北师大版八上数学21认识无理数知识精讲.docx

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北师大版八上数学21认识无理数知识精讲

知识点总结

一、认识无理数

1.无理数的定义：

无限不循环小数称为无理数.

  2.无理数类型：

（1）化简后含有π的

（2）特殊结构的，如：

0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）

（3）开方开不尽的

3、实数的概念及分类 

①实数的分类

②无理数

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

开方开不尽的数，如√7,3√2等；

有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/?

+8等；

有特定结构的数，如0.1010010001…等;

某些三角函数值，如sin60°等

4、实数的倒数、相反数和绝对值  

①相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

②绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

|a|≥0。

0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

③倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

0没有倒数。

④数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

⑤估算

微课精讲

易错辨析：

一.明确无理数的存在

无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如：

（1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为；

（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等；

像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。

二.弄清无理数的定义

教材中指出：

无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：

一是小数位数是无限的；二是不循环的。

这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。

三.掌握无理数的表现形式

在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种：

1.无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）

2.含的数，如：

，，等。

3.开方开不尽而得到的数，如，等。

4.某些三角函数值：

如，等。

四.辨别一些模糊认识

1.无限小数都是无理数

无限小数分：

为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环的小数才是无理数。

2.无理数包括正无理数、负无理数和零。

受思维习惯的影响，有些同学错误认为正无理数与负无理数之间应有零，零也是无理数，其实零是一个有理数，因此，无理数只分为正无理数和负无理数两类。

3.带根号的数是无理数。

是有理数2，是有理数－2，可见带根号的数不一定是无理数。

4.无理数是用根号形式表示的数。

是无理数，但并不是用根号形式表示的，再如：

0.1010010001……（两个1之间依次多一个），亦为不带根号的无理数。

5.无理数是开方开不尽的数。

无理数并非由开方的结果来定义的，事实上，如，0.232232223……，等无理数，都不是由开方得到的。

6.两个无理数的和、差、积、商仍是无理数。

两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数，如：

等都是有理数。

7.无理数与有理数的乘积是无理数。

这种说法是错误的！

由等似乎易见无理数与有理数的积是无理数，就下肯定结论，错了！

如等足以推翻以上结论。

8.有些无理数是分数。

因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以说，无理数不可能写成分数，当然，有些无理数可以借助分数线来表示。

如，但一定要注意它并不是分数。

9.无理数比有理数少。

这种说法错误，无理数在人们生产和生活中使用的少一些，但并不是说无理数就少一些，我们平常的计算中没有特别需要时，习惯地把一些无理数按要求通过取近似值的方法用有理数来表示，这样似乎就觉得使用无理数少一些，实际上，无理数也有无限个且比有理数多得多。

10.一个无理数的平方一定是有理数。

这种说法错误，不要误认为只有等无理数，如等也是无理数，显然等不是有理数。