高中数学第一章解三角形11正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修50605327.docx

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高中数学第一章解三角形11正弦定理和余弦定理学案新人教A版必修50605327

1.1　

1．1.1　正弦定理

　预习课本P2～3，思考并完成以下问题

（1）直角三角形中的边角之间有什么关系？

（2）正弦定理的内容是什么？

利用它可以解哪两类三角形？

（3）解三角形的含义是什么？

1．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.

[点睛]　正弦定理的特点

（1）适用范围：

正弦定理对任意的三角形都成立．

（2）结构形式：

分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．

（3）刻画规律：

正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．

2．解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）正弦定理适用于任意三角形（　　）

（2）在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立（　　）

（3）在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解（　　）

解析：

（1）正确．正弦定理适用于任意三角形．

（2）正确．由正弦定理知＝，即bsinA＝asinB.

（3）错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．

答案：

（1）√　

（2）√　（3）×

2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是（　　）

A.　　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选C　由正弦定理得，＝，

所以＝.

3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于（　　）

A．5B．10

C.D．5

解析：

选B　由正弦定理得，b＝＝＝10.

4．在△ABC中，A＝，b＝2，以下错误的是（　　）

A．若a＝1，则c有一解　　B．若a＝，则c有两解

C．若a＝，则c无解D．若a＝3，则c有两解

解析：

选D　a＝2sin＝1时，c有一解；当a<1时，c无解；当12时，c有一解．故选D.

已知两角及一边解三角形

[典例]　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.

[解]　A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°，

由正弦定理＝，得b＝＝＝4，

由＝，得c＝＝＝＝4（＋1）．

已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路

（1）由三角形的内角和定理求出第三个角．

（2）由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．

[注意]　若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°），再根据上述思路求解．　　　

[活学活用]

在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝（　　）

A．4　　　　　　　　　B．2

C.D.

解析：

选B　由正弦定理得，＝，即＝，所以AC＝×＝2，故选B.

已知两边及其中一边的对角解三角形

[典例]　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，求A，C，c.

[解]　由正弦定理及已知条件，有＝，得sinA＝.

∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝；

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝.

综上可知：

A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．

（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．

（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

[活学活用]

在△ABC中，c＝，C＝60°，a＝2，求A，B，b.

解：

∵＝，∴sinA＝＝.

∴A＝45°或A＝135°.

又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°.

∴B＝75°，b＝＝＝＋1.

三角形形状的判断

[典例]　在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．

解：

[法一　化角为边]

∵acos＝bcos，

∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：

a·＝b·，

∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

[法二　化边为角]

∵acos＝bcos，

∴asinA＝bsinB.

由正弦定理可得：

2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，

∴A＝B.（A＋B＝π不合题意舍去）

故△ABC为等腰三角形．

利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径

（1）化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：

sinA＝，sinB＝，sinC＝.

（2）化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．　　　　

[活学活用]

在△ABC中，已知acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状．

解：

由正弦定理，＝＝＝2R，所以acosA＝bcosB可化为sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，又△ABC中，A，B，C∈（0，π），所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．

层级一　学业水平达标

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　根据正弦定理得＝＝.

2．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

解析：

选B　由题意有＝b＝，则sinB＝1，

即角B为直角，故△ABC是直角三角形．

3．在△ABC中，若＝，则C的值为（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

解析：

选B　由正弦定理得，＝＝，

则cosC＝sinC，即C＝45°，故选B.

4．△ABC中，A＝，B＝，b＝，则a等于（　　）

A．1B．2

C.D．2

解析：

选A　由正弦定理得＝，

∴a＝1，故选A.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsinA，则sinB＝（　　）

A.B.

C.D．－

解析：

选B　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sinA＝sinBsinA，故sinB＝.

6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______（填序号）．

①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；

②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；

③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；

④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．

解析：

①中a＝bsinA，有一解；②中csinBb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．

答案：

④

7．在△ABC中，若（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sin2C，则△ABC的形状是________．

解析：

由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sinA＝，sinB＝，sinC＝，

所以2－2＝2，

即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．

答案：

直角三角形

8．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则＝________.

解析：

由正弦定理及已知得＝，∴＝2.

答案：

2

9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．

解：

设△ABC中，A＝45°，B＝60°，

则C＝180°－（A＋B）＝75°.

因为C>B>A，所以最小边为a.

又因为c＝1，由正弦定理得，

a＝＝＝－1，

所以最小边长为－1.

10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．

解：

∵＝＝，

∴b＝＝＝＝4.

∴C＝180°－（A＋B）＝180°－（30°＋45°）＝105°，

∴c＝＝＝

＝4sin（30°＋45°）＝2＋2.

层级二　应试能力达标

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于（　　）

A．120°　　　　　　　　　B．105°

C．90°D．75°

解析：

选A　∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin（180°－30°－C）＝sin（30°＋C）＝，即sinC＝－cosC，∴tanC＝－.又0°

∴C＝120°.故选A.

2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sinB＋sinC＝sinA，则a＝（　　）

A.B．2

C．4D．2

解析：

选C　根据正弦定理，sinB＋sinC＝sinA可化为b＋c＝a，

∵△ABC的周长为4（＋1），

∴解得a＝4.故选C.

3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

选B　由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得＝2R＝＝＝.

4．在△ABC中，若A

A．1∶2∶3B．2∶3∶4

C．3∶4∶5D．4∶5∶6

解析：

选A　由A

5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________.

解析：

因为＝，所以＝，

所以b＝a，①

又因为a＋b＝12，②

由①②可知a＝12（3－）．

答案：

12（3－）

6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝_______.

解析：

由正弦定理，得＝，即

sinC＝

＝＝.

可知C为锐角，∴cosC＝＝.

∴sinB＝sin（180°－120°－C）＝sin（60°－C）

＝sin60°·cosC－cos60°·sinC＝.

答案：

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且＝.

（1）求角C的大小；

（2）如果

·

＝4，求△ABC的面积．

解：

（1）由得sinC＝cosC，

故tanC＝，又C∈（0，π），所以C＝.

（2）由

·

＝|

||

|cosC＝ba＝4得ab＝8，

所以S△ABC＝absinC＝×8×＝2.

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋bsinC－a－c＝0.

（1）求B；

（2）若b＝，求a＋c的取值范围．

解：

（1）由正弦定理知：

sinBcosC＋sinBsinC－sinA－sinC＝0，

∵sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC代入上式得：

sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0.

∵sinC>0，∴sinB－cosB－1＝0，

即sin＝，

∵B∈（0，π），∴B＝.

（2）由

（1）得：

2R＝＝2，a＋c＝2R（sinA＋sinC）

＝2sin.

∵C∈，∴2sin∈（，2]，

∴a＋c的取值范围为（，2]．

1．1.2　余弦定理

预习课本P5～6，思考并完成以下问题

（1）余弦定理的内容是什么？

（2）已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？

（3）已知三角形的三边如何解三角形？

余弦定理

余弦定理

公式表达

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accos_B，

c2＝a2＋b2－2abcos_C

余弦定理

语言叙述

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

推论

cosA＝

cosB＝，

cosC＝

[点睛]　余弦定理的特点

（1）适用范围：

余弦定理对任意的三角形都成立．

（2）揭示的规律：

余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形（　　）

（2）在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形（　　）

（3）在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一（　　）

解析：

（1）正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．

（2）正确．当a2>b2＋c2时，cosA＝<0.

因为0

（3）错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．

答案：

（1）√　

（2）√　（3）×

2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于（　　）

A.　　　　　　　　　B．8

C．10D．7

解析：

选D　由余弦定理得：

c＝

＝

＝7.

3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于（　　）

A．60°B．45°

C．120°D．30°

解析：

选C　由cosA＝＝－，∴A＝120°.

4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　由b2＝ac且c＝2a得cosB＝

＝＝.故选B.

已知两边与一角解三角形

[典例]　

（1）在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60cm，A＝，则a＝________cm；

（2）在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________.

[解析]

（1）由余弦定理得：

a＝

＝＝60（cm）．

（2）由余弦定理得：

（）2＝52＋BC2－2×5×BC×，

所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.

[答案]　

（1）60　

（2）4或5

已知三角形的两边及一角解三角形的方法

先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：

一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解．

若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题（在（0，π）上，余弦值所对角的值是唯一的），故用余弦定理求解较好．

[活学活用]

在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．

解：

根据余弦定理得，

b2＝a2＋c2－2accosB＝

（2）2＋（＋）2－2×2×（＋）×cos45°＝8，

∴b＝2.

又∵cosA＝＝＝，

∴A＝60°，C＝180°－（A＋B）＝75°.

已知三角形的三边解三角形

[典例]　在△ABC中，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形．

[解]　法一：

由余弦定理的推论得

cosA＝＝＝，

∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.

法二：

由余弦定理的推论得

cosA＝＝＝，∴A＝45°.

由正弦定理＝知＝，

得sinB＝＝.

由a>b知A>B，∴B＝30°.

故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.

（1）已知三边求角的基本思路是：

利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．

（2）若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．　

[活学活用]

已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a＋b－c）·（a＋b＋c）＝ab，则C的大小为（　　）

A．60°　　　　　　　　　　B．90°

C．120°D．150°

解析：

选C　∵（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，

∴c2＝a2＋b2＋ab，

由余弦定理可得，cosC＝

＝＝－＝－，

∵0°

利用余弦定理判断三角形形状

[典例]　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．

解：

[法一　化角为边]

将已知等式变形为

b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccosBcosC.

由余弦定理并整理，得

b2＋c2－b22－c22

＝2bc××，

∴b2＋c2＝＝＝a2.

∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．

[法二　化边为角]

由正弦定理，已知条件可化为

sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC.

又sinBsinC≠0，

∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos（B＋C）＝0.

又∵0°

∴△ABC是直角三角形．

利用余弦定理判断三角形形状的两种途径

（1）化边的关系：

将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．

（2）化角的关系：

将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．　

[活学活用]

在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．

解：

由余弦定理知cosA＝，cosB＝，cosC＝，代入已知条件得

a·＋b·＋c·＝0，

通分得a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＋c2（c2－a2－b2）＝0，

展开整理得（a2－b2）2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

正、余弦定理的综合应用

题点一：

利用正、余弦定理解三角形

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.

（1）求角B的大小；

（2）若A＝75°，b＝2，求a，c.

解：

（1）由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.

故cosB＝，因此B＝45°.

（2）sinA＝sin（30°＋45°）

＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.

故由正弦定理得a＝b·＝1＋.

由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，

c＝b·＝2×＝.

题点二：

利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式

2．在△ABC中，求证a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.

证明：

法一：

（化为角的关系式）

a2sin2B＋b2sin2A＝（2R·sinA）2·2sinB·cosB＋（2R·sinB）2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB（sinA·cosB＋cosAsinB）＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.

∴原式得证．

法二：

（化为边的关系式）

左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinAcosA＝a2··＋b2··＝（a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2）＝·2c2＝2ab·＝2absinC＝右边，

∴原式得证．

题点三：

正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用

3．已知△ABC的周长为4（＋1），角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有sinB＋sinC＝sinA.

（1）求边长a的值；

（2）若△ABC的面积为S＝3sinA，求

·

的值．

解：

（1）由正弦定理，得b＋c＝a.①

又a＋b＋c＝4（＋1），②

联立①②，解得a＝4.

（2）∵S△ABC＝3sinA，

∴bcsinA＝3sinA，即bc＝6.

又∵b＋c＝a＝4，

∴由余弦定理得

cosA＝＝＝.

∴

·

＝bccosA＝2.

正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．　

层级一　学业水平达标

1．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（　　）

A．30°　　　　　　　　　　B．60°

C．120°D．150°

解析：

选B　∵（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝，∴A＝60°.

2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝，则最大角的余弦值是（　　）

A．－　　　B．－　　　C．－　　　D．－

解析：

选C　由余弦定理，得

c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×＝9，

所以c＝3，故a最大，

所以最大角的余弦值为

cosA＝＝＝－.

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC（　　）

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形

解析：

选C　由>0得－cosC>0，

所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．

4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为（　　）

A.B．8－4

C．1D.

解析：

选A　由（a＋b）2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则角B的值为（　　）

A.B.或

C.D.或

解析：

选B　因为（a2＋c2－b2）tanB＝ac，

所以2accosBtanB＝ac，即sinB＝，

所以B＝或B＝，故选B.

6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.

解析：

∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°

＝a2＋c2＋ac，

∴a2＋c2＋ac－b2＝0.

答案：

0

7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.

解析：

∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴（）2＝a2＋12－2a×1×cos，

∴a2＋a－2＝0，即（a＋2）（a－1）＝0，

∴a＝1，或a＝－2（舍去）．∴a＝1.

答案：

1

8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.

解析：

因为b＋c＝7，所以c