1、定义：
两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可表示为
2、平行四边形的特质：
⑴平行四边形的两组对边分别
⑵平行四边形的两组对角分别
⑶平行四边形的对角线
【注：
1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】
3、平行四边形的判定：
⑴用定义判定
⑵两组对边分别的四边形是平行四边形
⑶一组对边的四边形是平行四边形
⑷两组对角分别的四边形是平行四边形
⑸对角线的四边形是平行四边形
【注：
特别的：
一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】
4、平行四边形的面积：
计算公式×
同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积
【注：
夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处处】
考点分析
考点一：
多边形内角和、外角和公式
例1（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
故选A．
对应训练
1．（2013•长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
1．A
考点二：
平面图形的密铺
例2（2013•漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A．正方形B．正十边形C．正六边形D．等边三角形
故选B．
对应训练
2．（2013•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形
2．C
考点三：
平行四边形的性质
例3（2013•益阳）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC⊥BD
故选D．
例4（2013•泸州）如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：
AB=BE．
证明：
∵F是BC边的中点，∴BF=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，∵在△CDF和△BEF中
，∴△CDF≌△BEF（AAS），∴BE=DC，∵AB=DC，∴AB=BE．
对应训练
3．（2013•黔西南州）已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A．100°B．160°C．80°D．60°
3．C
4．（2013•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：
AD=BF．
4．证明：
∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB，
∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF=BF，∴AD=BF．
考点四：
平行四边形的判定
例5（2013•荆门）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
故选：
B．
对应训练
5．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DOD．AB∥DC，AD=BC
5．D
真题训练
1．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7
1．D
2．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ）
A．2
B．4
C．4D．8
2．B
3．（2013•莱芜）正十二边形每个内角的度数为150°
．
3．150°
4．（2013•菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．
4．
5．（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
5．
（1）证明：
如图，连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE=
AB=AE．∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．在△ADE与△CDE中，
，∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°．∴DE∥CB．
（2）解：
∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．在Rt△ACB中，sinB=
，sin30°=
=
，AC=
AB或AB=2AC．
∴当AC=
AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
6．（2013•日照）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．
（1）求证：
△BAD≌△AEC；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．
6．解：
（1）证明：
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE∥BD，AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B，在△DBA和△AEC中
，∴△DBA≌△AEC（SAS）；
（2）解：
如图，过A作AG⊥BC，垂足为G．
设AG=x，在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=30°，∴BG=
x，又∵BD=10．∴BG-DG=BD，即
x-x=10，
解得AG=x=
=5
+5，∴S平行四边形ABDE=BD•AG=10×（5
+5）=50
+50．
课后作业
一、选择题
1．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）
A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十
1．C
2．（2013•湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
2．B
3．（2013•六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形B．正六边形C．正方形D．正五边形
3．D
4．（2013•襄阳）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
A．18B．28C．36D．46
4．C
5．（2013•湘西州）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（ ）
A．1：
2B．1：
3C．1：
4D．1：
5
5．A
6．（2013•云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．S▱ABCD=4S△AOBB．AC=BD
C．AC⊥BDD．▱ABCD是轴对称图形
6．A
7．（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：
BC=3：
2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：
EB=1：
2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：
DQ等于（ ）
A．3：
4B．
：
2
C．
：
2
D．2
：
7．D
二、填空题
8．（2013•无锡）六边形的外角和等于360
度．
8．360
9．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是9
．
9．9
10．（2013•三明） 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是答案不唯一，如：
AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等
．
10．答案不唯一，如：
AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等
11．（2013•乐山）如图，在四边形ABCD中，∠A=45°．直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1+∠2=225°
．
11．225°
12．（2013•江西）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为25°
．
12．25°
13．（2013•安徽）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=8
．
13．8
14．（2013•荆州）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，-3
），则D点的坐标是（5，0）
．
14．（5，0）
15．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=
，则AB的长是1
．
15．1
三、解答题
16．（2013•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：
BE=DF．
16．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，
∴DE=BF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF．
17．（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：
四边形DEBF是平行四边形．
17．证明：
∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE=DF，又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
18．（2013•广安）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：
△ABE≌△CDF．
18．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD，
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF，AF=CF，
∴BE=DE，在△ABE和△CDF中，
，∴△ABE≌△CDF（SSS）．
19．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
19．证明：
（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由
（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
20．（2013•台州）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G．
求证：
（1）∠1=∠2；
（2）DG=B′G．
20．证明：
（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2=∠FEC，
由折叠得：
∠1=∠FEC，∴∠1=∠2；
（2）∵∠1=∠2，∴EG=GF，∵AB∥DC，∴∠DEG=∠EGF，
由折叠得：
EC′∥B′F，∴∠B′FG=∠EGF，∵DE=BF=B′F，∴DE=B′F，
∴△DEG≌△B′FG，∴DG=B′G．
21．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：
∠CEG=
∠AGE．
21．
（1）解：
∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，∴DC=CE=2CF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=
=
；
（2）证明：
如图，过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，
，
∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG=CF，∵CE=CD，CE=2CF，∴CD=2CG
即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∵GM⊥AE，∴AM=EM，
∴∠AGE=2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM=∠CEG，∴∠CEG=
∠AGE．
22．（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=
BC，连接DE，CF．
（1）求证：
四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
22．
（1）证明：
在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．∵F是AD的中点，
∴DF=
AD．又∵CE=
BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：
如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，
∴CD=AB=4，∴CH=2，DH=2
．在▱CEDF中，CE=DF=
AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=
．
23．（2013•兰州）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：
四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
23．
（1）证明：
∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO=60°，∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，∴CO∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：
设OG=x，由折叠可得：
AG=GC=8-x，
在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，∴AO=BO•cos30°=8×
=4
，
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（4
）2=（8-x）2，
解得：
x=1，∴OG=1．
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