小学三年级秋季奥数经典讲义第6讲植树问题提高教师.docx

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小学三年级秋季奥数经典讲义第6讲植树问题提高教师

第六讲植树问题

本讲主要学习直线型、封闭型植树问题以及其他类似于植树模型的问题．包括：

锯木头、剪绳子、爬楼梯、时间问题、方阵问题等．通过本讲的学习，要求学生掌握两种类型的植树问题：

　　1、理解并掌握直线型植树问题的基本公式，运用基本公式解答此类问题；

　　2、理解并掌握封闭型植树问题的基本公式，运用基本公式解答此类问题.

通过本讲学习，要求同学们理解掌握直线型、四周型植树问题计算方法以及其他类似植树问题的模型的计算技巧，培养学生解决应用题的能力．

在人类文明出现之前，还没有文字，原始人只能通过在绳子上打结的方法记录发生的事情，考古学家发现原始人记事的绳子上的大结代表发生的大事件，小结代表发生的小事件．考古学家在一次考古中发现一根保存完好的原始人类用来记事的绳子，绳子两端都是大结，中间每两个大结之间都有4个小结，考古学家还发现这根绳子上一共有26个结，那么这根绳子上有多少个小结？

多少个大结？

想挑战吗　？

分析：

我们可以把每个大结根四个小结看成一个整体，这样就成了5个结一组，最后还多一个大结，一共26个结，正好是5组再加一个，所以有大结6个，小结20个．

（一）直线型植树问题

解决植树问题，首先要牢记三要素：

总路线长、间距（棵距）长、棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个.对于直线型的植树问题，包括三种情况：

（1）在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.全长、棵数、株距三者之间的关系是：

棵数=段数+1=全长÷株距+1；全长=株距×（棵数-1）；株距=全长÷（棵数-1）

（2）在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：

全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.

（3）如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比

（2）中还少1棵.棵数=段数-1=全长÷株距-1.株距=全长÷（棵数+1）.

【例1】（★★★）学而思学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，从头到尾需要种多少棵树？

分析：

因为公路的头尾都应该种一棵树，所以树的数目应该比分成的段数多1，所以公路一边的树的数目为：

2000÷50＋1＝41（棵），又因为公路两边都有树，而且相等，所以这段公路从头到尾需要种树41×2＝82（棵）．

[前铺]学而思学校旁边的一条路长20米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？

分析：

从图上可以看出，每隔4米种一棵树，20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的顶端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：

20÷4+1=5+1=6（棵）

[拓展]小袋鼠每跳一个距离是10米，在一条小路上，从头到尾共留下它的25对脚印，那么这条小路多少米？

分析：

25对脚印，24个间隔，每个间隔10米，小路长度是：

10×24=240（米）.

【例2】（★★★）点点家所在的楼房和平平家所住的楼房之间相距40米，每隔4米栽一棵雪松，一共能栽多少棵？

分析：

要以两棵雪松之间的距离用作分段的标准，两座楼房之间的距离可分成若干段.这道题不同于例1，两端不需要栽种（因为不能紧挨着楼房的墙根栽树），所以要栽的雪松数比分成的段数少1.以4米为一段，40米应分成的段数是：

40÷4＝10（段），栽雪松的棵数是：

10-1＝9（棵），所以，一共能栽9棵雪松.

[巩固]学而思学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？

分析：

因为教学楼墙根不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，这两栋教学楼之间的距离是3×19＝57（米）．

【例3】（★★★）国庆节到了，学而思学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问学而思学校的大门有多宽？

分析：

一共挂了21只彩灯说明彩灯中间的间距有：

21-1=20（个），每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，说明每个间距的长是：

30÷2=15（分米），所以学而思学校的大门宽度为：

15×20=300（分米）.

[巩固]在一条长1200米的马路两边每隔30米种一颗梧桐树．在每相邻的2棵梧桐树之间又补栽1棵香樟树．这条马路两边一共栽了多少棵树？

分析：

1200米里有几个30米就有几段，1200÷30＝40（段），马路一边共有梧桐树40＋1＝41（棵），每段里补栽一颗香樟树，马路一边共有香樟树1×40＝40（棵），马路一边共栽了41＋40＝81（棵）树，两边一共栽了81×2＝162（棵）.

【例4】（★★★★）在一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，而且在路的另一侧补种，共补种了多少棵？

分析：

21棵树，共有20个间隔，每个间隔为5米，所以小路的长度可得，加长以后在一侧应种树的棵数应为道路长度除以间隔再加1．小路原来的长度：

5×（21－1）＝100（米），加长后一侧应种的树的棵数：

（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：

27×2－21＝33（棵）.

[前铺]在学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？

后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？

分析：

21棵树，共有20个间隔，每个间隔为5米，所以小路的长度就可以求出来了．加长以后在一侧应种树的棵数应为道路长度除以间隔再加1．所以小路原来的长度：

5×（21－1）＝100（米），加长后一侧应种的树的棵数：

（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：

27－21＝6（棵）.

[开心数学]一个小孩子，应该睡多长时间才算睡眠充足呢？

大部分研究者认为：

八至十岁，平均每天睡11个小时，十至十一岁，平均每天睡10个小时，十一至十三岁，平均每天睡9个小时，如果你每天都睡一个小时午觉，那么早上六点半起床的话，晚上几点睡觉最好呢？

自己算一下吧.

（二）封闭型植树问题

封闭型植树问题是指在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。

基本关系式为：

棵数＝总距离÷棵距；总距离＝棵数×棵距；棵距＝总距离÷棵数．

【例5】（★★★）

学而思学校人工湖周长是150米，每隔3米栽种一棵树．问：

共需树苗多少株？

分析：

因为圆形池塘是一个封闭的模型，所以我们直接运用公式——棵数＝段数＝周长÷株距，从而有：

150÷3＝50（株）

[巩固]通过下面的几句诗，回答其中的问题，

小小村旁一池塘，测量一周百米长．

间隔五米一柳杨，翠柳倒映好风光．

一边赏景一边想，沿池植有几株杨?

分析：

示意图如左，由题意，村旁池塘周长为100米，每隔5米种一棵杨柳树，问沿着池塘一共种了多少棵杨柳树？

直接运用公式——棵数＝段数＝周长÷株距，从而有100÷5=20（棵）即植有20棵树

【例6】（★★★）点点家有一个圆形花坛，周长是180米，每隔6米种芍药花，每相邻两棵芍药花之间种两棵月季花，可以栽多少棵芍药花，多少棵月季花?

分析：

花坛的一周全长180米，每隔6米种一棵芍药花，说明花坛的四周以6米为一段，可以分成180÷6＝30（段）。

由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，也就是种30棵芍药花；两棵芍药花之间种两棵月季花，也就是说每段里有2棵月季花，30段就有30个两棵，一共有30×2＝60（棵）月季花．所以，芍药花的棵数为：

180÷6＝30（棵），月季花的棵数为：

2×30＝60（棵）.

[巩固]有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？

可栽月季花多少株？

两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？

分析：

在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等于分成的段数．由于每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，所以栽月季花的株数等于2乘以段数的积．要求两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？

需要懂得两株相邻的丁香花之间等距离地栽2株月季花，就是说这4株花之间有3段相等的距离．以6米为一段，圆形花坛一圈可分的段数，即是栽丁香花的株数：

120÷6＝20（株），栽月季花的株数是：

2×20＝40（株），每段上丁香花和月季花的总株数是：

2＋2＝4（株），4株花栽在6米的距离中，有3段相等的距离，每两株之间的距离是：

6÷（4－1）＝2（米）．

【例7】（★★★）一块三角形地，三边长分别为156米、234米、186米，要在三边上植树，株距6米，三个角上各有一棵，共植树多少棵?

分析：

三角形的周长为：

156+234+186=576（米），株距为6米，封闭图形，根据公式，共植树：

576÷6=96（棵）.

[巩固一]有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？

分析：

正方形操场也属于封闭的模型，但是它与圆又有一点区别，因为正方形的角被两条边公用．所以上题中每边都有17棵树，其实平均每边只有16棵树，从而得出一共有16×4＝64（棵）．

[巩固二]在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵，最少要种多少棵？

分析：

要求最少种的的数目，所以四个角上都应该栽一棵树．封闭图形，棵数等于段数．每边10－1＝9（段），四边4×9＝36（棵）.

[拓展]把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。

然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。

问：

每条边上黑、白棋子共有多少枚？

分析：

一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放50÷5=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子.11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是10×2=20（枚）.

[动脑筋]皮皮家住的小区这几天在搞绿化，一位园艺师把27棵树设计成9行，每行6棵树（如左下图）.另一位园艺师认为不好，因为有3棵树离的太远，显得很孤单.他俩又重新设计了一种方式，仍然是9行，每行6棵，但很集中，没有一棵树单独离得很远，而且排列上也很对称.你知道他们是怎样设计的吗？

答案如右上图.

（三）特殊类型的植树问题

【例8】（★★★）高老师要到中鼎大厦的八层去上班，一日因停电，他步行上楼，他从一层到六层用了100秒，如果他以同样的速度走到八层，还需要多长时间？

分析：

高老师从一层到六层其实只走了5个楼梯段，共用了100秒，说明每走一个楼梯段需要100÷5＝20（秒），从一楼到八层共有七个楼梯段，那么一共需要7×20＝140（秒），所以高老师从六层到八层还需要140－100＝40（秒）．

[前铺]丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？

分析：

丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的间隔，所以丁丁跑了15÷3＝5（个）三层的间隔，爸爸同时跑了5个两层的间隔．所以爸爸跑了5×2+1＝10＋1＝11（层）．

[拓展]兄妹俩个人比赛爬楼梯，当哥哥跑到第5层的时候，妹妹才跑到第4层，照这样的速度，当哥哥跑到第13层的时候，妹妹跑到第几层？

分析：

当哥哥跑到第5层的时候，跑了4层楼梯，当哥哥跑到第13层的时候，跑了12层楼梯，也就是跑了3个4层楼梯，用同样的方法，就能知道妹妹跑到第几层了.哥哥：

5-1=4（层），13-1=12（层），12÷4=3（个）；妹妹：

4-1=3（层），3×3=9（层），9＋1=10