二次函数复习题.docx

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二次函数复习题

2018年01月05日二次函数复习题

1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）a　　0；

（2）b　　0；

（3）b2﹣4ac　　0；

（4）y＜0时，x的取值范围是　　．

第2题图

2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如上图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．

3．求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．

4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．

5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？

6．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？

7．已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．

（1）求y1的解析式；

（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．

8．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．

（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．

9．二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），y=﹣x+b经过点B，且与二次函数y=﹣x2+mx+n交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．

10．（2017•茂南区校级一模）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点C（﹣1，0）．

（1）求A、B的坐标；

（2）求抛物线的表达式；

（3）抛物线在x轴上方部分是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，试求出能使△ACP的面积最大时的点P的坐标．

2018年01月05日数学的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共16小题）

1．（2017秋•上杭县期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【分析】

（1）将x=﹣1代入方程中，化简即可得出b=c，即可得出结论；

（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△=0建立方程，即可得出a2+c2=b2，进而得出结论；

（3）先判断出a=b=c，再代入化简即可得出方程x2+x=0，解方程即可得出结论．

【解答】解：

（1）△ABC是等腰三角形，

理由：

当x=﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）=0，

∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，

理由：

∵方程有两个相等的实数根，

∴△=（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）=0，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等边三角形，

∴a=b=c，

∴原方程可化为：

2ax2+2ax=0，

即：

x2+x=0，

∴x（x+1）=0，

∴x1=0，x2=﹣1，

即：

这个一元二次方程的根为x1=0，x2=﹣1．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，解一元二次方程，解本题的关键是建立方程．

2．（2017•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0．

（1）求证：

无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）如果对于原方程的每一个整数根，都满足两根之商也是整数，直接写出m的取值．

【分析】

（1）计算判别式的值得到△=（3m+1）2，然后根据非负数的意义得到△≥0，从而根据判别式的意义可判断无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）利用求根公式法解关于x的一元二次方程x1=m，x2=4m+1，则当时，m=0；当，利用整除性得到m=±1．

【解答】

（1）证明：

△=[﹣（5m+1）]2﹣4×1×（4m2+m）

=9m2+6m+1

=（3m+1）2，

∵无论m取任何实数时，

∴（3m+1）2≥0，

∴无论m取任何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）解：

解关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0得x1=m，x2=4m+1，

∴当时，m=0；

当时，，所以m=±1

综上所述m=0或m=±1．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

3．（2017•柳南区三模）某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题．

【解答】解：

设每轮传染中平均每个人传染了x人，

依题意得1+x+x（1+x）=121，

∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）．

所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人．

【点评】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

4．（2017秋•上杭县校级月考）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？

【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81，再解方程求出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可．

【解答】解：

设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81

即（1+x）2=81

解得x1=8，x2=﹣10（不合舍去），

所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台﹣

答：

每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用：

列方程解决实际问题的一般步骤是：

审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

5．（2017•菏泽）列方程解应用题：

某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：

每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

【分析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．

【解答】解：

设销售单价为x元，

由题意，得：

（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，

整理，得：

x2﹣920x+211600=0，

解得：

x1=x2=460，

答：

这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．

【点评】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．

6．（2017•嘉祥县模拟）贵阳市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【分析】

（1）设求平均每次下调的百分率为x，由降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可；

（2）分别求出两种优惠方法的费用，比较大小就可以得出结论．

【解答】

（1）解：

设平均每次下调的百分率为x，由题意，得

6000（1﹣x）2=4860，

解得：

x1=0.1，x2=1.9（舍去）

答：

平均每次下调的百分率为10%；

（2）由题意，得

方案①优惠：

4860×100×（1﹣0.98）=9720元，

方案②优惠：

80×100=8000元．

∵9720＞8000

∴方案①更优惠．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，降低率问题的数量关系的运用，解答时列一元二次方程解实际问题是难点．

7．（2016秋•邗江区校级月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）a　＞　0；

（2）b　＜　0；

（3）b2﹣4ac　＞　0；

（4）y＜0时，x的取值范围是　﹣2＜x＜4　．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：

（1）抛物线的开口方向向上，则a＞0．

故答案是：

＞；

（2）抛物线的对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以b＜0．

故答案是：

＜；

（3）抛物线与x轴有2个不同的交点，则b2﹣4ac＞0．

故答案是：

＞；

（4）由图象知，当y＜0时，﹣2＜x＜4．

故答案是：

﹣2＜x＜4．

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

8．（2014秋•广河县校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．

【分析】①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0；

②抛物线与x轴没有交点，所以△=b2﹣4ac＜0；

③取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c＜0；

④取x=﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=﹣1，y=a﹣b+c＜0．

【解答】解：

①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x=﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c＜0，abc＜0；

②抛物线与x轴没有交点，所以△=b2﹣4ac＜0；

③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c＜0；

④当自变量为﹣1时，图象在x轴下方，则x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：

左同右异）；

③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

④抛物线与x轴交点个数．

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

9．（2017秋•江西月考）求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．

【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点式，进而得出二次函数最值．

【解答】解：

y=x2+4x﹣5

=（x+2）2﹣9，

则二次函数y=x2+4x﹣5的最小值为﹣9．

【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．

10．（2017•南通一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．

【分析】由于已知了抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入计算出a即可．

【解答】解：

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，﹣3）代入得a×1×（﹣3）=﹣3，

解得a=1，

所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

11．（2016秋•扶沟县期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？

【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．

【解答】解：

∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，

∴设D（x，﹣x2+6x），

∵顶点C的坐标为（4，3），

∴OC==5，

∵四边形OABC是菱形，

∴BC=OC=5，BC∥x轴，

∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，

∵﹣＜0，

∴S△BCD有最大值，最大值为15，

【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．

12．（2015秋•大冶市期中）如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？

【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为x，则BD=10﹣x，进而求出S=﹣x2+5x，再求出最值即可．

【解答】解：

设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=10﹣x，

S=x（10﹣x）=﹣x2+5x，

∵﹣＜0，

∴抛物线开口向下，

当x=﹣=5时，S最大=﹣×52+5×5=，

即当AC=5，BD=5时，四边形ABCD面积最大，最大值为．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．

13．（2017•广东模拟）已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B．

（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．

【分析】

（1）将点A的坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，根据抛物线的解析式即可求出点B的坐标．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，然后将点A与B的坐标代入即可求出k与b的值．

（3）由于AB的长度是可求出的，所以△PAB的周长取最小值时，只需要PA+PB最小即可．

【解答】解：

（1）将A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3，

∴﹣2=a﹣3

∴a=1

∴抛物线的解析式为：

y=（x﹣1）2﹣3

∴顶点B（1，﹣3）

（2）设直线AB的解析式为：

y=kx+b，

将点A（0，﹣2）和B（1，﹣3）代入y=kx+b，

∴

解得：

∴直线AB的解析式为：

y=﹣x﹣2

（3）设点A关于x轴对称的点为C，

∴C（0，2）

设直线CB的解析式为：

y=mx+n，

直线CB与x轴点P，此时△PAB的周长取最小值，

把C（0，2）和B（1，﹣3）代入y=mx+n，

∴

解得：

∴直线CB的解析式为：

y=﹣5x+2

令y=0代入y=﹣5x+2，

∴x=

∴点P的坐标为（，0）

【点评】本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是利用待定系数法求出解析式，本题属于中等题型．

14．（2017•广州）已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．

（1）求y1的解析式；

（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．

【分析】

（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；

（2）分两种情况讨论：

当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点是抛物线的顶点（﹣1，0），不合题意；

当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．

【解答】解：

（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．

∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），

∴﹣=﹣1，=1或9，

解得m=﹣2，n=0或8，

∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；

（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），

∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），

∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），

把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，

解得，

∴y2=5x+10．

②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，

∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），

∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），

把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，

解得；

∴y2=x+．

【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．

15．（2017•邗江区校级一模）二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），y=﹣x+b经过点B，且与二次函数y=﹣x2+mx+n交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．

【分析】

（1）根据待定系数法求得即可；

（2）根据待定系数法求得b，得到直线的解析式，设M（m，﹣m+），则N（m，﹣m2﹣2m+3），则MN=﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+）=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，从而求得最大值．

【解答】解：

（1）∵二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）

∴

解得m=﹣2，n=3

∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3；

（2）y=﹣x+b经过点B，

∴﹣×1+b=0，

∴解得b=

∴y=﹣x+

设M（m，﹣m+），则N（m，﹣m2﹣2m+3），

∴MN=﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+）=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，

∴MN的最大值为．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数的最值，根据一次函数和二次函数表示出M、N的坐标是解题的关键．

16．（2017•茂南区校级一模）如图，已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点C（﹣1，0）．

（1）求A、B的坐标；

（2）求抛物线的表达式；

（3）抛物线在x轴上方部分是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，试求出能使△ACP的面积最大时的点P的坐标．

【分析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征确定A点和B点坐标；

（2）设交点式y=a（x+1）（x﹣4），然后把B点坐标代入求出a即可得到所以抛物线解析式；

（3）设P（t，﹣t2+t+2）（﹣1＜t＜4），根据三角形面积公式得到•（4+1）•（﹣t2+t+2）=2••2•4，由于此方程没有实数解，于是可判断抛物线在x轴上方部分不存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍，然后把抛物线解析式配成顶点式即可得到使△ACP的面积最大的P点坐标．

【解答】解：

（1）当x=0时，y=﹣x+2=2，则B（0，2），

当y=0时，﹣x+2=0，解得x=4，则A（4，0），

（2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

把B（0，2）代入得a•1•（﹣4）=2，解得a=﹣，

所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4），即y=﹣x2+x+2；

（3）不存在．

设P（t，﹣t2+t+2）（﹣1＜t＜4），

因为△ACP的面积是△ABO的2倍，

所以•（4+1）•（﹣t2+t+2）=2••2•4，

整理得5t2﹣15t+12=0，△=152﹣4×5×12＜0，方程没有实数解，

所以抛物线在x轴上方部分不存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO的2倍，

当P点为抛物线的顶点时，△ACP的面积最大，

因为y=﹣（x﹣）2+，

此时P点坐标为（，）．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：

在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．