线性代数超强地地总结不看你会后悔地.docx
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线性代数超强地地总结不看你会后悔地
线性代数超强总结
√关于
：
称为
的标准基，
中的自然基，单位坐标向量；
线性无关；
；
④
；
⑤任意一个
维向量都可以用
线性表示.
√行列式的计算：
若
都是方阵（不必同阶）,则
上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
关于副对角线：
√逆矩阵的求法:
④
⑤
√方阵的幂的性质：
√设
，对
阶矩阵
规定：
为
的一个多项式.
√设
的列向量为
的列向量为
，
的列向量为
√用对角矩阵
左乘一个矩阵,相当于用
的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵
右乘一个矩阵,相当于用
的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
与分块对角阵相乘类似,即：
√矩阵方程的解法：
设法化成
当
时,
√
和
同解（
列向量个数相同）,则：
①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
②它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③它们有相同的内在线性关系.
√判断
是
的基础解系的条件：
①
线性无关；
②
是
的解；
③
.
1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
4原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.
5两个向量线性相关
对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
6向量组
中任一向量
≤
≤
都是此向量组的线性组合.
7向量组
线性相关
向量组中至少有一个向量可由其余
个向量线性表示.
向量组
线性无关
向量组中每一个向量
都不能由其余
个向量线性表示.
8
维列向量组
线性相关
；
维列向量组
线性无关
.
9
.
10若
线性无关，而
线性相关,则
可由
线性表示,且表示法惟一.
11矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
12矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价
和
可以相互线性表示.记作：
矩阵等价
经过有限次初等变换化为
.记作：
13矩阵
与
等价
作为向量组等价,即：
秩相等的向量组不一定等价.
矩阵
与
作为向量组等价
矩阵
与
等价.
14向量组
可由向量组
线性表示
≤
.
15向量组
可由向量组
线性表示,且
，则
线性相关.
向量组
线性无关,且可由
线性表示,则
≤
.
16向量组
可由向量组
线性表示,且
则两向量组等价；
17任一向量组和它的极大无关组等价.
18向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
19若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
20若
是
矩阵,则
若
，
的行向量线性无关；
若
，
的列向量线性无关,即：
线性无关.
线性方程组的矩阵式
向量式
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
线性方程组解的性质：
√设
为
矩阵,若
则
从而
一定有解.
当
时,一定不是唯一解.
则该向量组线性相关.
是
的上限.
√矩阵的秩的性质：
①
②
≤
③
≤
④
⑤
⑥
≥
⑦
≤
⑧
⑨
⑩
且
在矩阵乘法中有左消去律:
标准正交基
个
维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
.
是单位向量
.
√内积的性质：
①正定性：
②对称性：
③双线性：
施密特
线性无关,
单位化：
正交矩阵
.
√
是正交矩阵的充要条件：
的
个行（列）向量构成
的一组标准正交基.
√正交矩阵的性质：
①
；
②
；
③
是正交阵,则
（或
）也是正交阵；
④两个正交阵之积仍是正交阵；
⑤正交阵的行列式等于1或-1.
的特征矩阵
.
的特征多项式
.
的特征方程
.
√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的
各元素.
√若
则
为
的特征值,且
的基础解系即为属于
的线性无关的特征向量.
√
√若
则
一定可分解为
=
、
从而
的特征值为：
.
√若
的全部特征值
，
是多项式,则:
①
的全部特征值为
；
②当
可逆时,
的全部特征值为
的全部特征值为
.
√
√
与
相似
（
为可逆阵）记为：
√
相似于对角阵的充要条件：
恰有
个线性无关的特征向量.这时,
为
的特征向量拼成的矩阵，
为对角阵,主对角线上的元素为
的特征值.
√
可对角化的充要条件：
为
的重数.
√若
阶矩阵
有
个互异的特征值,则
与对角阵相似.
与
正交相似
（
为正交矩阵）
√相似矩阵的性质：
①
若
均可逆
②
③
（
为整数）
④
从而
有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:
是
关于
的特征向量,
是
关于
的特征向量.
⑤
从而
同时可逆或不可逆
⑥
⑦
√数量矩阵只与自己相似.
√对称矩阵的性质：
①特征值全是实数,特征向量是实向量；
②与对角矩阵合同；
③不同特征值的特征向量必定正交；
④
重特征值必定有
个线性无关的特征向量；
⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有
个线性无关的特征向量,
可能有重的特征值,重数=
）.
可以相似对角化
与对角阵
相似.记为：
（称
是
的相似标准型）
√若
为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）
.
√设
为对应于
的线性无关的特征向量,则有：
.
√若
则：
.
√若
则
.
二次型
为对称矩阵
与
合同
.记作：
（
）
√两个矩阵合同的充分必要条件是：
它们有相同的正负惯性指数.
√两个矩阵合同的充分条件是：
√两个矩阵合同的必要条件是：
√
经过
化为
标准型.
√二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由
惟一确定的.
√当标准型中的系数
为1，-1或0时,则为规范形.
√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
√任一实对称矩阵
与惟一对角阵
合同.
√用正交变换法化二次型为标准形:
1求出
的特征值、特征向量；
2对
个特征向量单位化、正交化；
3构造
（正交矩阵）,
；
4作变换
新的二次型为
的主对角上的元素
即为
的特征值.
正定二次型
不全为零，
.
正定矩阵正定二次型对应的矩阵.
√合同变换不改变二次型的正定性.
√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
1正惯性指数为
；
2
的特征值全大于
；
3
的所有顺序主子式全大于
；
4
合同于
，即存在可逆矩阵
使
；
5存在可逆矩阵
，使
（从而
）；
6存在正交矩阵，使
（
大于
）.
√成为正定矩阵的必要条件：
；
.
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