初中数学复习总动员第29讲一元二次方程.docx

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初中数学复习总动员第29讲一元二次方程

2017年暑期初中数学复习总动员第29讲一元二次方程

【知识巩固】

一、一元二次方程

1、一元二次方程：

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：

，它的特征是：

等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中

叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如

的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，

是b的平方根，当

时，

，

，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式

，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有

。

配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程

的求根公式：

公式法的步骤：

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程

中，

叫做一元二次方程

的根的判别式，通常用“

”来表示，即

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程

的两个实数根是

，那么

，

。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

【典例解析】

典例一、一元二次方程

若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4

【考点】一元二次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．

【解答】解：

∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，

∴4+5a+a2=0，

∴（a+1）（a+4）=0，

解得a1=﹣1，a2=﹣4，

故选：

B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．

【变式训练】

一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】计算题；待定系数法．

【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．

【解答】解：

∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，

∴a+1≠0且a2﹣1=0，

∴a=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：

含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．

典例二、一元二次方程的解法

（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+

ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或4

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．

【解答】解：

根据题意，将x=﹣2代入方程x2+

ax﹣a2=0，得：

4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，

左边因式分解得：

（a﹣1）（a+4）=0，

∴a﹣1=0，或a+4=0，

解得：

a=1或﹣4，

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

【变式训练】

（2016·山东省菏泽市·3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　6　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】推理填空题．

【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．

【解答】解：

∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，

∴m2﹣2m﹣3=0，

∴m2﹣2m=3，

∴2m2﹣4m=6，

故答案为：

6．

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

典例三、一元二次方程根的判别式

例题：

（2017贵州安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）

A．0B．﹣1C．2D．﹣3

【考点】AA：

根的判别式．

【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．

【解答】解：

∵a=1，b=m，c=1，

∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，

∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，

∴m2﹣4＞0，

则m的值可以是：

﹣3，

故选：

D．

【变式训练】

（2017广西河池）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）

A．﹣1B．1C．﹣4D．4

【考点】AA：

根的判别式．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：

∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，

∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，

解得：

a=﹣1．

故选A．

典例四、一元二次方程根与系数的关系

（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　）

A．2B．0C．1D．2或0

【考点】AB：

根与系数的关系．

【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．

【解答】解：

设方程的两根为x1，x2，

根据题意得x1+x2=0，

所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，

当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，

所以a的值为0．

故选B．

【变式训练】

（2017湖南怀化）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1•x2的值是（　　）

A．2B．﹣2C．4D．﹣3

【考点】AB：

根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1+x2=2、x1•x2=﹣3，此题得解．

【解答】解：

∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，

∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3．

典例五、一元二次方程的应用

（2017四川眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：

生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】

（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．

答：

此批次蛋糕属第3档次产品．

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，

根据题意得：

（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，

整理得：

x2﹣16x+55=0，

解得：

x1=5，x2=11．

答：

该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品．

【变式训练】

（2017深圳）一个矩形周长为56厘米．

（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？

（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？

请说明理由．

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】

（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．

（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．

【解答】解：

（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有

x（28﹣x）=180，

解得x1=10（舍去），x2=18，

28﹣x=28﹣18=10．

故长为18厘米，宽为10厘米；

（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有

x（28﹣x）=200，

即x2﹣28x+200=0，

则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，

故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．

【能力检测】

1.（2017广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（　　）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

【考点】A3：

一元二次方程的解．

【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．

【解答】解：

∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，

∴22﹣3×2+k=0，

解得，k=2．

故选：

B．

2.（2017贵州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则

+

的值为（　　）

A．2B．﹣1C．

D．﹣2

【考点】AB：

根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到

+

=

，然后利用整体代入的方法计算

【解答】解：

根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，

所以

+

=

=

=﹣2．

故选D．

3.（2017四川眉山）已知一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是　﹣4　．

【考点】AB：

根与系数的关系．

【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=3、x1•x2=﹣2，将其代入（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1中，即可求出结论．

【解答】解：

∵一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根为x1，x2，

∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=﹣2﹣3+1=﹣4．

故答案为：

﹣4．

4.（2017黑龙江鹤岗）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为　10%　．

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，再根据题意列出方程解答即可．

【解答】解：

设这两次的百分率是x，根据题意列方程得

100×（1﹣x）2=81，

解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．

答：

这两次的百分率是10%．

故答案为：

10%．

5.（2017宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

且a≠1D．

且a≠1

【分析】根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解答】解：

根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，

解得a≥﹣

且a≠1．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

6.（2017四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m=0

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，求m的值．

【考点】AB：

根与系数的关系；AA：

根的判别式．

【分析】

（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；

（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．

【解答】

（1）证明：

∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，

∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，

∴

，

∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，

解得，m1=1，m2=2，

即m的值是1或2．

7.（2017绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．

【考点】AA：

根的判别式；AB：

根与系数的关系；L8：

菱形的性质．

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；

（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．

【解答】解：

（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，

∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，

解得：

m＞﹣

．

∴当m＞﹣

时，方程有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两根分别为a、b，

根据题意得：

a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．

∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，

解得：

m=﹣4或m=2．

∵a＞0，b＞0，

∴a+b=﹣2m﹣1＞0，

∴m=﹣4．

若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．

8.（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：

2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】

（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；

（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．

【解答】解：

（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：

解得：

答：

每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．

（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．

根据题意可得：

720（1+a）2=2205

解此方程：

（1+a）2=

，

即：

，

（不符合题意，舍去）

答：

2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．

9.某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】

（1）设年平均增长率为x，根据：

2014年投入资金给×（1+增长率）2=2016年投入资金，列出方程组求解可得；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：

前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．

【解答】解：

（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，

得：

1280（1+x）2=1280+1600，

解得：

x=0.5或x=﹣2.25（舍），

答：

从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，

得：

1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，

解得：

a≥1900，

答：

今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

10.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．

（1）求这地面矩形的长；

（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：

m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】

（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可；

（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．

【解答】

（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：

x（20﹣x）=96，

解得x1=12，x2=8（舍去），

答：

这地面矩形的长是12米；

（2）规格为0.80×0.80所需的费用：

96×（0.80×0.80）×55=8250（元）．

规格为1.00×1.00所需的费用：

96×（1.00×1.00）×80=7680（元）．

因为8250＜7680，

所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．