相似三角形法分析动态平衡问题_精品文档.doc
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锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂
静力学解题方法2——相似三角形法
（非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一）
（1）相似三角形：
正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。
（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。
相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。
例1、半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（ ）
、变大，变小 、变小，变大
、变小，先变小后变大 、不变，变小
解析：
如图1-2所示，对小球：
受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。
由于在这个三角形中有四个变量：
支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和方向，所以还要利用其它条件。
实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：
可得：
运动过程中变小，变小。
运动中各量均为定值，支持力不变。
正确答案D。
例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的处由一固定的质点，在的正上方的点用细线悬挂一质点，、两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成角，由于漏电使、两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点的拉力大小（ ）
、变小
、变大
、不变
、无法确定
解析：
有漏电现象，减小，则漏电瞬间质点的静止状态被打破，必定向下运动。
对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2所示，由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。
三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点、及绳墙和点构成动态封闭三角形，且有如图2-3不同位置时阴影三角形的相似情况，则有如下相似比例：
可得：
变化过程、、均为定值，所以不变。
正确答案。
以上两例题均通过相似关系求解，相对平衡关系求解要直观、简洁得多，有些问题也可以直接通过图示关系得出结论。
F1
G
F2
图1-3
例3如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。
今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：
在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
图1-2
β
α
G
F1
F2
β
α
图1-1
解析：
取球为研究对象，如图1-2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。
因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。
F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。
F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图1-3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。
由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。
例4所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？
（答案：
绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大）
θ
图1-4
F
例5．一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2-1所示。
现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（）
A．FN先减小，后增大B.FN始终不变
C．F先减小，后增大D.F始终不变
A
F
B
O
θ
G
FN
F
L
l
H
图2-2
A
F
B
O
θ
图2-1
解析：
取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F）、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G）的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图2-2所示，将三个力矢量构成封闭的三角形（如图中画斜线部分），力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：
（如图2-2所示，设AO高为H，BO长为L，绳长l,），式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。
正确答案为选项B
例6：
如图2-3所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是（D）。
A
C
B
O
图2-3
（A）N变大，T变小，
（B）N变小，T变大
（C）N变小，T先变小后变大
（D）N不变，T变小
例7、如图3-1所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（）。
（A）F1先减小后增大
（B）F1先增大后减小
（C）F2逐渐减小
F1
F2
F3
C
D
E
D
D
D
图3-3
（D）F2最终变为零
A
B
a
O
G
F1
F2
F3
图3-2
A
B
a
O
G
图3-1
解析：
取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图3-2所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形（如图3-3所示的实线三角形CDE），需满足力F3大小、方向不变，角∠CDE不变（因为角α不变），由于角∠DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3-3中一画出的一系列虚线表示的三角形。
由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90°时，当好为零。
正确答案选项为B、C、D
M
N
O
α
β
图3-4
例8如图3-4所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时α+β=90°．然后保持M的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（ A ）。
（A）减小N的读数同时减小β角
（B）减小N的读数同时增大β角
（C）增大N的读数同时增大β角
（D）增大N的读数同时减小β角
例9．如图4-1所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：
（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？
（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？
A
B
C
G
D
F1
F2
F3
O
θ
图4－2
图4－1
A
B
C
G
O
A
B
C
G
D
F1
F2
F3
O
θ
C′
B′
图4－4
A
B
C
G
D
F1
F2
F3
O
θ
A′
D′
图4－3
解析：
取绳子c点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图4-2所示分别为F1、F2、F3，延长绳AO交竖直墙于D点，由于是同一根轻绳，可得：
，BC长度等于CD，AD长度等于绳长。
设角∠OAD为θ；根据三个力平衡可得：
；在三角形AOD中可知，。
如果A端左移，AD变为如图4－3中虚线A′D′所示，可知A′D′不变，OD′减小，减小，F1变大。
如果B端下移，BC变为如图4－4虚线B′C′所示，可知AD、OD不变，不变，F1不变。
同
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